數(shù)字信號處理吳鎮(zhèn)揚_CHP5有限沖激響數(shù)字濾波器設(shè)計

1、趙發(fā)勇 zfy_ 序言序言 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特性濾波器的特性 5.2 窗口設(shè)計法（時間窗口法）窗口設(shè)計法（時間窗口法） 5.3 頻率采樣法頻率采樣法 5.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計 5.5 IIR與與FIR數(shù)字濾器的比較數(shù)字濾器的比較 IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器和優(yōu)缺點和優(yōu)缺點 優(yōu)點優(yōu)點 可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波 器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。 缺點缺點 相位的非線性相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性，將引起頻率的色散，若須線性 相位，則要采

2、用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正, ,使濾波器設(shè)使濾波器設(shè) 計變得復(fù)雜，成本也高。計變得復(fù)雜，成本也高。 1 1(1) 011 0 ( ) N Ni Ni i H zaa zaza z 輸入輸出的卷積關(guān)系為輸入輸出的卷積關(guān)系為 FIRFIR數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器濾波器的差分方程為的差分方程為 1 0 )()( N i i inxany 對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為 1 0 )()()( N i inxihny 比較可得：比較可得： ( ) i ah i 系數(shù)系數(shù)ai即為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，即為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，無極點無極點(或極或極 點在原點點在原點) 優(yōu)點優(yōu)點 （1 1

3、）很容易獲得）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)，避免被處理的信號產(chǎn) 生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù) 據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （2 2 ）可得到多帶幅頻特性；）可得到多帶幅頻特性； （3 3 ）極點全部在原點（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），）極點全部在原點（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題無穩(wěn)定性問題； （4 4 ）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一 定定 的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校难訒r，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿足因果性總是滿足；

4、（5 5）無反饋運算，運算誤差小。）無反饋運算，運算誤差小。 穩(wěn)定穩(wěn)定性及可實現(xiàn)性及可實現(xiàn)和和線性相位特性線性相位特性是是FIRFIR濾波器突出的優(yōu)點。濾波器突出的優(yōu)點。 語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中具有重要的應(yīng)用。中具有重要的應(yīng)用。 缺點缺點 （1 1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以 較高的階數(shù)為代價；較高的階數(shù)為代價； （2 2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解）無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解 析設(shè)計公式，要借助計算機輔助設(shè)計程序完成。析設(shè)計公式，要借助計算機輔助設(shè)計程序完成。 5.1 線性相位

5、線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)包括系統(tǒng)的頻率響應(yīng)包括幅頻特性幅頻特性和和相頻特性相頻特性。幅頻幅頻 特性特性反映了信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況反映了信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況。相相 頻特性頻特性反映了信號的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時間上反映了信號的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時間上 發(fā)生的位移情況發(fā)生的位移情況。 很多場合下，一個理想的離散時間系統(tǒng)（濾波器）很多場合下，一個理想的離散時間系統(tǒng)（濾波器） 除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通 等），最好具有等），最好具有線性相位線性相位,即即 argH() j ek 產(chǎn)

6、生什么效果？ 若：若： ( )k 其中其中k為常數(shù)為常數(shù) 也稱也稱線性相位線性相位 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 ()H()()() jjjjkj Y eeX eeX e 分析分析：現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的幅頻特性為：現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的幅頻特性為1，考慮，考慮信號經(jīng)過信號經(jīng)過 線性相位系統(tǒng)后的輸出線性相位系統(tǒng)后的輸出。設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為x(n)， 則輸出序列為則輸出序列為y(n)的頻率特性為的頻率特性為 由由DTFT的性質(zhì)可知輸出序列的性質(zhì)可知輸出序列 此式說明，輸出序列此式說明，輸出序列y(n)為輸入序列為為輸入序列為x(n)在時在時 間上位移。間上位移。 結(jié)論結(jié)論

7、 當(dāng)系統(tǒng)具有線性相位時，信號無當(dāng)系統(tǒng)具有線性相位時，信號無 失真（指無相位失真、有一定的失真（指無相位失真、有一定的 延遲）。延遲）。 ( )()y nx nk 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 定義定義系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲 ( ) ( ) g d 由上面的分析可知，由上面的分析可知，線性相位的群延遲為一常數(shù)。線性相位的群延遲為一常數(shù)。 可以將群延遲作為相頻特性是否線性的度量，同時，可以將群延遲作為相頻特性是否線性的度量，同時， 它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 當(dāng)當(dāng)FIR系統(tǒng)系統(tǒng)h(n)滿足

8、滿足 該系統(tǒng)具有線性相位。該系統(tǒng)具有線性相位。其中其中+表示偶對稱，表示偶對稱，-表示奇表示奇 對稱對稱(如圖示如圖示) 。同時由于。同時由于N可取奇或偶，共有四種可取奇或偶，共有四種 情況，情況， 下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特 性。性。 第一類FIR系統(tǒng) 第二類FIR系統(tǒng) 第三類FIR系統(tǒng) 第四類FIR系統(tǒng) 為偶數(shù)且 為奇數(shù)且 為偶數(shù)且 為奇數(shù)且 NnNhn、h NnNhn、h NnNhn、h NnNhn、h ),1()(4 ),1()(3 ),1()(2 ),1()(1 ( )()h nh Nn 1 5.1 線性相位線性相位FIR濾波

9、器的特點濾波器的特點 h(n)=h(N-1-n)為偶對稱為偶對稱 h(n)= -h(N-n-1)為奇對稱為奇對稱 N為偶為偶 N為奇為奇N為偶為偶 N為奇為奇 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 1、且、且N為奇數(shù)為奇數(shù) () )( ) ( )()( ) ( )()() ( )()() N n n N N N nn N n n N N N nn N n n N N nNn n H zh n z N h n zhzh n z N h n zh Nn zhz N h n zzhz 1 0 1 1 1 1 2 2 1 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 2 1 1 1 2 1

10、 2 0 1 2 1 1 2 1 2 （ ( )()h nh Nn 1 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 ) )( )() N jw N jwjwnjw N n N H eh n eehe 1 2 1 1 2 1 0 1 2 （-n （ ) ()( )() ( )cos() () N NNNN jjnjj j n N N j n N H eeh n eehe NN eh nnh 1 1 1111 2 2222 0 1 1 1 2 2 0 1 2 11 2 22 （-n+ 令令 則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)則系統(tǒng)的頻率響應(yīng) jw ze 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的

11、特點 arg() j N H e 1 2 系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為 系統(tǒng)的幅度函數(shù)系統(tǒng)的幅度函數(shù) 由定義可知，此時的由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。系統(tǒng)具有線性相位。 ( )( )cos() () N n NN Hh nnh 1 2 0 11 2 22 2 1 N nm令令 ，則，則 2/ ) 1( 1 cos) 2 1 (2 2 1 )( N m mm N h N hH 2 1 , 2 , 1, 2 1 2)(, 2 1 )0( N nn N hna N ha 2/1 0 cos)( N n nnaH 令令 則 由于由于 偶對稱，因此偶對稱，因此 對這些頻率對這些頻率 也呈

12、偶對稱。也呈偶對稱。 2 , 0cos關(guān)于n H (1)/2 1 11 ( )2 ()cos 22 N m NN Hhhmm 2 0 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 、h(n)= h(N-1-n),且且N為偶數(shù)為偶數(shù) () ) )( )( )( ) ( )() ( )( ) ( ) N NN nnn N nn n N N nn N n n NN nNn nn N nNn n Hzh n zh n zh n z h n zh Nn z h n zh n z h nzz 1 11 2 00 2 1 1 2 0 2 11

13、 22 1 00 1 2 1 0 1 （ （ 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 ) )( ) N jwjwnjw N n H eh n ee 1 2 1 0 （-n （ ) ()( ) N NNN jjnj j n H eeh n ee 1 111 2 222 0 （-n+ ( )cos() N N j n N eh nn 1 1 2 2 0 1 2 2 令令 則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)則系統(tǒng)的頻率響應(yīng) jw ze 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 arg() j N H e 1 2 系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為 系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為 由定義可

14、知，此時的由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。系統(tǒng)具有線性相位。 ( )( )cos() N n N Hh nn 1 2 0 1 2 2 令 ，則 1 2 N nm 2/ 1 2 1 cos1 2 2 N m mm N hH 1 2 0 1 21cos 22 N m N Hhmm n N hnb nnbH N n 1 2 2)( 2 1 cos)( 2/ 1 或?qū)憺椋?由于 奇對稱，所以 對 也為奇對稱，且由于 時， 處必有一零點， 因此這種情況不能用于設(shè)計 時 的 濾波器，如高通、帶阻濾波器。 對2/1cosn H 1)(, 0)(zzHH在故 0H , 02/1cosn 5.1 線性

15、相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 同理可求出同理可求出N奇、偶時系統(tǒng)的相頻特性分別為奇、偶時系統(tǒng)的相頻特性分別為 通過以上分析可知，當(dāng)通過以上分析可知，當(dāng)FIR DF的抽樣響應(yīng)滿足對稱時，的抽樣響應(yīng)滿足對稱時， 該濾波器具有線性相位該濾波器具有線性相位，其中，當(dāng)，其中，當(dāng)h(n)為奇對稱時，為奇對稱時， 通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生90的相移。的相移。 arg() j N H e 1 22 下面討論具有線性相位下面討論具有線性相位FIR濾波器零點分布及幅頻響應(yīng)問題濾波器零點分布及幅頻響應(yīng)問題 5.

16、1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 一、零點分析一、零點分析 利用利用h(n)的對稱性可知的對稱性可知 其中其中+表示偶對稱，表示偶對稱，-表示奇對稱。由上式容易可以看表示奇對稱。由上式容易可以看 出出H(Z-1)的零點也是的零點也是H(Z)的零點。的零點。 )( )() ( ) ( )() () NN nn nn N m Nn Nm m N Nn n N H zh n zh Nn z zh m z zh n z zH z 11 00 1 1 1 0 1 11 0 11 1（ 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 、情況一：情況一： 分析：分析：在這種情況下在

17、這種情況下H（Z-1）的零點也是）的零點也是H（Z） 的零點的零點,即即Zk為零點為零點 ， Zk-1也是零點也是零點,(兩者稱為單兩者稱為單 位圓鏡像對稱位圓鏡像對稱);同時同時,零點為復(fù)數(shù)，應(yīng)當(dāng)成對出零點為復(fù)數(shù)，應(yīng)當(dāng)成對出 現(xiàn)，即此時有四個互為倒數(shù)的兩組共軛現(xiàn)，即此時有四個互為倒數(shù)的兩組共軛 對零點，對零點， 如下圖所示：如下圖所示： 。zr， kkk 在單位圓內(nèi)且和, 10 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 、情況二：情況二： 分析：分析：此時零點不在單位圓上，但在實軸上，此時零點不在單位圓上，但在實軸上， 是實數(shù)是實數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的共軛就是自

18、己，所以有一對互為倒數(shù)的 零點零點,如下圖所示：如下圖所示： 。zr， kkk 在實軸上且和, 10 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 、情況三：情況三： 分析：分析：此時零點在單位圓上，但不在實軸上，因此時零點在單位圓上，但不在實軸上，因 倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，如倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，如 下圖所示：下圖所示： 。zr， kkk 在單位圓上且和, 10 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 、情況四：情況四： 分析：分析：此時零點既在單位圓上，又在實軸上，共此時零點既在單位圓上，又在實軸上，共 軛和倒數(shù)都合為一點，所以

19、軛和倒數(shù)都合為一點，所以以單以單出現(xiàn)，且只有兩出現(xiàn)，且只有兩 種可能，種可能，zk=1或或zk=-1。如下圖所示：。如下圖所示： . 10 kk r，且和 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 通過以上分析可知，一個具有線性相位的通過以上分析可知，一個具有線性相位的FIR DF， 其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級聯(lián)，即其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級聯(lián)，即 上述子傳輸函數(shù)分別對應(yīng)四種情況下的一階、二上述子傳輸函數(shù)分別對應(yīng)四種情況下的一階、二 階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對稱的系數(shù)，它階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對稱的系數(shù)，它 們均為們均為線性相位子系統(tǒng)線性相位子系統(tǒng)。為實現(xiàn)。

20、為實現(xiàn)H（Z）提供了方）提供了方 便，便，H（Z）各種情況下的零點位置示意圖如下如）各種情況下的零點位置示意圖如下如 所示。所示。 ) kmln kmln H zHzHzHzHz （ :4 order:4 order:2 order:2 order:2 order:2 order:1 order:1 order 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 二、線性相位二、線性相位FIR DF幅頻響應(yīng)特點幅頻響應(yīng)特點 在一個在一個FIR系統(tǒng)中，滿足圖系統(tǒng)中，滿足圖5.3.1所示的對稱性，所示的對稱性， 稱此進的稱此進的H（Z）為

21、鏡像對稱多項式（）為鏡像對稱多項式（MIP），下），下 面分析這引面分析這引MIP在在z=1或或z=-1處幅頻響應(yīng)的特點。處幅頻響應(yīng)的特點。 )() N H zzH z 11 （ 為偶數(shù)奇對稱類型 為奇數(shù)奇對稱類型 為偶數(shù)偶對稱類型 為奇數(shù)偶對稱、類型 N：、 N：、 N：、 N： ,44 ,33 ,22 ,11 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 第一類第一類FIR DF (偶對稱偶對稱,N為奇為奇)的特點：的特點： 恒相時延，相位曲線是過原點的直線。恒相時延，相位曲線是過原點的直線。 H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即即Z=-1和和1(或零點或零點 和和點點

22、)都能保證都能保證5.3.1式成立式成立, 點相當(dāng)模擬頻點相當(dāng)模擬頻 率率 s2，或者說模擬頻率的最高頻，或者說模擬頻率的最高頻(高頻端高頻端),因因 此此,此類此類FIR DF可靈活設(shè)置可靈活設(shè)置低通低通高通和帶通濾高通和帶通濾 波器波器. )() N H zzH z 11 （ 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 第二類第二類FIR DF (偶對稱偶對稱,N為偶為偶)的特點的特點： 恒相時延，相位曲線是過原點的直線。恒相時延，相位曲線是過原點的直線。 H(1)=H(1), H(-1)=-H(-1),即即點一定是點一定是 幅度函數(shù)的零點幅度函數(shù)的零點,以保證對稱性成立。以保

23、證對稱性成立。 點是零點是零 點說明高端不通，所以這類點說明高端不通，所以這類FIR系統(tǒng)系統(tǒng)只能做低只能做低 通和帶通通和帶通,不能設(shè)計高通和帶阻濾波器不能設(shè)計高通和帶阻濾波器. )() N H zzH z 11 （ 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 第三類第三類FIR DF (奇對稱奇對稱,N為奇為奇) 的特點的特點： 恒群時延，有恒群時延，有 /2 /2 附加相移，相位曲線附加相移，相位曲線 是截距為是截距為/2 /2 、斜率為、斜率為 -(N-1)/2 的直線。的直線。 對零頻和對零頻和頻均為頻均為奇對稱奇對稱, 即即H(1)=-H(1)， H(-1)=-H(-1)

24、，所以，所以零頻和零頻和頻頻都必須都必須是是H() 的零點，以保證對稱性。所以這類的零點，以保證對稱性。所以這類FIR系統(tǒng)只系統(tǒng)只 能做帶通能做帶通。 )() N H zzH z 11 （ 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 第四類第四類FIR DF (奇對稱奇對稱,N為偶為偶)的特點的特點： 恒群時延，有恒群時延，有/2 /2 附加相移。相位曲線附加相移。相位曲線 與第三類相同。與第三類相同。 幅度曲線對原點奇對稱，幅度曲線對原點奇對稱，H(1)=-H(1)零零 頻是的零點。頻是的零點。 幅度曲線對幅度曲線對H(-1)=H(-1),即即點點 偶對稱。所以這類偶對稱。所以這

25、類FIR系統(tǒng)只能做系統(tǒng)只能做高通和帶通高通和帶通 濾波器。濾波器。 )() N H zzH z 11 （ 5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 小結(jié)：小結(jié)： 線性相位濾波器是線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)濾波器中最重要的一種，應(yīng) 用最廣。實際使用時應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，用最廣。實際使用時應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型， 并在設(shè)計時遵循其約束條件。并在設(shè)計時遵循其約束條件。 基于模擬的設(shè)計是面向極點系統(tǒng)的設(shè)計，不適用基于模擬的設(shè)計是面向極點系統(tǒng)的設(shè)計，不適用 于于FIRFIR系統(tǒng)系統(tǒng)，目前，目前FIR DFRFIR DFR的設(shè)計方法主要建立在對的設(shè)計方法主要建立在

26、對 理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上，主要有理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上，主要有 窗數(shù)法（時域逼近）窗數(shù)法（時域逼近） 頻率抽樣法頻率抽樣法( (頻域逼近）頻域逼近） 最佳一致逼近法（等波紋逼近）最佳一致逼近法（等波紋逼近） 本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特 殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。 FIR DFFIR DF設(shè)計的含義是：設(shè)計的含義是： 根據(jù)根據(jù)給定的給定的設(shè)計指標(biāo)，求解所選運算結(jié)構(gòu)要求設(shè)計指標(biāo)，求解所選運算結(jié)構(gòu)要求 的的h(n)h(n)或或H(z)H(z)（線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求線性卷積和快

27、速卷積型結(jié)構(gòu)，求FIR FIR DFDF的的h(n)h(n)；級聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)，求級聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)，求FIR DF FIR DF 的的 H(z)H(z)） 。 1. 由理想的頻率響應(yīng)得到理想的由理想的頻率響應(yīng)得到理想的 ( ) d h n 2.2.由由 得到因果、有限長的單位抽樣得到因果、有限長的單位抽樣 響應(yīng)響應(yīng) ( ) d h n ( )h n 一、思路與方法：一、思路與方法： 如果希望如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為 ，時間窗函數(shù)設(shè)計法是從，時間窗函數(shù)設(shè)計法是從單位沖響應(yīng)序單位沖響應(yīng)序 列著手，使設(shè)計的濾波器單位沖激響應(yīng)列著手，使設(shè)計的濾波器單位沖

28、激響應(yīng)h(n)逼近逼近 理想的單位脈沖響應(yīng)序列理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。 () j d H e 我們知道我們知道h hd d(n(n) )可以從理想頻響通過付氏反變可以從理想頻響通過付氏反變 換獲得換獲得, , 即即 deeHnh njj dd 2 1 )( 如理想低通濾波器如理想低通濾波器 的單位沖激響應(yīng)為的單位沖激響應(yīng)為: : n n nh c d sin )( 特點：特點： 無限長無限長 非因果非因果 偶對稱偶對稱 解決方法：解決方法： 截短截短 移位移位 保留保留 這種截取可想象為這種截取可想象為h(nh(n) )是通過一個是通過一個“窗口窗口 ”所看到的一段所看到的一段h h

29、d d(n(n) )，因此這種方法稱為窗函因此這種方法稱為窗函 數(shù)法。數(shù)法。h(nh(n) )也可表達(dá)為也可表達(dá)為h hd d(n(n) )和一個和一個“窗函數(shù)窗函數(shù)” 的乘積，即的乘積，即h(nh(n)=)=w(nw(n) ) h hd d(n(n) ) 。 最簡單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)最簡單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)R RN N(n(n） ，后面我們還可看到，后面我們還可看到, ,為了改善設(shè)計濾波器的特為了改善設(shè)計濾波器的特 性，窗函數(shù)還可以有其它的形式性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩，相當(dāng)于在矩 形窗內(nèi)對形窗內(nèi)對h hd d(n(n) )作一定的加權(quán)處理。作一定的加權(quán)處理。

30、( )( -) d h nh n M 2 0,1,.,nM 即：即： 隱含著使用隱含著使用 了窗函數(shù)了窗函數(shù) )()()()(nwnhnheH dd j d )()(nheH j 1 0 )( N n jnj enheH 1 1）由定義）由定義 )()()2 j eHnhDFT 3 3）卷積）卷積 插值插值 設(shè)計步驟設(shè)計步驟 deWeH eWeHeH j R j d j R j d j )( 2 1 )(*)()( )( 窗函數(shù)對理想特性的影響：窗函數(shù)對理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 4/N，等于等于WR()的主瓣寬度的主

31、瓣寬度。（。（決定于窗長決定于窗長） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏）， 取決于取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對 值大，肩峰強值大，肩峰強 ，與與 N無關(guān)無關(guān)。（決定于窗口形狀）。（決定于窗口形狀） N增加增加,過渡帶寬減小過渡帶寬減小,肩峰值不變肩峰值不變。 其中其中x=N/2,所以所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比的改變不能改變主瓣與旁瓣的比 例關(guān)系，只能改變例關(guān)系，只能改變WR（）的絕對值大小和起伏的）的絕對值大小和起伏的 密度，當(dāng)密度，當(dāng)N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大增加時，幅

32、值變大，頻率軸變密，而最大 肩峰永遠(yuǎn)為肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs） 效應(yīng)。效應(yīng)。 x x N N N N N WR sin 2/ )2/sin( )2/sin( )2/sin( )( c c j j d e eH 0 1 )( 計算計算 )( )(sin( 2 1 2 1 )( n n dee deeHnh c njj njj dd c c 以一個截止頻率為以一個截止頻率為c c的線性相位理想低通濾波器的線性相位理想低通濾波器 為例為例, ,討論討論FIRFIR的設(shè)計問題。的設(shè)計問題。 1 1、對于給定的理想低通濾波器、對于給定的理想低通濾波器

33、這是一個以為這是一個以為 中心的偶對稱的中心的偶對稱的無限長非因果無限長非因果 序列序列，如果截取一段，如果截取一段n=0-Nn=0-N的的h hd d(n(n) )作為作為h(nh(n) )，則為，則為 保證所得到的是線性相位保證所得到的是線性相位FIRFIR濾波器，延時濾波器，延時 應(yīng)為應(yīng)為 h(nh(n) )長度長度N N的一半的一半, ,即即 2/N 為其它值n Nnonh nwnhnh d Rd 0 )( )()()( 其中其中)()(nRnw NR 2 2、計算、計算 )(nh 3 3、計算、計算)( j eH 改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的

34、特性， 窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求： 窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶； 相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量 盡量集中在主瓣中，這樣就盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰可以減小肩峰 和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際上這兩點不能兼得，一般總是通但實際上這兩點不能兼得，一般總是通 過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 1、理想的線性相位高通、理想的線性相位高通DF的頻率特性為的頻率特性

35、為 c c jwM jw d ww wwe eH |00 | )( 2/ 1 | )(| j eH w c w cp ww 截止頻率為： 相對于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設(shè)計相對于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設(shè)計 只需要改變積分的上下限即可，只需要改變積分的上下限即可，下面介紹：下面介紹： n M n M n M n deeHdeeH deeHnh c njj d njj d njj dd c c ) 2 ( ) 2 (sin) 2 (sin )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 理想的線性相位高通理想的線性相位高通DF相當(dāng)于一個全通減去相當(dāng)于一個全通減去 一個低通濾波

36、器一個低通濾波器. 2、理想的線性相位帶通、理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：的頻率特性為： 其它0 | )( 2/ hl Mj jw d wwwe eH n Mn MnwMnw dwedwe dweeHnh lh Mnj w w Mnj jwnjw dd h l l h )2/( )2/(sin)2/(sin 2 1 2 1 )( 2 1 )( 0 )2/( 0 )2/( 3、理想的線性相位帶阻、理想的線性相位帶阻DF：略：略 獲得理想特性后，選取一個滿意的窗函數(shù)獲得理想特性后，選取一個滿意的窗函數(shù)w(n)， 令令 h(n)w(n)hd(n) n0,1, ,M 則則h(n)即是要設(shè)計的濾波

37、器的頻率響應(yīng)。即是要設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)。 按上述方法設(shè)計出的濾波器，由于滿足了按上述方法設(shè)計出的濾波器，由于滿足了h(n) 土土h(M一一n)的對稱關(guān)系的對稱關(guān)系,因此都因此都具有線性相位具有線性相位。 FIR DF設(shè)計的窗函數(shù)法不但可以用來設(shè)計普通設(shè)計的窗函數(shù)法不但可以用來設(shè)計普通 的的LP，HP，BP及及BS濾波器，也可用以來設(shè)計一些特濾波器，也可用以來設(shè)計一些特 殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。 優(yōu)點優(yōu)點：1.1.無穩(wěn)定性問題；無穩(wěn)定性問題； 2.2.容易做到線性相位；容易做到線性相位； 3.3.可以設(shè)計各種特殊類型的濾波器

38、；可以設(shè)計各種特殊類型的濾波器； 4.4.方法簡單。方法簡單。 缺點缺點：1.1.不易控制邊緣頻率；不易控制邊緣頻率； 2.2.幅頻性能不理想；幅頻性能不理想； 3. 3. 較長；較長； ( )h n 二、窗函數(shù)法的特點：二、窗函數(shù)法的特點： 改進改進：1.1.使用其它類型的窗函數(shù)；使用其它類型的窗函數(shù)； 2.2.改進設(shè)計方法。改進設(shè)計方法。 )()()(nwnxnxN deWeX eWeXeX jj jjj N )( 2 1 )()()( )( 在信號處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題，在信號處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題， 例如，上節(jié)討論的例如，上節(jié)討論的FIR DF濾波器的設(shè)計，還有

39、比如在濾波器的設(shè)計，還有比如在 功率譜估計中要遇到對自相關(guān)函數(shù)的截短問題。功率譜估計中要遇到對自相關(guān)函數(shù)的截短問題。 總之，我們在實際工作中所能處理的離散序列總總之，我們在實際工作中所能處理的離散序列總 是有限長。把一個長序列變成有限長的短序列不可避是有限長。把一個長序列變成有限長的短序列不可避 免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應(yīng)用免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應(yīng)用 是信號處理中的一個基本問題。是信號處理中的一個基本問題。 下面給出了三個領(lǐng)域指標(biāo)以定量地比較各種窗函下面給出了三個領(lǐng)域指標(biāo)以定量地比較各種窗函 數(shù)的性能：數(shù)的性能： 3dB3dB帶寬帶寬B B 它是主瓣歸一化

40、的幅度下降到一它是主瓣歸一化的幅度下降到一3dB3dB時帶寬。當(dāng)時帶寬。當(dāng) 數(shù)據(jù)長度為數(shù)據(jù)長度為N N時，矩形窗主辨兩個過零點之間的寬度為時，矩形窗主辨兩個過零點之間的寬度為 4 4N N。 最大邊瓣峰值最大邊瓣峰值A(chǔ) A (dB) (dB)。 邊瓣譜峰漸近衰減速度邊瓣譜峰漸近衰減速度D D (dB (dBoctoct) )。 說明：一個理想的窗函數(shù)，應(yīng)該具有說明：一個理想的窗函數(shù)，應(yīng)該具有最小的最小的B B和和A A及及 最大的最大的D D。 除以上三個指標(biāo)外，除以上三個指標(biāo)外，窗函數(shù)窗函數(shù)還有一些共同的要求：還有一些共同的要求： w(n)應(yīng)是非負(fù)的實偶函數(shù)，且應(yīng)是非負(fù)的實偶函數(shù)，且w(n)

41、從對稱中心開從對稱中心開 始，應(yīng)是非遞增的。始，應(yīng)是非遞增的。 由由(7.2.2)式可知，若式可知，若X(ejw)恒為正，那么，若恒為正，那么，若 W(ejw)有正有負(fù)。則有正有負(fù)。則XN(ejw)將有正有負(fù)。因為功率譜將有正有負(fù)。因為功率譜 總是正的，因此，我們希望總是正的，因此，我們希望W(ejw)也盡可能是正的。也盡可能是正的。 窗函數(shù)的頻譜應(yīng)滿足窗函數(shù)的頻譜應(yīng)滿足 1)( 2 1 )0( deWw j ）升余弦窗布萊克曼窗（又稱二階 弦窗）漢明窗（又稱改進余（ 窗）漢寧窗（又稱升余弦（ 窗三角窗（又稱 ）矩形窗（ 的特性。的窗函數(shù)，并比較它們下面我們討論五種常用 Window，Blac

42、kman Windowg，Ha Window，Hanning Window，BartlettBartlett Windowglec )5( )min4 )3 )2( )tanRe1 octdBDdBABeW e w w N N eW NNnnNw Nn N n nw jw w N j jw /12,27,28. 1) ) 2/sin( ) 4 sin( 2 ) 1, 2/)( 2/, 2 , 1 , 0 2 )( ) 2 1 ( 2 的（ （ 其頻率響應(yīng)為： octdBDdBAdBB NeU N U N UUeW N ， N n N n nW Nn N n nW j j /18,32,44.

43、1 ) 2/sin(/ ) 2/sin()( ) 2 () 2 (25. 0)(5 . 0)( 2 0 2 ), 2 cos(1 5 . 0)( 10), 2 cos(1 5 . 0)( 2/ 式中 或 優(yōu)點優(yōu)點 由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅值的矩由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅值的矩 形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消， 從而能量相當(dāng)有效地集中在主瓣內(nèi)。從而能量相當(dāng)有效地集中在主瓣內(nèi)。 代價（缺點）代價（缺點） 主瓣加寬一倍，可達(dá)到減少肩峰，余振，提主瓣加寬一倍，可達(dá)到減少肩峰，余振，提 高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大 N

44、 B 8 0 主瓣寬度： octdBDdBANBdBB N wU N wUeUeW eW ，N，Nn N n nw Nn N n nw jwjw jw Hm /6,43,/8,3 . 1 ) 2 23. 0) 2 23. 0)(54. 0)( )( 2/, 02/,) 2 cos(46. 054. 0)( 1, 2 , 1 , 0,) 2 cos(46. 054. 0)( 0 （ 為其頻域函數(shù) 或 . ,43 96.99 主瓣寬度和漢寧窗相同 主瓣小 ，第一旁瓣的峰值比主瓣的能量約占 更加集中在主瓣中，改進的升余弦窗，能量 dB octdBDdBANBB N wU N wU N wU N wU

45、UeW N，Nn N n N n nw Nn N n N n nw jw /18,58,/12,68. 1 ) 4 () 4 (04. 0 ) 2 () 2 (25. 0)(42. 0)( 2/,2/, 4 cos08. 0 2 cos5 . 042. 0)( 1, 2 , 1 , 0, 4 cos08. 0 2 cos5 . 042. 0)( 0 其頻域函數(shù)為： 或 N B ， wU 12 3 )( 倍。即：到矩形窗的 寬但主瓣寬度卻不得不加可以得到更低的旁瓣， 阻帶衰減進一步增加，使旁瓣再進一步抵消 函數(shù)，幅度也不同的它們都是移位不同，且 成，其幅頻函數(shù)由五部分組 18/1258 6/84

46、3 18/832 12/827 6/413 )/) N N N N N octdBwdB 布萊克曼窗 漢明窗 漢寧窗 三角形窗 矩形窗 漸近衰減速度（過渡帶寬旁瓣峰值幅度（窗函數(shù) % for example 7.9.1 and 7.1.1to test fir1.m clear all; N=10; M=128; b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1); % 矩形窗作為沖激響應(yīng)的窗函數(shù)矩形窗作為沖激響應(yīng)的窗函數(shù) b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1); % 漢明窗作沖激響應(yīng)的窗函數(shù)漢明窗作沖激響應(yīng)的窗函數(shù) h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,

47、1,M);% 求濾波器的頻率響應(yīng)；求濾波器的頻率響應(yīng)； t=0:10; subplot(221);stem(t,b2,.);hold on; plot(t,zeros(1,11);grid; f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4; for k=1:M1 hd(k)=1; hd(k+M1)=0; hd(k+2*M1)=0; hd(k+3*M1)=0; end subplot(222);plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid; 0510 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 00.8 0 0.2 0.4 0.6 0.

48、8 1 窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)的一種設(shè)計法。窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)的一種設(shè)計法。工工 程上，程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)，所以采用頻域設(shè) 計更直接。計更直接。尤其對于尤其對于Hd(ejw)公式較復(fù)雜，或公式較復(fù)雜，或Hd(ejw) 不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率 抽抽樣設(shè)計法更為方便，有效。樣設(shè)計法更為方便，有效。 1 0 2 2 2 1, 2 , 1 , 0,)( 1 )( ).()( 1, 2 , 1 , 0),()()( N k kn N j d d k N j d k N w jw dd

49、 NnekH N nh nhIDFTkHN NkeHeHkH ，得到進行點再對 一、思路與方法 使所設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某 些離散頻率點上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在 這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有 較好的逼近。 j nh N IDFT N N k j d j d eHnhkHeHeH d )( 2 )()( 不同于 點 點 頻率取樣 確定 1 0 2 1 0 1 01 2 1 0 1 )(1 )() )( 1 )(1 ) )()( )() N kj k N j d Nj N n njj d N k k N j d N d N n n ee kH N e enheH kH

50、 ze kH N z zH ，kHzH znhzH （ 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 。形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)采樣值此式就是直接利用頻率 看出： （ 插值公式為：來表示也可用當(dāng)然 （ 系統(tǒng)函數(shù)為 1 0 )1( 2 1 2/2sin 2/2sin )()( N k N kN j d N j j NkN NkN ekHeeH ， 有經(jīng)推導(dǎo) 2/2sin 2/2sin ),( )1( NkN NkN ekS N kN j 令 1 0 2 1 ),()()( N k d N j j kSkHeeH 有 由此可以看出，連續(xù)函數(shù)由此可以看出，連續(xù)函數(shù)H(eH(ej jw w) )是由以是由以N N個離散值從個離散值從

51、 H Hd d(k(k) ) 作為權(quán)重和插值函數(shù)作為權(quán)重和插值函數(shù)S(S(w,kw,k) )線性組合的結(jié)果。線性組合的結(jié)果。 線性相位條件線性相位條件 為了設(shè)計線性相位的為了設(shè)計線性相位的FIRFIR濾波器，采樣值濾波器，采樣值 H H（k k）要滿足一）要滿足一 定的約束條件。定的約束條件。 具有線性相位的具有線性相位的FIRFIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(nh(n) )是實序是實序 列，且滿足列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻，由此得到的幅頻和相頻 特性，就是對特性，就是對H(kH(k) )的約束。的約束。 情況一情況一: :設(shè)計第一類線性相位設(shè)計第一類線性相位FIR

52、FIR濾波器，即濾波器，即N N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(nh(n) )偶偶 對稱，則對稱，則 幅度函數(shù)幅度函數(shù)( (用用H(H() )表示表示) )應(yīng)具有偶對稱性：應(yīng)具有偶對稱性： )1()(nNhnh 2 1 | )(| N jjj eeHeH )2()( HH 令令 則則 必須滿足偶對稱性：必須滿足偶對稱性： 而而 必須取為：必須取為： k j k eHkH )( k N kNN k N k ) 1( 2 1 2 情況二情況二:設(shè)計第二種線性相位設(shè)計第二種線性相位FIRFIR濾波器，濾波器，N N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(nh(n) ) 偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的，偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的

53、， 2HH kNk HH k H1, 1 , 0Nk 1, 1 , 0Nk 因此，因此，H Hk k 也必須滿足奇對稱性：也必須滿足奇對稱性： 相位關(guān)系同上，相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位其它兩種線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，同樣也要滿足數(shù)字濾波器的設(shè)計，同樣也要滿足 幅度與相位的約束條件。幅度與相位的約束條件。 同樣可根據(jù)頻率響應(yīng)的插值公式來分析。同樣可根據(jù)頻率響應(yīng)的插值公式來分析。 kNk HH 1, 1 , 0, ) 1( Nk N kN k 1, 1 , 0Nk 根據(jù)所設(shè)計濾波器的通帶和阻帶的要求根據(jù)所設(shè)計濾波器的通帶和阻帶的要求, ,根據(jù)根據(jù)N N為為 奇偶奇偶, ,按線性

54、相位要求指定按線性相位要求指定H Hd d( (k k).). 計算計算 , ,求出所設(shè)計濾波器的頻率響求出所設(shè)計濾波器的頻率響 應(yīng)。應(yīng)。 例例.1 例例.2 分析：分析：過渡帶的設(shè)計過渡帶的設(shè)計 )( ZH)(nh 綜上所述，頻率抽樣法的設(shè)計步驟為綜上所述，頻率抽樣法的設(shè)計步驟為 二、頻率抽樣法的特點二、頻率抽樣法的特點 優(yōu)點：優(yōu)點： 直接從頻域進行設(shè)計，物理概念清楚，直觀方便直接從頻域進行設(shè)計，物理概念清楚，直觀方便 ； 適合于窄帶濾波器設(shè)計，這時頻率響應(yīng)只有少數(shù)適合于窄帶濾波器設(shè)計，這時頻率響應(yīng)只有少數(shù) 幾個非零值。幾個非零值。 缺點：缺點： 截止頻率難以

55、控制。截止頻率難以控制。因頻率取樣點都局限在因頻率取樣點都局限在 2/N2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻 率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N N， 可以接近任何給定的頻率，但計算量和復(fù)雜性增加。可以接近任何給定的頻率，但計算量和復(fù)雜性增加。 前面介紹了前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計方數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計方 法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼 近法），用這兩種方法設(shè)計出的濾波器的頻率特性都近法），用這兩種方法設(shè)計出的濾波

56、器的頻率特性都 是在不同意義上對給定理想頻率特性是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。的逼近。 說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對 “好好”“”“壞壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會得出不同的結(jié)論。的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會得出不同的結(jié)論。 窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所 需變量，然后再討論其逼近特性。需變量，然后再討論其逼近特性。 如果反過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計濾波器各參如果反過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計濾波器各參 數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計的概數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計的概

57、 念，最優(yōu)化設(shè)計一般需要大量的計算，所以一般需要念，最優(yōu)化設(shè)計一般需要大量的計算，所以一般需要 依靠計算機進行輔助設(shè)計。依靠計算機進行輔助設(shè)計。 從數(shù)值逼近的理論來看，對函數(shù)從數(shù)值逼近的理論來看，對函數(shù)f(x)的逼近一般有的逼近一般有 三種方法（或可以適用于三種方法（或可以適用于FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計中）濾波器最優(yōu)化設(shè)計中） ： 插值法插值法 最小平方逼近法（最小均方誤差）最小平方逼近法（最小均方誤差） 最佳一致逼近法最佳一致逼近法( (最大誤差最小化準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則) ) 插值法：即尋找一個插值法：即尋找一個n n階多項式階多項式p p( (x x) )使它在使它在n+1n+1個點個點

58、 處滿足處滿足 而在非插值點上，而在非插值點上，p(xp(x) )是是f(xkf(xk) )的某種組合。在非插值的某種組合。在非插值 點上存在一定的誤差。點上存在一定的誤差。 頻率抽樣法可以看作為插值法。頻率抽樣法可以看作為插值法。 nkxfxp kk , 2 , 1 , 0),()( 最小平方逼近法（最小均方誤差）最小平方逼近法（最小均方誤差） 若以若以E(eE(ej j) )表示逼近誤差，則 表示逼近誤差，則 那么均方誤差為那么均方誤差為 deEdeHeH jjj d 2 2 2 2 1 2 1 )()( jj d j eHeHeE）（ 均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時域采樣值，以使均均方誤

59、差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時域采樣值，以使均 方誤差方誤差 ，這一方法注重的是在整個，這一方法注重的是在整個-頻頻 率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點 的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差， min 2 對于窗口法對于窗口法FIRFIR濾波器設(shè)計，因采用有限項的濾波器設(shè)計，因采用有限項的h(nh(n) )逼近逼近 理想的理想的h hd d(n(n) )，所以其逼近誤差為：，所以其逼近誤差為： 如果采用矩形窗如果采用矩形窗 則有則有 n d nhnh 2 2 )()( 其它0 1)( )( Nnonh n

60、h d 1 222 | )()(| )()(| nNn dd nhnhnhnh 可以證明，這是一個可以證明，這是一個最小均方誤差最小均方誤差264264。 其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大, ,或者說或者說 誤差分布不均勻。誤差分布不均勻。 最大誤差最小化最大誤差最小化最佳一致逼近最佳一致逼近 等波紋逼近）等波紋逼近） 表示為表示為 切比雪夫理論指出，這樣的多項式是存在的。切比雪夫理論指出，這樣的多項式是存在的。 優(yōu)點優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分 布均勻，相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化