利用導數研究存在性與任意性專題

1、利用導數研究恒成立、存在性與任意性問題一、利用導數研究不等式恒成立問題典例設f(x)exa(x1)(1)若xR，f(x)0恒成立，求正實數a的取值范圍；(2)設g(x)f(x)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲線yg(x)上任意兩點，若對任意的a1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍解(1)因為f(x)exa(x1)，所以f(x)exa由題意，知a0，故由f(x)exa0，解得xln a故當x(，ln a)時，f(x)0，函數f(x)單調遞減；當x(ln a，)時，f(x)0，函數f(x)單調遞增所以函數f(x)的最小值為f(ln a)eln aa(ln a1)al

2、n a由題意，若xR，f(x)0恒成立，即f(x)exa(x1)0恒成立，故有aln a0，又a0，所以ln a0，解得0a1所以正實數a的取值范圍為(0,1(2)設x1，x2是任意的兩個實數，且x1x2則直線AB的斜率為k，由已知km，即m因為x2x10，所以g(x2)g(x1)m(x2x1)，推薦精選即g(x2)mx2g(x1)mx1因為x1x2，所以函數h(x)g(x)mx在R上為增函數，故有h(x)g(x)m0恒成立，所以mg(x)而g(x)exa，又a10，故g(x)exa2a2a而2a2()2(1)213，所以m的取值范圍為(，3方法點撥解決該類問題的關鍵是根據已知不等式的結構特征

3、靈活選用相應的方法，由不等式恒成立求解參數的取值范圍問題一般采用分離參數的方法而第(2)問則巧妙地把直線的斜率與導數問題結合在一起，命題思路比較新穎，解決此類問題需將已知不等式變形為兩個函數值的大小問題，進而構造相應的函數，通過導函數研究其單調性解決對點演練已知f(x)xln x，g(x)x2ax3(1)若對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實數a的取值范圍(2)證明：對一切x(0，)，ln x恒成立解：(1)由題意知2xln xx2ax3對一切x(0，)恒成立，則a2ln xx，設h(x)2ln xx(x0)，推薦精選則h(x)當x(0,1)時，h(x)0，h(x)單調遞減；當x(

4、1，)時，h(x)0，h(x)單調遞增所以h(x)minh(1)4，對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即實數a的取值范圍是(，4(2)問題等價于證明xln x(x0)又f(x)xln x(x0)，f(x)ln x1，當x時，f(x)0，f(x)單調遞減；當x時，f(x)0，f(x)單調遞增，所以f(x)minf設m(x)(x0)，則m(x)，當x(0,1)時，m(x)0，m(x)單調遞增，當x(1，)時，m(x)0，m(x)單調遞減，所以m(x)maxm(1)，從而對一切x(0，)，f(x)m(x)恒成立，即xln x恒成立即對一切x(0，)，ln x恒成立推

5、薦精選二、利用導數研究存在性與任意性問題典例設f(x)xln x，g(x)x3x23(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數M；(2)如果對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求實數a的取值范圍解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等價于g(x1)g(x2)maxM由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x由g(x)0，解得0x；由g(x)0，解得x0或x又x0,2，所以g(x)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又g(0)3，g(2)1，故g(x)maxg(2)1，g(x)ming所以g(x1)g(x2)max

6、g(x)maxg(x)min1M，則滿足條件的最大整數M4推薦精選(2)對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等價于在區(qū)間上，函數f(x)ming(x)max由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1在區(qū)間上，f(x)xln x1恒成立等價于axx2ln x恒成立設h(x)xx2ln x，x，則h(x)12xln xx，易知h(x)在區(qū)間上是減函數，又h(1)0，所以當1x2時，h(x)0；當x1時，h(x)0所以函數h(x)xx2ln x在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間1,2上單調遞減，所以h(x)maxh(1)1，所以實數a的取值范圍是1，)方法點撥等價轉化法求解雙參數不等式雙參數不

7、等式問題的求解方法一般采用等價轉化法本例第(1)問是“存在性”問題，轉化方法是：如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，則可轉化為Mg(x1)g(x2)max，即求解使不等式Mg(x)maxg(x)min成立時的M的最大取值；第(2)問是“恒成立”問題，轉化方法是：如果對于任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)成立，則可轉化為在區(qū)間上，f(x)ming(x)max，求解得到實數a的取值范圍推薦精選對點演練已知函數f(x)ln xax1(aR)(1)當0a時，討論f(x)的單調性；(2)設g(x)x22bx4當a時，若對任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2

8、)，求實數b的取值范圍解：(1)因為f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)，令f(x)0，可得兩根分別為1，1，因為0a，所以110，當x(0,1)時，f(x)0，函數f(x)單調遞減；當x時，f(x)0，函數f(x)單調遞增；當x時，f(x)0，函數f(x)單調遞減(2)a，13(0,2)，由(1)知，當x(0,1)時，f(x)0，函數f(x)單調遞減；當x(1,2)時，f(x)0，函數f(x)單調遞增，所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)對任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)等價于g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值，(*)又g(x)(xb)24b2，x1,2，所以，當b1時，g(x)ming(1)5