【精品解析】2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題一選擇題1. 設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：.故選：D.2. 已知，(i為虛數(shù)單位)，則（ ）A. B. 1C. D. 3【答案】C【解析】【分析】首先計算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實數(shù)的值.【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.3. 已知非零向量，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳

2、解】如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，所以成立，此時，不是的充分條件，當(dāng)時，,成立，是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件故選：B.4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，故，故選：A.5. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】畫出滿足條件的可行域，目標(biāo)函數(shù)化為，求出過可行域點，且斜率為的直線在軸上

3、截距的最大值即可.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)化為，由，解得，設(shè)，當(dāng)直線過點時，取得最小值為.故選：B6. 如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）A. 直線與直線垂直，直線平面B. 直線與直線平行，直線平面C. 直線與直線相交，直線平面D. 直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯

4、誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.7. 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，則，當(dāng)時，與圖象不符，排除C.故選：D.8. 已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（ ）A. 0

5、B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于個數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.9. 已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）A. 直線和圓B. 直線和橢圓C. 直線和雙曲

6、線D. 直線和拋物線【答案】C【解析】【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進(jìn)行整理變形：，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，屬于中等題.10. 已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】顯然可知，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解【詳解】因為，所以，由，即根據(jù)

7、累加法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由裂項求和法得：所以，即故選：A【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得二填空題11. 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則_.【答案】25【解析】【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方

8、形的邊長為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.12. 已知，函數(shù)若，則_.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.13. 已知多項式，則_，_.【答案】 (1). ; (2). .【解析】【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.【詳解】， ，所以，所以.故答案為：.14. 在中，M是的中點，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦

9、定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.15. 袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則_，_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出【詳解】，所以，, 所以, 則由于故答案為：1；16. 已知橢圓，焦點，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是_，橢圓的離心率是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可

10、求得離心率【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點為，所以, 由，所以，于是，即，所以故答案為：；17. 已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由平面向量的知識可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.三解答題18. 設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.

11、【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，由可得，所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.19. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）要證，可證，由題意可得，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的

12、一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系, 則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角正弦值為【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出20. 已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足

13、，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，由，得，得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，得；時，得；所以.【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.21.

14、 如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點F的直線交拋物線與AB兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）設(shè)，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.（2）設(shè)，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因為，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截

15、距的范圍為或或.【點睛】方法點睛：直線與拋物線中的位置關(guān)系中的最值問題，往往需要根據(jù)問題的特征合理假設(shè)直線方程的形式，從而便于代數(shù)量的計算，對于構(gòu)建出的函數(shù)關(guān)系式，注意利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍問題.22. 設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同零點，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問

16、題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，若，則，所以在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上