高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、10/13/202111.1.1 1.1.1 實(shí)數(shù)、區(qū)間與鄰域?qū)崝?shù)、區(qū)間與鄰域 函數(shù)的定義、單值函數(shù)和多值函數(shù)、隱函數(shù)函數(shù)的定義、單值函數(shù)和多值函數(shù)、隱函數(shù)1.1.4 1.1.4 反函數(shù)反函數(shù)1.1.2 1.1.2 常量與變量常量與變量1.1.3 1.1.3 函數(shù)的定義函數(shù)的定義10/13/202121.1.5 1.1.5 初等函數(shù)初等函數(shù)1.1.6 1.1.6 分段函數(shù)分段函數(shù)基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)1.1.7 1.1.7 函數(shù)的簡單性質(zhì)函數(shù)的簡單性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性#1.自變量自變量x 趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極

2、限趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限2.自變量自變量x 趨于某定數(shù)趨于某定數(shù) x0時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限無窮小與無窮大無窮小與無窮大10/13/2021 , )(xfy 對(duì)自變量變化過程的六種形式自變量變化過程的六種形式:000 xxxxxx自變量趨于自變量趨于有限值有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限xxx 自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于自變量趨于有限值有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于自變量趨于有限值有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限xxx 自變量趨于自變量

3、趨于有限值有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限000 xxxxxxxxx 自變量趨于自變量趨于有限值有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限 000lim.xxf xAf xf xA 10/13/2021 . 1sinlim10 xxx兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 .11lim2exxx兩個(gè)重要極限的變換形式：兩個(gè)重要極限的變換形式：1)()(sinlimxx某過程設(shè)設(shè) 是某一過程中的無窮小，則是某一過程中的無窮小，則 )(xexx)(1)(1 lim某過程#10/13/2021一些常用的等價(jià)無窮小量：

4、一些常用的等價(jià)無窮小量：,sinxx,21cos12xx.11axxa,tanxx,arcsinxx,arctanxx,1lnxx, ) 1, 0(ln1aaaxax當(dāng)x0時(shí),(a是不為0的常數(shù))#10/13/2021)()(lim00 xfxfxx0000limlim()()0 xxyf xxf x )()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)有下列等價(jià)定義連續(xù)有下列等價(jià)定義:10/13/2021#0( ):f xx滿足下列三個(gè)條件之一，則稱在點(diǎn)處不連續(xù)0(1)( );f xx在點(diǎn) 處沒有定義0(2) lim( );xxf x不存在00(3) li

5、m( )().xxf xf x0( )().xf x稱點(diǎn)為的不連續(xù)點(diǎn) 或間斷點(diǎn)10/13/20211. 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念: 增量比的極限增量比的極限3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線斜率切線斜率5. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。4. 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù)三個(gè)步驟三個(gè)步驟02.()fx存在00()().fxfx存在10/13/2021xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xx

6、eexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc10/13/2021(1)( )( )( )( )u xv xu xv x(2)( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x2( )( ) ( )( ) ( )(3).( ( )0)( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx設(shè)設(shè)u(x)，v(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處處可導(dǎo)，可導(dǎo)，則則10/13/20211.1.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按基本初等函數(shù)的任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按基本初等函數(shù)的 求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出

7、求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出. .2.2.初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù). .).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為的的則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 10/13/2021二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù). .由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù). .10/13/2021微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化

8、率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 10/13/2021洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 10/13/2021( );fx( (1 1) ) 求求函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 2 2 求求駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn); ;( )fx( (4 4)

9、) 根根據(jù)據(jù)在在可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)左左右右的的正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào), ,判判斷斷單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間和和極極值值; ;極值的極值的 ( )f x3 3 用用可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)劃劃分分函函數(shù)數(shù)的的定定義義區(qū)區(qū)間間, ,然后判然后判斷區(qū)斷區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的符符號(hào)號(hào). .10/13/2021最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系000000( )( )(,()( )(,()fxxfxxf xxfxxf x兩兩近近旁旁兩兩近近旁旁( (4 4) ) 根根據(jù)據(jù)在在這這些些區(qū)區(qū)間間的的正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào), ,判判斷斷凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間; ;( (5 5) ) 如如果果變變號(hào)號(hào), ,點(diǎn)點(diǎn)即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn); ;如如果果不不變變號(hào)號(hào)

10、, ,點(diǎn)點(diǎn)不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn). . 0( );( )0,( )fxfxxf x找找出出實(shí)實(shí)根根和和二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)3 3 用用這這些些點(diǎn)點(diǎn)劃劃分分函函數(shù)數(shù)的的定定義義區(qū)區(qū)間間(1)(1)求求(2)(2)令令最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系10/13/202110/13/2021基本積分表基本積分表(1)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)不定積分的運(yùn)算性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系10/13/2021sincosmaxmmx e dxxaxdxxaxdxlnarcsinarctanmnmmxx dxxx dxxx dx合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積分式，正確使用分部積分式vu ,dxvuuvdxvu cossinaxaxebxdxebxdx10/13/2021總結(jié)上面例子可知，遇到下列被積式時(shí)，積分方法如下：總結(jié)上面例子可知，遇到下列被積式時(shí)，積分方法如下：（1）被積表達(dá)式為（ 0,且 ）時(shí)， ， ；（2）被積表達(dá)式為 或 時(shí)， ， 或 ；（3）被積表達(dá)式為 時(shí)， ， ；（4）被積表達(dá)式為 或 時(shí)， ， ；（5）被積表達(dá)式為 或 時(shí)， ， , , 都可以.xdxexc