09數(shù)學(xué)一考研真題

1、2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷答案和評(píng)分參考一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填寫在題中橫線上.）（1）曲線上與直線垂直的切線方程為 y = x1 .（2）已知，且，則.（3）設(shè)為正向圓周在第一象限的部分，則曲線積分的值為.（4）歐拉方程的通解為 .（5）設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中為的伴隨矩陣，是單位矩陣，則 .（6）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后面的括號(hào)內(nèi).）（7）把的無窮小量排列起來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則

2、正確的排列次序是（a）. （b）. （c）. （d）. 【 b 】（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（a）在內(nèi)單調(diào)增加.（b）在內(nèi)單調(diào)減小.（c）對(duì)任意的有.（d）對(duì)任意的有. 【 c 】（9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是（a）若,則級(jí)數(shù)收斂.（b）若存在非零常數(shù),使得,則級(jí)數(shù)發(fā)散.（c）若級(jí)數(shù)收斂,則.（d）若級(jí)數(shù)發(fā)散,則存在非零常數(shù),使得. 【 b 】（10）設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于（a）. （b）. （c）. （d）. 【 b 】（11）設(shè)是階方陣,將的第列與第列交換得,再把的第列加到第列得,則滿足的可逆矩陣為（a）.（b）.（c）.（d）. 【 d 】（12）設(shè)為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣

3、,則必有（a）的列向量組線性相關(guān),的行向量線性相關(guān).（b）的列向量組線性相關(guān),的列向量線性相關(guān).（c）的行向量組線性相關(guān),的行向量線性相關(guān).（d）的行向量組線性相關(guān),的列向量線性相關(guān). 【 a 】（13）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,對(duì)給定的,數(shù)滿足.若,則等于（a）. （b）. （c）. （d）. 【 c 】（14）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立分布,且其方差為.令,則（a）. （b）.（c）. （d）. 【 a 】三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）(15)(本題滿分12分)設(shè),證明.證法1 設(shè)，則 ， ， 5分所以當(dāng)時(shí)，故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ， 9分即當(dāng)時(shí)，單調(diào)

4、增加.因此當(dāng)時(shí)，.即 ，故 . 12分證法2 對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 3分 設(shè)，則,當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)減少. 9分從而，即 ，故 . 12分(16)(本題滿分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下. 現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為）.問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？注：kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).解 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量kg，著陸時(shí)的水平速度=700km/h.從飛機(jī)接觸跑道開始計(jì)時(shí)，設(shè)時(shí)刻飛

5、機(jī)的滑行距離為，速度為.法1 根據(jù)牛頓第二定律，得. 4分又 ，由以上二式得， 7分積分得.由于，故得，從而.當(dāng)時(shí)，（km） 11分所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.法2 根據(jù)牛頓第二定律，得 4分所以 .兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 . 7分飛機(jī)滑行的最長距離為（km）. 11分法3 根據(jù)牛頓第二定律，得， 4分其特征方程為 ，解之得 故 . 7分由 ，得 于是 .當(dāng)時(shí)，（km）. 11分所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.（17）（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分，其中是曲面 的上側(cè).解 取為平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 . 3分由高斯公式知 6分

6、9分而 ，因此 . 12分（18）（本題滿分11分）設(shè)有方程，其中為正整數(shù).證明此方程存在唯一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.證 記.當(dāng)時(shí)，,故在,上單調(diào)增加. 3分而，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知存在惟一正實(shí)根. 6分由與知 9分故當(dāng)時(shí)，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. 11分（19）（本題滿分12分）設(shè)，是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極點(diǎn).解 因?yàn)?，所以 , 2分 令 得 將上式代入，可得 或 5分由于 ， ， 8分所以 ，故，又，從而點(diǎn)（9，3）是是極小值點(diǎn)，極小值為.類似地，由 可知，又，所以點(diǎn)（-9，-3）是是極大值點(diǎn)，極大值為. 12分（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組 試問取

7、何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解解法1 對(duì)方程組系數(shù)矩陣作初等行變換，有.當(dāng)?shù)臅r(shí)，故方程組有非零解，其同解方程組為，由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù)， 4分當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣作初等行變換，有 6分可知時(shí)，,故方程組也有非零解，其同解方程組為由此得基礎(chǔ)解系為于是方程組的通解為，其中為任意常數(shù). 9分解法2 方程組的系數(shù)行列式為. 3分當(dāng)，即,方程組有非零解.當(dāng)，對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，有，故方程組的同解方程組為,由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù). 6分當(dāng)對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為由此得基礎(chǔ)解系為于是方程組的通解為，其中為任意常數(shù).

8、 9分（21）（本題滿分9分）設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對(duì)角化.解 的特征多項(xiàng)式為 2分若是特征方程的二重根，則有，解得. 4分當(dāng)時(shí)，是特征值為2，2，6，矩陣的秩為1，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而可相似對(duì)角化. 6分若不是特征方程的二重根，則有為完全平方，從而，解得.當(dāng)時(shí)，是特征值為2，4，4，矩陣的秩為2，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而不可相似對(duì)角化. 9分（22）（本題滿分9分）設(shè)為隨機(jī)事件，且，令 求：（i）二維隨機(jī)變量的概率分布； （ii）與的相關(guān)系數(shù).解 （i）由于 2分所以 （或），故 的概率分布為 0101 6分（ii）的概率分布分別為01，01.則故從而. 9分（23）（本題滿分9分）設(shè)總體的分