線段的垂直平分線

1、3.3.線段的垂直平分線（線段的垂直平分線（1 1） 性質(zhì)定理與判定定理性質(zhì)定理與判定定理泰安市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在泰安市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才中心，試問，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能 使 得 它 到 三 個(gè) 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。能 使 得 它 到 三 個(gè) 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。ABC實(shí)際問題實(shí)際問題1AB我們?cè)?jīng)利用折紙的方法得到我們?cè)?jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.PA=P

2、BP1P1A=P1B命題命題：線段垂直平分線上的：線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)和和這條線段兩個(gè)端這條線段兩個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)的距離相等。的距離相等。PMNC動(dòng)手操作動(dòng)手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？由此你能得到什么規(guī)律？w你能證明這一結(jié)論嗎你能證明這一結(jié)論嗎? ?回顧 思考已知已知: :如圖如圖,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn). .求證求證:PA=PB.:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要證明PA=PB,而APCBPC的條

3、件由已知 故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.AC=BC,MNAB,AC=BC,MNAB,可推知其能滿足公理（可推知其能滿足公理（SASSAS）. .就需要證明PA,PB所在的APCBPC，命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)的距離相等。的距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB 直線直線MNAB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB. 已知：如圖，已知：如圖，點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.求證：求證：證明：MNAB PCA= PCB=90 在 PAC和 PBC中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC

4、(SAS) PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言w定理定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離相等. .老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.開啟 智慧ACBPMNw如圖如圖, ,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一點(diǎn)意一點(diǎn)( (已知已知),),wPA=PB(PA=PB(線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等相等).).性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段

5、兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)和這線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等駛向勝利的彼岸思考分析w你能寫出你能寫出“定理定理 線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等”的逆命題嗎的逆命題嗎? ?w逆命題逆命題 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線上. .w它是真命題嗎它是真命題嗎? ?ABP如果是如果是. .請(qǐng)你證

6、明它請(qǐng)你證明它. .已知已知: :如圖如圖,PA=PB.,PA=PB.求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上. .分析分析: :要證明點(diǎn)要證明點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的的垂直垂直平分平分線線上上, ,可以先作出過點(diǎn)可以先作出過點(diǎn)P P的的ABAB的的垂線垂線( (或或ABAB的的中點(diǎn)中點(diǎn), ,),),然后證明另一個(gè)結(jié)論正確然后證明另一個(gè)結(jié)論正確. .想一想想一想: :若作出若作出PP的角平分線的角平分線, ,結(jié)論是結(jié)論是否也可以得證否也可以得證? ?駛向勝利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行w逆定理逆定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)

7、, ,在在這條線段的垂直平分線上這條線段的垂直平分線上. .ACBPMNw如圖如圖, ,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上( (到一條到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線上).).老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.二、逆定理：二、逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上

8、的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)和這線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出線段的垂直平分線的集合定義嗎？線段的垂直平分線的集合定義嗎？三、三、 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是和線線段的垂直平分線可以看作是和

9、線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合駛向勝利駛向勝利的彼岸的彼岸尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 做一做做一做l已知已知:線段線段AB,如圖如圖.l求作求作:線段線段AB的垂直平分線的垂直平分線.l作法作法:l用尺規(guī)作線段的垂直平分線用尺規(guī)作線段的垂直平分線. .l1.分別以點(diǎn)分別以點(diǎn)A和和B為圓心為圓心,以大于以大于AB/2長(zhǎng)為半徑作弧長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)兩弧交于點(diǎn)C和和D.ABCDl2. 作直線作直線CD.l則直線則直線CD就是線段就是線段AB的垂直平分線的垂直平分線.請(qǐng)你說明請(qǐng)你說明CD為什么是為什么是AB的垂直平分線的垂直平分線,并與同伴進(jìn)行交流并與同伴進(jìn)行交流.老師

10、提示老師提示: :因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€CD與線段與線段AB的交點(diǎn)就是的交點(diǎn)就是AB的中的中點(diǎn)點(diǎn),所以我們也用這種方法作線段的所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn)中點(diǎn).挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)駛向勝利駛向勝利的彼岸的彼岸l如圖如圖,已知已知AB是線段是線段CD的垂直平的垂直平分線分線,E是是AB上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.老師期望老師期望: :你能說出填空結(jié)果的根據(jù)你能說出填空結(jié)果的根據(jù). .EDABC760回味無(wú)窮w 定理定理 w 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等兩個(gè)端

11、點(diǎn)距離相等. .w 如圖如圖, ,w AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)( (已知已知),),w PA=PB(PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).).w 逆定理逆定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)相等的點(diǎn), ,在這條線段的垂直平分在這條線段的垂直平分線上線上. .w 如圖如圖, ,w PA=PB(PA=PB(已知已知),),w 點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上( (到一條到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這在

12、這條線段的垂直平分線上條線段的垂直平分線上).).小結(jié) 拓展ACBPMN習(xí)題1.5 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.1.利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線. . w老師期望老師期望: :w先分別作出不同形狀的三角形先分別作出不同形狀的三角形, ,再按要求去作圖再按要求去作圖. .習(xí)題1.5 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利駛向勝利的彼岸的彼岸w2. 2. 如圖如圖, ,A,BA,B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù), ,要在要在A,BA,B一側(cè)的河一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭岸邊建造一個(gè)碼頭, ,使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等, ,碼頭應(yīng)建造在什么位置？碼

13、頭應(yīng)建造在什么位置？ 老師期望老師期望: :養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣. . AB習(xí)題1.4 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利駛向勝利的彼岸的彼岸w3.3.如圖如圖, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=27,ABAC=27,AB的垂直平分線的垂直平分線交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E,E,BCEBCE的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于50,50,求求BCBC的長(zhǎng)的長(zhǎng). . 老師期望老師期望: :做完題目后做完題目后, ,一定要一定要“悟悟”到點(diǎn)東到點(diǎn)東西西, ,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去. . BAEDC線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1 已

14、知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上分析：例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分的垂直平分 線交于線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;證明：證明：點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線MN上，上，PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNP3.9 角的平分線角的平分線ODEABPC定理定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的角的兩邊的距離相等距離相等。定理定理2 到一個(gè)角的兩邊的到一個(gè)角的兩邊的距離相等距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 角的平分線是到角的角的平分線是到角的兩邊兩邊距離距離相等相等的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合3.14 線段的垂直平分線線段的垂