第二章 平面匯交力系

1、12引引 言言 平面匯交力系平面匯交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情況平面力偶系是其中的特殊情況 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系) 平面力系是靜力學(xué)討論的重點(diǎn)平面力系是靜力學(xué)討論的重點(diǎn) 力系可分為：力系可分為：平面力系、空間力系平面力系、空間力系平面特殊力系：指的是平面匯交力系、平面力偶系和平面平平面特殊力系：指的是平面匯交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。3 21 平面匯交力系合成和平衡平面匯交力系合成和平衡 22 平面力偶系平面力偶系 23 平面任意力系平面任意力系 24 物體系的平衡物體系的平衡 25 簡(jiǎn)單平行內(nèi)力

2、計(jì)算簡(jiǎn)單平行內(nèi)力計(jì)算 第二章第二章 平面力系平面力系4 二二 平面匯交力系平面匯交力系 研究方法：幾何法，解析法。研究方法：幾何法，解析法。例：吊重物，角鋼家。一、平面匯交力系合成與平衡一、平面匯交力系合成與平衡一一 工程實(shí)例工程實(shí)例 各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。 三三 基本問(wèn)題和方法基本問(wèn)題和方法 基本問(wèn)題基本問(wèn)題：力系的簡(jiǎn)化合成合成； 力系的平衡平衡平衡5四四 平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法cos2212221FFFFFR2. 任意個(gè)共點(diǎn)力的合成任意個(gè)共點(diǎn)力的合成1.1.兩個(gè)共點(diǎn)力的合成兩個(gè)共點(diǎn)力的合成由余弦定理： 由力的平行四邊形法則作，也可用力的三角

3、形來(lái)作。合成辦法：合成辦法：多次用平行四邊形 法則或者三角形法則 多邊形法則多邊形法則FR6211FFFR31312iiRRFFFFiniinRnRFFFFF1131312iiRRFFFF211FFFR力多邊形力多邊形F1三個(gè)力：三個(gè)力：N個(gè)力個(gè)力: 力多邊形：力多邊形：合力和分力構(gòu)成了一個(gè)多邊形封閉邊：封閉邊：合力對(duì)應(yīng)的邊7 結(jié)論：結(jié)論：平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，合力的作用線過(guò)平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，合力的作用線過(guò)力系的匯交點(diǎn)，合力的大小可以用力多邊形的封閉邊來(lái)確定。力系的匯交點(diǎn)，合力的大小可以用力多邊形的封閉邊來(lái)確定。等于各分力的矢量和，表達(dá)式為：等于各分力的矢量和，表達(dá)式為

4、： 力多邊形法則：力多邊形法則：分力之間首尾相接，合力由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。分力之間首尾相接，合力由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。niinRFFFFFF13218二、平面匯交力系平衡的幾何法二、平面匯交力系平衡的幾何法 在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是： 0F力多邊形自行封閉力多邊形自行封閉力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零FR9幾何法解題步驟：幾何法解題步驟：選研究對(duì)象；選研究對(duì)象；作出受力圖；作出受力圖； 作力多邊形，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?；作力多邊形，選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸?求出未知數(shù)求出未知數(shù)幾何法解題

5、不足：幾何法解題不足： 精度不夠，誤差大精度不夠，誤差大 作圖要求精度高；作圖要求精度高； 不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。 下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法： 解析法解析法。 10三三 力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影 力的投影力的投影：解析法是以力的投影為基礎(chǔ)的。解析法是以力的投影為基礎(chǔ)的。 投影：投影：從力起點(diǎn)和力的終點(diǎn)分別向投影軸作垂線，兩垂足之間的線段就稱為力在坐標(biāo)軸上的投影；注意：注意：1）投影是線段，是代數(shù)量，不是矢量。2）投影的表示：FX Fy且 FX =Fcos Fy=Fsin 3）投影的正負(fù)：當(dāng)ab與投影軸的正向一致時(shí)，投影為正

6、，反之為負(fù)。一一 力的投影力的投影abOyxb1a1FYFxABFFy 11FFFFFFFyxyxcos;cos:22根據(jù)投影求合力.投影的性質(zhì)：1）力在垂直于投影軸上的投影為零。 2）力在平行投影軸時(shí)的投影為力的大小。 3）力在相互平行的投影軸上的投影相等。投影和分力的區(qū)別：投影和分力的區(qū)別： 1）分力是矢量，投影是標(biāo)量；）分力是矢量，投影是標(biāo)量； 2）分力與合力之間遵循平行四邊形法則，投影與合）分力與合力之間遵循平行四邊形法則，投影與合 力之間是合力的垂足間線段的關(guān)系。力之間是合力的垂足間線段的關(guān)系。 3）在正交坐標(biāo)軸上投影與分力的大小是相同的。）在正交坐標(biāo)軸上投影與分力的大小是相同的。1

7、2 只有在直角坐標(biāo)系中投影和分力的值相等，在寫(xiě)坐標(biāo)系中他們就不一定相等，如下圖：13四、平面匯交力系合成與平衡的解析法四、平面匯交力系合成與平衡的解析法一一 合力投影定理合力投影定理 推廣到推廣到n個(gè)力的情況，得合力的投影個(gè)力的情況，得合力的投影FRx ， FRy分別為：分別為：可得：可得： FRx = Fx ， FRy = FybdaceF3F1F2F4FRxy由圖可見(jiàn)由圖可見(jiàn)ad=ab+bc+ce-de所以得：所以得：FRx =F1x+F2x+F3x+F4xFRy =F1y+F2y+F3y+F4y合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各

8、分力在同一 軸上投影的代數(shù)和。軸上投影的代數(shù)和。14合力的大?。汉狭Φ拇笮。?方向：方向： 作用點(diǎn)：作用點(diǎn)： 為該力系的匯交點(diǎn)為該力系的匯交點(diǎn)二、平面匯交力系合成與平衡的解析法二、平面匯交力系合成與平衡的解析法 從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。022RyRxRFFF22RyRxRFFFRxiRFFiF),cos(RyiRFFjF),cos(1500yRyxRxFFFF為平衡平衡方程為平衡平衡方程1 注意：注意：此條件是物體平衡的充分必要條件；此條件是物體平衡的充分必要條件； 兩個(gè)方程是獨(dú)立的方程，只能求解兩個(gè)方程是獨(dú)立的方程，只能求解兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)未知量。 未知

9、力的方向可先假定；未知力的方向可先假定； 選軸：選軸：兩個(gè)正交的軸兩個(gè)正交的軸。 結(jié)論：結(jié)論：平面匯交力系平衡時(shí)的充分必要條件是：力系中平面匯交力系平衡時(shí)的充分必要條件是：力系中所所 有力在其作用面內(nèi)任選取的坐標(biāo)軸上，投影的代有力在其作用面內(nèi)任選取的坐標(biāo)軸上，投影的代數(shù)數(shù) 和分別為零。和分別為零。16例例1 圖示結(jié)構(gòu)，F(xiàn)已知，求:A和B處的約束力。（用解析法）FFFA解：解：1）選取剛架為研究對(duì)象：2）畫(huà)出受力圖：如（b）8m4mABCD（a）3）列平衡方程求解：（b）Fx =0 F - FAcos = 0Fy =0 FB - FAsin = 0cosFFAkN4 .228482022tgFF

10、FFADsin)cos(sinkN108420FB17例2-1：如圖所示拖拉機(jī)的制動(dòng)蹬，制動(dòng)時(shí)用力F踩踏板、通過(guò)CD桿制動(dòng)， F=100N，,踏板和拉桿自重不計(jì)，求拉力和B處約束力？解：解： 為二力桿，取踏板為二力桿，取踏板為研究對(duì)象為研究對(duì)象CD列平衡方程式：列平衡方程式：1 1）選擇平衡方程的類型：）選擇平衡方程的類型： 平面匯交力系的平衡平面匯交力系的平衡2 2）選擇投影軸）選擇投影軸0,cos45cos3000,sin30sin450 xTByBFFFFFFF。18sin4522 100141.4()sin30BFFFN。(cos45sin45 cot30 )22100 (3)193.

11、2()22TFFN。解方程得：解方程得：BF由計(jì)算結(jié)果知：為正值，說(shuō)明假設(shè)的與實(shí)際方向一致19求：系統(tǒng)平衡時(shí)，桿AB、BC受力.已知：系統(tǒng)如圖，不計(jì)桿、輪自重和尺寸，P=20kN；解：1）取滑輪B（或點(diǎn)B） 2）AB、BC桿為二力桿，畫(huà)受力圖. 3）用解析法，建圖示坐標(biāo)系0ixF030cos60cos21FFFBAPFF21060cos30cos21FFFBC 0iyFkN32.27BCF解得：kN321.7BAF例例2-220課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題 圖示兩圓柱，直徑相同，重圖示兩圓柱，直徑相同，重P1 =P2=P,放在槽內(nèi)。各接觸面放在槽內(nèi)。各接觸面均為光滑接觸。求：、三處的約束力。均為光滑接

12、觸。求：、三處的約束力。(OO1=1.414R)解：解：1）分析柱）分析柱1 ，受力圖（，受力圖（b）：）：Fx=0 FNB cos45-FNA=0Fy=0 FNB sin45-P=0 得得FNB =1.414P FNA =P 2) 分析柱分析柱2，受力圖（，受力圖（c）Fx=0 FNC -FNB cos45 =0Fy=0 FND-FNB sin45-P=0 得得FND =2P FNC =P 21 1、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度 特殊時(shí)用特殊時(shí)用 幾幾 何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。 解題技巧及說(shuō)明：解題技巧及說(shuō)

13、明：3、投影軸選擇與未知力垂直，最好每個(gè)方程只有一個(gè)未知數(shù)。、投影軸選擇與未知力垂直，最好每個(gè)方程只有一個(gè)未知數(shù)。 2、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，都用解析法。、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，都用解析法。 5、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出 負(fù)值，負(fù)值， 說(shuō)明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件，說(shuō)明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件， 一般先設(shè)為拉一般先設(shè)為拉 力，如果求出負(fù)值，說(shuō)明物體受壓力。力，如果求出負(fù)值，說(shuō)明物體受壓力。 4、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。22力對(duì)物體可以產(chǎn)生 移動(dòng)效應(yīng)移動(dòng)效應(yīng)-取

14、決于力的大小、方向轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)-取決于力矩的大小、方向2-2 2-2 平面力偶系平面力偶系一、力對(duì)點(diǎn)的矩一、力對(duì)點(diǎn)的矩 1)定義定義：力使物體繞某定點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn) 動(dòng)的效果或效應(yīng)，就稱為 力對(duì)點(diǎn)的矩，簡(jiǎn)稱力矩。矩心：矩心：在力矩作用面，O稱為矩心。力臂：力臂：O到力的作用線的垂直距離h1.大?。毫與力臂的乘積2.方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向兩個(gè)要素兩個(gè)要素：23 是代數(shù)量。)(FMO 是影響轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立因素。)(FMO-+dFFMO)( 大小和轉(zhuǎn)向：大小和轉(zhuǎn)向：說(shuō)明：說(shuō)明：?jiǎn)挝籒m或KNm力矩的性質(zhì)：力矩的性質(zhì)： 1）力矩取決于力）力矩取決于力F的大小，也取決于矩心的位置。的大小，也取決于矩心的位置。 2）力

15、矩不因力沿其作用線移動(dòng)改變。力矩不因力沿其作用線移動(dòng)改變。 3）力矩的力）力矩的力F=0或力或力F過(guò)矩心時(shí)，力矩為零。過(guò)矩心時(shí)，力矩為零。 4）互成平衡的兩力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和為零；）互成平衡的兩力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和為零；24 定理定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。二、合力矩定理二、合力矩定理由合力投影定理有：證畢現(xiàn))()()(21FmFmFmooRo證證niiOROFmFm1)()(od=ob+ocoboAoABFMo2)(1ocoAoACFMo2)(2odoAoADF

16、MRo 2)(又FR25力矩與合力矩的解析表達(dá)式力矩與合力矩的解析表達(dá)式 xyxOyOOFyFxFyFxFMFMFMcossinixiiyiROFyFxFM iOROFMFMFxFy26 1 實(shí)例：實(shí)例：方向盤(pán)、水龍頭、鑰匙； 2 基本基本定義定義 力偶：力偶：是一對(duì)等值、反向、作用線相互 平行的力；用（F，F(xiàn)）表示。 力偶作用面：力偶作用面：力偶中的兩力所確定的平面； 力偶臂：力偶臂：力偶中的兩力作用線之間的距離。一、一、 力偶力偶研究力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)？如何度量？研究力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)？如何度量？二、平面力偶理論二、平面力偶理論27 1 定義：力偶中的二個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)某 點(diǎn)的矩的代數(shù)

17、和 2 表示：M=Fd 3 力偶矩正負(fù)及單位：逆正順負(fù)，kN.m或N.m 二二 力偶矩力偶矩dFFFM)(、力偶矩兩要素：力偶矩兩要素：大?。悍较颍?+28三三 平面力偶性質(zhì)平面力偶性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：力偶既沒(méi)有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶既沒(méi)有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。力力力偶力偶性質(zhì)性質(zhì)2：力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒等于力偶矩，而與力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒等于力偶矩，而與 矩心矩心的位置的位置無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。 力偶對(duì)物體的效應(yīng)用力偶矩來(lái)度量力偶對(duì)物體的效應(yīng)用力偶矩來(lái)度量 FdxFxdFFMFMFFMOOO11111, 力矩力矩 FMO力偶矩力偶矩 M力偶只能與力偶

18、平衡力偶只能與力偶平衡29作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要二者力偶矩作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要二者力偶矩 大小大小 相等，相等，則該兩個(gè)力偶則該兩個(gè)力偶 等效。等效。 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向 一一 平面力偶等效定理平面力偶等效定理二二 推論推論2（只要保持力偶矩不變），力偶可以在其作用面內(nèi)任意移（只要保持力偶矩不變），力偶可以在其作用面內(nèi)任意移 動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。 3（只要保持力偶矩不變）（只要保持力偶矩不變），可以任意改變力偶中力的大，可以任意改變力偶中力的大 小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。性質(zhì)之一性質(zhì)之一 1力偶矩是力偶作用效果的惟一度量力偶矩是力偶作用效果的惟一度量30=31111dFM222dFMdPM11dPM2221PPFRA21PPFRB212121)(MMdPdPdPPdFMRA一一 平面力偶系平面力偶系：作用在同一平面的許多力偶作用在同一平面的許多力偶1 兩個(gè)力偶兩個(gè)力偶d二二 平面力偶系合成平面力偶系合成合力偶矩合力偶矩dRAFRBF32平面力偶系平衡的充要條件平面力偶系平衡的充要條件: :所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。 ni