三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布04854PPT學習教案

1、會計學1三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布048542（卡方）（卡方）分布分布 0,1XN定義定義1:1:設總體設總體 ， 是是 的一的一個樣本個樣本, ,則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量 X12,.,nXXX222212nXXX的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 函數(shù)。為）（其中)0(01tdxextxt則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量 服從自由度為服從自由度為n n的的 分布，分布，記作記作222212nXXX222( )n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf第1頁/共31頁0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖圖

2、5-4f(y)其圖形隨自由度的其圖形隨自由度的不同而有所改變不同而有所改變. .分布密度函數(shù)的圖形分布密度函數(shù)的圖形2( )n注：自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)，注：自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)， dfn第2頁/共31頁性質(zhì)性質(zhì)1 1： 2 2分布的數(shù)學期望與方差分布的數(shù)學期望與方差設設 2 2(n)，則，則E( 2)=n，D( 2)=2n.性質(zhì)性質(zhì)2 2： 2 2分布的可加性分布的可加性設設22221122( ),(),nn 且且2212, 相互獨立相互獨立，則則2221212()nn 第3頁/共31頁dtexnnPxnxtn22222212lim),(3有則對任意實數(shù)：設性質(zhì).2 ,2）（于

3、正態(tài)分布分布近似的很大時，自由度為這個性質(zhì)說明當nnNnn第4頁/共31頁定理定理1 設設(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 證明證明 由已知，有由已知，有XiN( ， 2)且且X1，X2，Xn相互獨立，相互獨立，則則(0,1)iXN 且各且各iX 相互獨立相互獨立，由定義由定義1 :得得2221212()( ).nniiiiXXn 第5頁/共31頁 定理定理3 :3 : 設設(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互

4、獨立；相互獨立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度為什么是式的自由度為什么是n- -1？從表面上看，從表面上看，21()niiXX 是是n個正態(tài)隨機變量個正態(tài)隨機變量的平方和，的平方和，iXX 但實際上它們不是獨立的，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：它們之間有一種線性約束關(guān)系：11()nniiiiXXXnX =0這表明，當這個這表明，當這個n個正態(tài)隨機變量中有個正態(tài)隨機變量中有n- -1個取值給定時，剩個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有項平方和中只有

5、n- -1項是獨立的項是獨立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1.第6頁/共31頁 定理定理3 3： 設設(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨立；相互獨立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較：與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較： 性質(zhì)性質(zhì) 設設(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 第7頁/共31頁其幾何意義見圖其幾何意義見圖5-5所示所示.其中

6、其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 圖圖5-5顯然，在自由度顯然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只與的值只與 有關(guān)有關(guān). 2( )n 2 2分布的分布的 上側(cè)分位點上側(cè)分位點上側(cè)分位點。分布的為的點滿足條件稱）（對于給定的正數(shù)：設定義)()()()(,10),(222)(22222nndxxfnPnn第8頁/共31頁例如，當例如，當n=21， =0.05時，由附表時，由附表3(P254)可查得，可查得，20.05(21) 32.67即即 2(21)32.670.05.P 第9頁/共31頁二、二、t t分布分布定義定義3 設隨機變量設隨機變量XN(

7、0，1)，Y 2(n) ，且且X與與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量相互獨立，則稱統(tǒng)計量 XTYn 服從自由度為服從自由度為n的的t分布分布， 記作記作t分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為T t(n).1221()2( )(1), ()( )2nntf ttnnn 其圖形如圖其圖形如圖5-6所示所示(P106)， 其其形狀類似標準正態(tài)分布形狀類似標準正態(tài)分布的概率密度的圖形的概率密度的圖形.當當n較大時，較大時， t分布近似于標準正態(tài)分布分布近似于標準正態(tài)分布.第10頁/共31頁定理定理4設設(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計量的樣本，則統(tǒng)計量證證由于

8、由于與與S 2相互獨立，且相互獨立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定義由定義3得得22 (1)(1)(1)XnXTt nSnnSn 1)-t(n/nSXT第11頁/共31頁定理定理5 設設(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2) 分分別是來自正態(tài)總體別是來自正態(tài)總體N( 1 ， 2)和和N( 2 ， 2)的樣本，且的樣本，且它們相互獨立，則統(tǒng)計量它們相互獨立，則統(tǒng)計量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差分別為兩總體的樣本方差.第12頁/共3

9、1頁2)-nt(n11)(3)2() 1() 1() 1() 1(),1() 1(1 , 0)(X2121212122222221122221222222122211221221知再由定義分布的性質(zhì)知相互獨立，由與且）（證明：由例知nnSYXTnnSnSnSSnSnnSnNnnYn第13頁/共31頁t t 分布的分布的 上側(cè)分位點上側(cè)分位點對于給定的對于給定的 (0 45時，如無詳細表格可查，可以用標準時，如無詳細表格可查，可以用標準正態(tài)分布代替正態(tài)分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即t (n)u ， n45. 一般的一般的t分布臨界值表中，詳列至分布臨界值表中，詳列至n=30，當

10、，當n30就用標準正態(tài)分布就用標準正態(tài)分布N(0, 1)來近似來近似.第16頁/共31頁三、三、F F分布分布服從第一自由度為服從第一自由度為n1，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分布，分布，定義定義5.5 設隨機變量設隨機變量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且與相互獨立，則稱隨機變量與相互獨立，則稱隨機變量 12X nFY n 記作記作FF(n1，n2).概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其圖形見圖其圖形見圖5-9.(P108) 第17頁/共31頁1X性質(zhì)性質(zhì)：若：若XF(n1，n2)，則，則F(n2，n1)