（全國統(tǒng)考）2022版高考數(shù)學大一輪復習 第8章 立體幾何 第1講 空間幾何體的結構、三視圖、表面積和體積（2）備考試題（文含解析）

1、（全國統(tǒng)考）2022版高考數(shù)學大一輪復習 第8章 立體幾何 第1講 空間幾何體的結構、三視圖、表面積和體積（2）備考試題（文，含解析）（全國統(tǒng)考）2022版高考數(shù)學大一輪復習 第8章 立體幾何 第1講 空間幾何體的結構、三視圖、表面積和體積（2）備考試題（文，含解析）年級：姓名：第八章立體幾何第一講空間幾何體的結構、三視圖、表面積和體積1.2020全國卷,9,5分文如圖8-1-1為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是()a.6+42b.4+42c.6+23d.4+23圖8-1-12.2020浙江,5,4分某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖8-1-2所示,則該幾何體的體積(單位:cm3)是()

2、a.73b.143c.3d.6圖8-1-23.2021合肥市調(diào)研檢測表面積為324的球,其內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14,則這個正四棱柱的表面積等于()a.567b.576c.240d.494.2021安徽省四校聯(lián)考在三棱錐a-bcd中,abc和bcd都是邊長為2的正三角形,當三棱錐a-bcd的表面積最大時,其內(nèi)切球的半徑是()a.22-6b.2-3c.2d.665.數(shù)學文化題九章算術與幾何原本并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉.在九章算術卷五商功篇中介紹了羨除(此處是指三面為等腰梯形,其他兩側面為直角三角形的五面體)體積的求法.在如圖8-1-3所示的羨除中,平面abda是鉛垂面,下寬aa

3、=3 m,上寬bd=4 m,深3 m,平面bced是水平面,末端寬ce=5 m,無深,長6 m(直線ce到bd的距離),則該羨除的體積為()圖8-1-3a.24 m3 b.30 m3 c.36 m3 d.42 m3 6.2020全國卷,11,5分文已知abc是面積為934的等邊三角形,且其頂點都在球o的球面上.若球o的表面積為16,則o到平面abc的距離為()a.3b.32c.1d.327.2021安徽省示范高中聯(lián)考蹴鞠(如圖8-1-4所示),又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圓”“筑球”“踢圓”等,“蹴”有用腳蹴、蹋、踢的含義,“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮

4、球的活動,類似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產(chǎn)名錄.已知某“鞠”表面上的四個點a,b,c,d滿足ab=cd=14 cm,bd=ac=8 cm,ad=bc=12 cm,則該“鞠”的表面積為()a.202 cm2b.1012023 cm2c.101202 cm2d.2023 cm2圖8-1-48.2021蓉城名校聯(lián)考已知三棱錐p-abc中,pa平面abc,且pa=3,在abc中,ac=1,bc=2,且滿足sin 2a=sin 2b,則三棱錐p-abc外接球的體積為()a.223b.323c.823d.839.2021湖南六校聯(lián)考如

5、圖8-1-5,以棱長為1的正方體的頂點a為球心,以2為半徑作一個球面,則該正方體的表面被球面所截得的所有弧的長之和為()a.34b.2c.32d.94圖8-1-510.2020成都市高三模擬若矩形abcd的對角線交點為o,周長為410,四個頂點都在球o的表面上,且oo=3,則球o的表面積的最小值為()a.3223b.6423c.32d.4811.2021南昌市模擬已知一個圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形,則該圓錐的側面面積為.12.2021南昌市高三測試如圖8-1-6所示,圓臺內(nèi)接于球,已知圓臺上、下底面圓的半徑分別為3和4,圓臺的高為7,則該球的表面積為.圖8-1-613.2021河

6、南省名校第一次聯(lián)考已知p,a,b,c是半徑為3的球面上的四點,其中pa過球心,ab=bc=2,ac=23,則三棱錐p-abc的體積是.14.2021合肥市調(diào)研檢測如圖8-1-7,在abc中,ca=cb=3,ab=3,d為ab的中點,點f是bc邊上異于點b,c的一個動點,efab,垂足為e.現(xiàn)沿ef將bef折起到pef的位置,使peac,則四棱錐p-acfe的體積的最大值為.圖8-1-715.2021河北六校第一次聯(lián)考唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖8-1-8(1)所示,其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫,體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設內(nèi)壁表面光滑,忽略杯壁

7、厚度),如圖8-1-8(2)所示.已知球的半徑為r,酒杯內(nèi)壁表面積為143r2,設酒杯上部分(圓柱)的體積為v1,下部分(半球)的體積為v2,則v1v2=()a.2b.32c.1d.34圖8-1-816.2020陜西省百校聯(lián)考四棱錐p-abcd中,底面abcd是邊長為2的正方形,pa底面abcd,異面直線ac與pd所成的角的余弦值為105,則四棱錐的外接球的表面積為()a.48b.12c.36d.917.2020洛陽市聯(lián)考已知三棱錐p-abc的四個頂點均在同一個球面上,底面abc滿足ba=bc=6,abc=2,若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為()a.8b.16c.163d.323

8、18.2020合肥市模擬若圓錐so1,so2的頂點和底面圓周都在半徑為4的同一個球的球面上,兩個圓錐的母線長分別為4,42,則這兩個圓錐重合部分的體積為()a.83b.8c.563d.56+163319.2021湖南四校聯(lián)考已知三棱錐p-abc的頂點p在底面的射影o為abc的垂心,若sabcsobc=spbc2,且三棱錐p-abc的外接球半徑為3,則spab+spbc+spac的最大值為.20.2021黑龍江省六校階段聯(lián)考正四棱柱abcd-a1b1c1d1的外接球o的半徑為2,當該正四棱柱的側面積最大時,一個質點從a出發(fā)移動到c1,則沿正四棱柱表面移動的最短距離與直接穿過球o內(nèi)部移動的最短距離

9、的比值是.21.2021安徽省示范高中聯(lián)考在長方體abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是邊長為4的正方形,側棱aa1=t(t4),點e是bc的中點,點p是側面abb1a1內(nèi)的動點(包括四條邊上的點),且滿足tanapd=4tanepb,則四棱錐p-abed體積的最大值是.22.2020惠州市二調(diào)雙空題已知底面邊長為a的正三棱柱abc-a1b1c1的六個頂點均在球o1上,又知球o2與此正三棱柱的5個面都相切,則球o1與球o2的半徑之比為,表面積之比為.23.條件創(chuàng)新將一個半圓沿它的一條半徑剪成一個小扇形和一個大扇形,其中小扇形的圓心角為3,則小扇形圍成的圓錐的高與大扇形圍成的圓錐的高之比為

10、()a.21b.708 c.41 d.327024.條件創(chuàng)新已知在三棱錐p-abc中,abc的內(nèi)切圓圓o的半徑為2,po平面abc,且三棱錐p-abc的三個側面與底面所成角都為60,則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為()a.32327b.8327c.163d.4325.2021云南省部分學校統(tǒng)一檢測探索創(chuàng)新已知一圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為332,在該圓錐內(nèi)放置一個棱長為a的正四面體,并且正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉動,則a的最大值為.26.生活實踐在日常生活中,石子是我們經(jīng)常見到的材料,比如在各種建筑工地或者建材市場上常常能看到堆積如山的石子.某雕刻師計劃在底面邊長為2 m,高為4 m的正四棱柱形

11、的石料abcd-a1b1c1d1中雕出一個四棱錐o-abcd和球m的組合體(如圖8-1-9所示),其中o為正四棱柱的中心,當球的半徑r取最大值時,該雕刻師需去除的石料約重kg.(其中3.14,石料的密度=2.4 g/cm3,質量m=v,v為體積)圖8-1-9答 案第八章立體幾何第一講空間幾何體的結構、三視圖、表面積和體積1.c由三視圖知該幾何體為如圖d 8-1-13所示的三棱錐p-abc,其中pa平面abc,abac,ab=ac=ap=2,所以pb=pc=bc=22,故其表面積s=(1222)3+12(22)2sin 60=6+23.圖d 8-1-132.a由三視圖可知,該幾何體是三棱柱和三棱

12、錐的組合體,結合圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積v=12212+1312211=73(cm3),故選a.3.b設球的半徑為r,由題意知4r2=324,解得r=9.如圖d 8-1-14為過球心o和底面對角線的正四棱柱的截面,ooac,可知oo=7,oc=9,則oc=92-72=42,于是正四棱柱的底面對角線長為82,則底面邊長為8,所以正四棱柱的表面積s=882+4814=576,故選b.圖d 8-1-144.a三棱錐a-bcd的表面積s=23+sabd+sacd=23+4sinabd,故當abbd時,smax=4+23,如圖d 8-1-15,過a作bc的垂線,垂足為e,連接ed,易知bc平面aed,

13、則saed=2,va-bcd=vb-aed+vc-aed=1322=223,設內(nèi)切球半徑為r,則va-bcd=13sr,可得r=22-6.圖d 8-1-155.c如圖d 8-1-16,在bd,ce上分別取點b,c,使得bb=cc=3 m,連接ab,ac,bc,則三棱柱abc-abc是斜三棱柱,該羨除的體積v=v三棱柱abc-abc+v四棱錐a-bdec=(1236)3+13(1+226)3=36(m3).圖d 8-1-166.c由等邊三角形abc的面積為934,得34ab2=934,得ab=3,則abc的外接圓半徑r=2332ab=33ab=3.設球的半徑為r,則由球的表面積為16,得4r2=

14、16,得r=2,則球心o到平面abc的距離d=r2-r2=1,故選c.7.a因為ab=cd,bd=ac,ad=bc,所以可以把a,b,c,d四點放到長方體的四個頂點上,則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑.設該長方體的長、寬、高分別為x,y,z,“鞠”的半徑為r,則(2r)2=x2+y2+z2.由題意可取x2+y2=196,x2+z2=144,y2+z2=64,所以r2=1012,所以“鞠”的表面積s=4r2=202 (cm2).故選a.【情境啟示】本題以“蹴鞠”為背景考查多面體的外接球,屬于生活實踐情境,也是近幾年高考常用的情境,啟示我們要關注我國乃至世界上傳統(tǒng)的優(yōu)秀遺產(chǎn).8.c因為sin

15、2a=sin 2b,a(0,),b(0,),所以a=b或a+b=2,因為ac=1,bc=2,所以ab,故a+b=2,則c=2.如圖d 8-1-17,根據(jù)題意將三棱錐p-abc放入長方體中,則該三棱錐的外接球直徑2r為長方體的體對角線pb=12+22+(3)2=22,所以外接球的體積v=43r3=43(2)3=823.圖d 8-1-179.c正方體的表面被該球面所截得的弧是相等的三部分,如圖d 8-1-18所示,上底面被球面截得的弧長是以a1為圓心,1為半徑的圓的周長的14,所以所求弧的長之和為324=32.故選c.圖d 8-1-1810.c由題意,知矩形abcd所在的圓面為球o的一個截面.因為

16、o為矩形abcd的對角線的交點,所以oo所在直線垂直于矩形abcd所在的圓面.因為矩形abcd的周長為410,所以bc+cd=210.設bc=x,則cd=210-x,所以bd2=bc2+cd2=x2+(210-x)2,即bd2=2(x-10)2+20.設球o的半徑為r,則r2=(bd2)2+oo2=12(x-10)2+8,所以當x=10時,r2取得最小值8,又球o的表面積s=4r2,則smin=32,故選c.11.2因為圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形,所以圓錐的底面半徑r=1,母線長l=2,所以圓錐的側面面積s=rl=2.12.100過球心o和圓臺上、下底面圓的圓心作截面,設球的半徑

17、為r,當圓臺的上、下底面圓的圓心在球心的兩側時,則有r2-32+r2-42=7,解得r=5,故球的表面積s=4r2=100;當圓臺的上、下底面圓的圓心在球心的同側時,則有r2-32-r2-42=7,此方程無解,故舍去.13.2153因為ab=bc=2,ac=23,所以cos b=ab2+bc2-ac22abbc=-1226,所以質點沿著正四棱柱的表面移動的最短距離為26.若質點直接穿過球o內(nèi)部移動,則最短距離為正四棱柱的體對角線長,即球o的直徑,所以最短距離為4.則質點沿正四棱柱表面移動的最短距離與直接穿過球o內(nèi)部移動的最短距離的比值是264=62.圖d 8-1-2421.1633因為ad平面

18、abb1a1,bc平面abb1a1,所以apd與ebp均為直角三角形,所以tanapd=adap=4ap,tanepb=bebp=2bp,又tanapd=4tanepb,所以4ap=8bp,即2ap=bp.如圖d 8-1-25,以ab的中點o為坐標原點,ab所在直線為x軸,在平面abb1a1內(nèi)建立平面直角坐標系,則a(-2,0),b(2,0),設p(x,y),根據(jù)2ap=bp,得2(x+2)2+y2=(x-2)2+y2,化簡整理得(x+103)2+y2=649(-2x2,y0),則當x=-2時,ymax=433,所以點p到平面abed的最大距離為433,又四邊形abed的面積為(2+4)42=

19、12,所以四棱錐p-abed體積的最大值為1312433=1633.圖d 8-1-2522.5151設球o1、球o2的半徑分別為r,r,由于正三棱柱的六個頂點均在同一個球面上,所以球心o1在上、下底面中心連成的線段的中點處,又球o2與正三棱柱的5個面都相切,易知點o2與o1重合.如圖d 8-1-26,取上、下底面的中心分別為f,e,連接ef,設bc的中點為d,ef的中點為o1,連接ad,o1a,則e在ad上,o1a =r,o1e=r,在o1ea中,ae=2332a=33a,o1e=r=1332a=36a,由于o1a2=o1e2+ae2,所以r2=512a2,r2=112a2,則球o1與球o2的

20、半徑之比為51,所以球o1與球o2的表面積之比為4r24r2=r2r2=512a2112a2=51.圖d 8-1-2623.b不妨設半圓的半徑為1,用圓心角為3的小扇形圍成的圓錐的底面圓周長為31=3,設其底面圓的半徑為r1,則2r1=3,所以r1=16,該圓錐的高h1=1-(16)2=356.用圓心角為23的大扇形圍成的圓錐的底面圓周長為231=23,設其底面圓的半徑為r2,則2r2=23,所以r2=13,該圓錐的高h2=1-(13)2=223.所以h1h2=708.24.a設三棱錐p-abc的內(nèi)切球的半徑為r,過o作odac于點d,oebc于點e,ofab于點f,則od=oe=of=2.連

21、接pd,易證pdac,因為三棱錐p-abc的三個側面與底面所成角都為60,所以pdo=60,則po=2tan 60=23,pd=2cos60=4.由題意可知三棱錐p-abc的內(nèi)切球的球心o在線段po上,在rtpod中,sindpo=odpd=rpo-r,即24=r23-r,解得r=233.所以該三棱錐的內(nèi)切球的體積為43r3=43(233)3=32327,故選a.25.2解法一由題意知,正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉動,則a最大時,該正四面體外接于圓錐的內(nèi)切球.設球心為p,球的半徑為r,圓錐的頂點為s,圓錐底面圓的圓心為o,a,b為底面圓直徑的兩端點,軸截面上球與圓錐母線的切點為q,圓錐的軸截面如圖d 8-1-27所示,連接so,易知p在so上,soab,則oa=ob=32,因為so=332,所以sa=sb=so2+ob2=3,所