第3課時(shí)命題的證明

1、2.2 命題與證明命題與證明第第3課時(shí)課時(shí) 命題的證明命題的證明做一做做一做 觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段，而且人們可以從中猜測(cè)發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論手段，而且人們可以從中猜測(cè)發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論.采用剪拼或度量的方法，猜測(cè)采用剪拼或度量的方法，猜測(cè)“三角形的外角和三角形的外角和”等于多少度等于多少度. . 從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于360360（如圖），但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只（如圖），但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接是接近周角；分別度量

2、這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近近360360，但不能很準(zhǔn)確地都得到，但不能很準(zhǔn)確地都得到360360. . 另外，由于不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也另外，由于不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來(lái)一一驗(yàn)證，因此，我們不可能用剪拼或度量的方法來(lái)一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形的外角和都為只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形的外角和都為360360. . 此時(shí)猜測(cè)出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真此時(shí)猜測(cè)出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題命題. .要確定這個(gè)命題是真命題，還需要要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過推理的方通過推理的方法加以證明法加以證明. . 數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題

3、時(shí)，通常從數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件命題的條件出發(fā)，出發(fā)，運(yùn)用運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立通過一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立. .證明的每一步都證明的每一步都必須要有根據(jù)必須要有根據(jù). .動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋證明命題證明命題“三角形的外角和為三角形的外角和為360360”是真命題是真命題. 在分析出這一命題的條件和結(jié)論后，我們就可以按如下在分析出這一命題的條件和結(jié)論后，我們就可以按如下步驟進(jìn)行：步驟進(jìn)行： 已知：已知：如圖，如圖，BAF，CBD和和ACE分別是分別是ABC的三個(gè)外

4、角的三個(gè)外角. . 求證：求證：BAF+ +CBD+ +ACE= =360. 證明：證明：如圖，如圖， BAF=22+33， CBD=11+33， ACE=11+22（三角形外角定理），（三角形外角定理）， BAF+CBD+ACE=2 2（11+22+33）（等式的性質(zhì)）（等式的性質(zhì)）. . 11+22+3=1803=180（三角形內(nèi)角和定（三角形內(nèi)角和定理），理）， BAF+CBD+ACE=2 2180180=360360. 通過分析，找出證明的途徑根據(jù)題意 根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步寫出證

5、明的過程寫出已知、求證畫出圖形例例1 1 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，B=C，點(diǎn)，點(diǎn)D在線段在線段BA的延長(zhǎng)線上，射線的延長(zhǎng)線上，射線AE平分平分DAC. . 求證：求證：AEBC. . 證明：證明：DAC=B+C( (三角形外角定理三角形外角定理) )， B=C（已知），（已知）， DAC=22B（等式的性質(zhì)）（等式的性質(zhì)）. . 又又AE平分平分DAC( (已知已知) )， DAC=22DAE（角平分線的定義）（角平分線的定義）. . DAE=B（等量代替）（等量代替）. . AEBC（同位角相等，兩直線平行）（同位角相等，兩直線平行）. . 例例2 已知：已知：A，B，C是

6、是ABC的內(nèi)角的內(nèi)角. . 求證：求證：A，B，C中至少有一個(gè)角大于或等于中至少有一個(gè)角大于或等于6060. . 分析：分析：這個(gè)命題的結(jié)論是這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)至少有一個(gè)”，也就是，也就是說(shuō)可能出現(xiàn)說(shuō)可能出現(xiàn)“有一個(gè)有一個(gè)”、“有兩個(gè)有兩個(gè)”、“有三個(gè)有三個(gè)”這三這三種情況種情況. .如果直接來(lái)證明，將很繁瑣，因此，我們將從如果直接來(lái)證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來(lái)證明另外一個(gè)角度來(lái)證明. . 證明：證明：假設(shè)假設(shè)A，B，C中沒有一個(gè)角大于或中沒有一個(gè)角大于或等于等于6060，即，即A6060，B6060，C6060， 則則A+B+C180180. 這與這與“三角形的內(nèi)角

7、和等于三角形的內(nèi)角和等于180180”矛盾，矛盾， 所以假設(shè)不正確所以假設(shè)不正確. . 因此，因此，A，B，C中至少有一個(gè)角大于中至少有一個(gè)角大于或等于或等于6060. 像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以我們可以先假設(shè)命題不成立先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，件或有關(guān)的結(jié)論，通過推理導(dǎo)出矛盾通過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為法稱為反證法反證法. . 反證法是一種間接證明的方法，其基本的思反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.”. 你能結(jié)合圖形用幾何語(yǔ)言表述命題的題設(shè)和結(jié)論嗎？1.在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條.已知：bc， ab 求證：ac 請(qǐng)同學(xué)們思考如何利用已經(jīng)學(xué)過的定義定理來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？已知：bc，ab 求證：ac證明： ab（已知）， 又 bc（已知）， 1=2（兩直線平行，同位角相等）. 2=1=90（等量代換） 1=90 （垂直的定義） ac（垂直的定義）2.填空已知：如圖，1=2，3=4，求證：EGFH證明：1=2（已知） AEF=