5_2梁彎曲時(shí)的位移(6學(xué)時(shí))

1、第五章第五章 梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移(6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) Dept. of Mech.2dfafdf劉升貴劉升貴 力學(xué)系副主任力學(xué)系副主任Dept. of Mech.3dfafdf梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移 5-1 梁的位移梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角撓度及轉(zhuǎn)角 5-2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 5-3 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 5-5 梁的剛度校核梁的剛度校核.提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 5-6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能Dept. of Mech.4dfafdfqLABmP2381234mlPlqlEIfBmlPlqlEIB261

2、23Dept. of Mech.5dfafdf 由于內(nèi)力由于內(nèi)力 是載荷是載荷 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。MFTFSN,mqF,稱為稱為疊加原理疊加原理1.1.疊加原理疊加原理（對(duì)線彈性材料，小變形）（對(duì)線彈性材料，小變形）因此因此mqFMMMMSmSqSFSFFFFNmNqNFNFFFFmqFTTTT同理，同理， 結(jié)構(gòu)中的位移結(jié)構(gòu)中的位移 （ 如如 ） 也是也是 載荷的線性函數(shù)，故也有載荷的線性函數(shù)，故也有,wumqFwwwwmqF2. 彎曲位移計(jì)算的載荷疊加法彎曲位移計(jì)算的載荷疊加法5-3 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角Dept. of Mech.6dfafdf疊加

3、法求彎曲變形疊加法求彎曲變形 疊加原理= =+ +2121MMM21QQQ.11P2P2 1P2P 幾個(gè)載荷幾個(gè)載荷共同作用的效果，共同作用的效果，等于各個(gè)載荷單獨(dú)效果等于各個(gè)載荷單獨(dú)效果之和之和疊加原理成立的前提條件：疊加原理成立的前提條件：（1 1）小變形）小變形（2 2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）“效果效果”指載荷引起的反力、內(nèi)力、應(yīng)力指載荷引起的反力、內(nèi)力、應(yīng)力或變形或變形“之和之和”代數(shù)和代數(shù)和Dept. of Mech.7dfafdf疊加法求彎曲變形疊加法求彎曲變形在材料服從在材料服從、且且的前提下的前提下, ,載荷與它所引起的變形載荷與它所引

4、起的變形( (撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角) )成成線性關(guān)系線性關(guān)系。 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。變形，然后疊加。Dept. of Mech.8dfafdf求圖示梁的求圖示梁的?cw cpcqcwwwEI2l2lqPABCcw45384cqqlwET348cPPlwEIPcPw 例題例題1 4358384ccqcpqlP

5、lwwwEIcqwqDept. of Mech.9dfafdf例例2 按疊加原理求按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。點(diǎn)撓度。解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。簡(jiǎn)單載荷引起的變形。36F CF awE IEIFaFA424524qCqawE IEIqaqA33qqFF=+AAABBB CaaDept. of Mech.10dfafdfq+AB =ABqFABCaa 疊加疊加qAPAA)43(122qaFEIa435246CqaF awE IE IFDept. of Mech.11dfafdf例例3：求：求?cf 422020

6、034482402lcq lqdx xwlxEIEIq xqL2l2l0qxqdxEIACBxqdxP Dept. of Mech.12dfafdf例例4：求：求?cf02cw EIlqwwcc3842541CAB2l2lqEI2q1cw2q2q2cwDept. of Mech.13dfafdf12CB12CCC例例5 按疊加原理求按疊加原理求C點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度222121lwwwwwBBCCCCDept. of Mech.14dfafdf結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) ) 原理說明。原理說明。=+FL1L2ABCBCFL2f1等價(jià)等價(jià)等價(jià)等價(jià)xw21wwwfFL1L2ABC剛

7、化剛化AC段段FL1L2ABC剛化剛化BC段段FL1L2ABCMxwxwf2Dept. of Mech.15dfafdfF2=2kNL=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNB例例6 下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm,桿的桿的E=210GPa，求，求C點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度,B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。=+=F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAMDept. of Mech.16dfafdfF2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3211116CBFL awaEIEILFB16211EILaFEIM

8、LB332322333CBF LawaEI 解：解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單 載荷變形。載荷變形。0B2 3223CF awEI AL=400mmF2=2kNCa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMDept. of Mech.17dfafdfF2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3F2=2kNAL=400mmCa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxf2321221633CFL aF aF a LwEIEIEIEILaFEILFB316221 疊加求復(fù)雜載荷下的變形疊加求復(fù)雜載荷下的變形48124444m1

9、0188 10)4080(6414. 3 )(64dDIDept. of Mech.18dfafdf232122616335.19 10 mCFL aF aF a LwEIEIEI )(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaFEILFBDept. of Mech.19dfafdf例：用疊加法求vCAB、Dept. of Mech.20dfafdf解：vC53 8 44q lE IP lE I34 8m lE I21 6Aq lE I32 4P lE I21 6m lE I3Bq lE I32 4P lE I21 6EIlm6Dept. of M

10、ech.21dfafdf例：例：欲使欲使AD梁梁C點(diǎn)撓度為零，求點(diǎn)撓度為零，求P與與q的關(guān)系。的關(guān)系。Dept. of Mech.22dfafdf解：解：vqaEIC 523844()PaaEI()2162 0Pqa56Dept. of Mech.23dfafdf 例：若圖示梁例：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶，則力偶矩等于多少？矩等于多少？Dept. of Mech.24dfafdf解：解：BPaEI 22maEI20mPa4Dept. of Mech.25dfafdf. 梁的剛度校核梁的剛度校核 對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度

11、條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條剛度條件件( (stiffness condition) )：式中，式中，l為跨長(zhǎng)，為跨長(zhǎng)， 為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比( (簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱許可撓跨許可撓跨比比) )， 為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。lwlwlwmaxmax5-5 梁的剛度校核梁的剛度校核提高彎曲剛度的措提高彎曲剛度的措施施Dept. of Mech.26dfafdf 土建工程中通常只限制梁的撓跨土建工程中通常只限制梁的撓跨比，比， 。在

12、機(jī)械工程中，對(duì)。在機(jī)械工程中，對(duì)于主要的軸，于主要的軸， ；對(duì)于傳動(dòng)；對(duì)于傳動(dòng)軸還要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)軸還要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角，角， 。100012501lw10000150001lw rad001. 0005. 0Dept. of Mech.27dfafdf例題例題1 1 圖圖a所示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成所示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成( (圖圖b) )，試選擇既滿足強(qiáng)，試選擇既滿足強(qiáng)度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號(hào)。已知度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號(hào)。已知 =170 MPa， =100 MPa，E=210 GPa， 。4001lwDept. of Mech.28dfafdf解

13、：解：一般情況下，選擇梁的截面尺寸或選擇型鋼的一般情況下，選擇梁的截面尺寸或選擇型鋼的型號(hào)時(shí)，先按型號(hào)時(shí)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸或型鋼正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸或型鋼型號(hào)型號(hào)，然后按，然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件以及剛度條件進(jìn)行校切應(yīng)力強(qiáng)度條件以及剛度條件進(jìn)行校核核，必要時(shí)再作更改必要時(shí)再作更改。Dept. of Mech.29dfafdf1. 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào)按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào)作梁的剪力圖和彎矩圖作梁的剪力圖和彎矩圖 3663maxm10367Pa10170mN104 .62MWzMmax=62.4 kNmDept. of Mech.30dfafdf由型鋼表查得由型鋼表

14、查得20a號(hào)槽鋼其號(hào)槽鋼其Wz=178 cm3超過許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)為超過許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)為( (175- -170)/)/1703%，未超過未超過5%，故允許故允許。事實(shí)上即使把梁的自重。事實(shí)上即使把梁的自重 ( (222.63 kg/m=0.4435 kg/m) )考考慮進(jìn)去，超過許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)仍不到慮進(jìn)去，超過許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)仍不到5%。MPa175Pa10175m101782mN104 .626363max現(xiàn)加以檢驗(yàn)：現(xiàn)加以檢驗(yàn)：Dept. of Mech.31dfafdf2. 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核 最大剪力最大剪力FS,max=138 kN

15、N10692kN13823max,SF 3*max,mm000104 211100773111005010073zSDept. of Mech.32dfafdf其值小于許用切應(yīng)力其值小于許用切應(yīng)力 =100 MPa，故選用故選用20a號(hào)槽鋼滿足切號(hào)槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件應(yīng)力強(qiáng)度條件。每根每根20a號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查得為號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查得為 Iz =1780 cm4于是于是MPa57.6Pa106 .57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-3-63max,max,SmaxdISFzzDept. of Mech.33dfafdf3

16、. 按剛度條件校核按剛度條件校核此簡(jiǎn)支梁上各集中荷載的指向相同，故可將跨中截面此簡(jiǎn)支梁上各集中荷載的指向相同，故可將跨中截面C的撓度的撓度wC作為梁的最大撓度作為梁的最大撓度wmax。查表得跨中撓度。查表得跨中撓度wC的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為可見，對(duì)于此梁上的左邊兩個(gè)集中荷載，應(yīng)為可見，對(duì)于此梁上的左邊兩個(gè)集中荷載，應(yīng)為EIblFbwC484322EIalFawC484322Dept. of Mech.34dfafdf于是由疊加原理可得于是由疊加原理可得m1066. 4m1078012Pa1021048mN101671 m6 . 04m4 . 23m6 . 0N1012 m9 . 04m4 .

17、 23m9 . 0N1040 m8 . 04m4 . 23m8 . 0N1030 m4 . 04m4 . 23m4 . 0N1012048134892322223222232222322223maxEIwwC而許可撓度為而許可撓度為由于由于wmaxw，故選用，故選用20a號(hào)槽鋼滿足剛度條件。號(hào)槽鋼滿足剛度條件。 m106m4 . 240013llwwDept. of Mech.35dfafdf. . 提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施(1) 增大梁的彎曲剛度增大梁的彎曲剛度EI 由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相大致相同同( (E210 GPa) )，故

18、從增大梁的彎曲剛度來說采，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強(qiáng)度鋼并無明顯好處。用高強(qiáng)度鋼并無明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。，例如工字形截面和箱形截面。Dept. of Mech.36dfafdf跨長(zhǎng)為跨長(zhǎng)為l 的簡(jiǎn)支梁受集度為的簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布均布荷載時(shí)，最大的滿布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為22m

19、ax125. 08qlqlMEIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體系調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體系Dept. of Mech.37dfafdf如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離a而成為如圖而成為如圖a所示的所示的外伸梁，且外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為，則不僅最大彎矩減小為而且跨中撓度減小為而且跨中撓度減小為22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)Dept. of Mech.38dfafdf而此時(shí)外伸端而此時(shí)外伸端

20、D和和E的撓度也僅為的撓度也僅為)(207000. 02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwEDDept. of Mech.39dfafdf 所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來提高梁的剛度在這里是指增加梁的支所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一，例如在懸臂梁的自由端增加一個(gè)鉸支座，又例如在簡(jiǎn)支梁的跨中增加一個(gè)鉸支座。個(gè)鉸支座，又例如在簡(jiǎn)支梁的跨中增加一個(gè)鉸支座。Dept. of Mech.40dfafdf 等直梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，由于作用在梁上的等直梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)

21、，由于作用在梁上的外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能Ve e，并利用功能原，并利用功能原理來求梁在簡(jiǎn)單荷載情況下的位移。理來求梁在簡(jiǎn)單荷載情況下的位移。 等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(shí)等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(shí)( (圖圖a) )，其曲率，其曲率 為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個(gè)端面在梁彎曲為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個(gè)端面在梁彎曲后對(duì)應(yīng)的圓心角為后對(duì)應(yīng)的圓心角為EIM15-6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能能Dept. of Mech.41dfafdfEIlMEIMlle(a)Dept. of Mech.42dfafdf(b) 圖圖b示出了示出了Me與與 的上列

22、線性關(guān)系。圖的上列線性關(guān)系。圖b中斜直線下的三角形中斜直線下的三角形面積即代表外力偶之矩由零增大到最終值面積即代表外力偶之矩由零增大到最終值 Me 過程中，外力偶所過程中，外力偶所作的功：作的功：它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時(shí)的它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)變能：應(yīng)變能：MMV2121e將將 代入上式可得代入上式可得EIlMEIMleEIlMVEIlMV2 ,222ee21MW Dept. of Mech.43dfafdf 梁在橫力彎曲時(shí)，既有與彎曲變形相應(yīng)的彎曲正應(yīng)變能，又有與梁在橫力彎曲時(shí)，既有與彎曲變形相應(yīng)的彎曲正應(yīng)變能，又有與 剪切變形相應(yīng)的剪切應(yīng)變能。但如同在剪切變形相應(yīng)的剪切應(yīng)變能。但如同在5- -2開始時(shí)所述，工程中常用開始時(shí)所述，工