人教版高中數(shù)學：關于向量教學“價值觀”的幾點思考

1、關于向量教學“價值觀”的幾點思考向量是近代數(shù)學中最基本、最重要的數(shù)學概念向量進入中學課程是一項重大的舉措，在某種程度上是革命性的舉措縱觀我國中學數(shù)學課程的歷史沿革，能稱得上“革命性的舉措”的只有三次，引入向量是其中的一次這是因為向量在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展中起著不可替代的作用，是代數(shù)、幾何、泛函分析等基礎學科研究的基本內(nèi)容在中學數(shù)學教學中，向量常被當作一種工具，用來處理幾何問題，因為用向量比用綜合幾何的方法簡單、容易這種做法是不全面的，失去了將向量引入中學課程的原有價值，本文將重構向量的教學內(nèi)容，進一步探尋向量教學的“價值觀”，讓向量在中學數(shù)學課程中，發(fā)揮其特有的價值一、體驗向量的產(chǎn)生過程，凸顯向量的

2、“創(chuàng)新價值”從數(shù)量到向量的跨越，是數(shù)學史上的重大發(fā)展教材中，總是通過物理中的“力”和“位移”等實例引出向量的概念，用物理學中“功”的計算方式定義向量的數(shù)量積，這樣處理往往讓學生感到茫然筆者作過調(diào)查，學生中，認為用一個“箭頭”表示一個向量有失數(shù)學的嚴謹性的占74.3%，認為向量應該屬于物理學科而不應該屬于數(shù)學學科的高達82.1%，事實上，如此處理向量概念，不符合學生的認知規(guī)律，也不利于向量的進一步拓展，更可惜的是我們錯過了一次讓學生感受數(shù)學發(fā)展的過程，錯過了一次讓學生體驗數(shù)學創(chuàng)新的良機道德經(jīng)說：“道生一，一生二， 二生三， 三生萬物”由一產(chǎn)生二， 區(qū)分單數(shù)和復數(shù)，從數(shù)量到向量，數(shù)學地反映了個別到

3、一般、簡單到復雜的事物發(fā)展過程筆者認為：向量概念的產(chǎn)生來自于生活實際，一定要讓學生體驗數(shù)學知識的發(fā)展過程1.將向量概念的產(chǎn)生與實際需要聯(lián)系起來有一個實際問題，顧客甲買了數(shù)學書本，我們用表示其購書情況，并稱為數(shù)量若顧客甲又買了語文書本，那么，我們應該用什么數(shù)來表示呢？顯然，原有的數(shù)量已無法表示，為此，我們引進一個新的量表示顧客甲的購書情況，并稱新的量為向量用這種方法定義向量，基于原先的一維數(shù)量，學生感到自然，且容易接受，在此基礎上，學生更容易將其推廣到三維，甚至更高維的空間2.用化歸的方法定義向量的運算運算是數(shù)學學習的一個基本內(nèi)容，運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索數(shù)量是可以運算的，它能

4、進行加、減、乘、除等運算類似于數(shù)量的運算，對于向量我們該如何定義它的運算呢？若顧客甲買了數(shù)學書本，買了語文書本，我們用向量表示顧客甲的購書情況，顧客乙買了數(shù)學書本，買了語文書本，我們用向量表示顧客乙的購書情況，那么，兩人的購書情況可用向量來表示，這樣我們就可以定義向量的加法運算：.若有個顧客都與顧客甲一樣，每人買了數(shù)學書本，買了語文書本，那么，這個顧客的購書情況可用向量表示，這樣我們就可以定義向量的數(shù)乘運算： .顧客甲買了數(shù)學書本，買了語文書本，我們用向量表示顧客甲的購書情況，若數(shù)學書每本元，語文書每本元，我們用向量表示書價情況，那么顧客甲共化費了元這樣我們就可以定義向量的數(shù)量積運算：.數(shù)量運

5、算中減法是加法的逆運算，類似地，我們也可以定義向量的減法運算，這樣，向量就可以運算了用向量可以解決我們用一維數(shù)量無法解決的二維平面問題.人類總是向未知進軍，把世界萬物之間的數(shù)量關系抽象出來，形成一種數(shù)學對象，構建一門學科，然后回到實踐，為人類的發(fā)展和進步服務二、注重向量的運算規(guī)律，把握向量與近代數(shù)學的“接軌價值”運算及其運算規(guī)律是代數(shù)學的基本研究對象教材中，由于用一個“箭頭”表示向量，所以，向量的運算總是“幾何”地進行定義，如四邊形法則、三角形法則等，這會讓學生覺得不嚴謹，讓老師感到難操作筆者對教師作過調(diào)查，能認認真真地通過作圖，證明向量的運算滿足各種運算律的老師不足10.7%，對運算律的認識

6、不到位的高達82.6%，事實上，把向量引入中學課程，正是因為向量能進行各種全新的運算，這些運算和近代數(shù)學接軌從數(shù)量運算到向量運算，是學生對運算理解的一次質變，是學生數(shù)學學習的一大提高筆者認為：要注重向量的運算和運算規(guī)律，為學生今后學習近代數(shù)學打樁奠基1展示向量運算的拓展功能從小學開始，學生所接觸的運算對象就在不斷地擴展，從正數(shù)到負數(shù)，從有理數(shù)到實數(shù)，從數(shù)到字母、到多項式等但是，我們必須注意到，所有這些運算，只是一個由實數(shù)集到實數(shù)集的二元代數(shù)運算而向量則不同，向量的運算能打破以往的封閉性，從數(shù)運算到向量運算，是運算的一次重大飛躍我們記為全體實數(shù)集，為全體向量集，則向量的加、減運算是的代數(shù)運算，向

7、量的數(shù)乘是的代數(shù)運算，向量的數(shù)量積是的代數(shù)運算向量的運算不同于數(shù)量的運算，它涵蓋了三種類型的代數(shù)運算，擴充了運算對象和運算性質盡管在學生今后的學習中，運算對象與運算性質還會繼續(xù)擴充，如變換運算、矩陣運算等，但向量是學生第一次接觸的實數(shù)以外的運算對象，我們務必要突顯其拓展功能2. 強化向量運算的接軌功能運算和運算律是近代數(shù)學的重要標志在實數(shù)運算中，我們也強調(diào)運算律，但那是在小學低年級，認知能力和心里現(xiàn)象決定了低年級的學生是無法接受如此抽象的代數(shù)概念的要強化運算律，要與近代數(shù)學接軌，為學生的后續(xù)學習奠基，向量是高中階段唯一的一個載體問題是教材中的向量運算是“幾何”地定義的，這給我們驗證運算律帶來不

8、便，因此，筆者還是強調(diào)，先用類比的方法，“代數(shù)”地定義向量的運算，這樣，探究向量的運算律就會變得十分的方便，這就是用符號表示向量所帶來的優(yōu)越性在向量集中，向量的加法運算滿足結合律、交換律，且存在零向量，使得中的任一向量，都有，同時，對于中的任一向量，有負元，滿足，于是，向量集對于加法運算來說構成一個交換群我們關注向量的加法運算和實數(shù)與向量的數(shù)乘運算，運算顯然滿足：；.這樣對于向量的加法和數(shù)乘運算而言，向量集就是實數(shù)集上的線性空間對于任一向量，我們定義向量的模運算：.顯然它是一個向量集到實數(shù)集上一種代數(shù)運算，且滿足：，當且僅當時取等號；對任意的，；對任意的，.這樣模運算就是定義在向量集的一個范數(shù)

9、，于是，向量集是實數(shù)集上的線性賦范空間.群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學模型，也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對象，因此，向量為進一步研究近代數(shù)學提供了數(shù)學模型當然，群、線性空間、線性賦范空間等概念不需要給學生介紹，但作為教師應當清楚，應當清楚向量與近代數(shù)學的“接軌價值”三、探尋向量的幾何運算，揭示向量的“幾何價值”向量是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁向量進入數(shù)學并得到發(fā)展，是從復數(shù)的幾何表示開始的，1797年，丹麥數(shù)學家c.wessel利用坐標平面上的點表示復數(shù)，并利用具有幾何意義的復數(shù)運算定義向量的運算，并把向量的幾何表示用于研究平面幾何與三角問題，于是人們逐步接受了平面向量前

10、面我們“代數(shù)”地定義了向量與向量的運算，且學生也容易接受，這是符號化的優(yōu)勢不可否認，向量的另一優(yōu)勢在于它的“幾何價值”筆者認為：向量是代數(shù)的，也是幾何的，運用向量刻畫幾何對象及其性質是非常重要的一環(huán)，兩者缺一不可1. 用類比的方法構建向量的幾何表示數(shù)學是以客觀事物的數(shù)量關系和空間形式為內(nèi)容的一門學科，數(shù)形結合是進行數(shù)學研究的最基本的數(shù)學思想那么，如何構建向量的幾何表示呢？先回顧一下實數(shù)的幾何表示：我們先畫一條數(shù)軸，這樣，對于實數(shù)集上的任一實數(shù)，它與數(shù)軸上的有向線段成一一對應(其中點對應的實數(shù)為，為原點)，于是，數(shù)與形就得到了完美的結合.運用類比的方法定義向量的幾何表示：我們先建立直角坐標系，這

11、樣，對于向量集上的任一向量，它與平面上的有向線段成一一對應(其中點的坐標為，為原點)，于是向量就有了自己的幾何表示.2. 用同構的觀點探求向量的幾何運算我們知道，映射，對于向量集上的加法運算與有向線段集上的“平行四邊形法則”運算，滿足同構映射的定義，因此，我們可以用同構映射的觀點去探尋向量的幾何運算.(1).向量的加法運算設在直角坐標系下，點、的坐標分別為、，則向量、分別對應有向線段、，由向量加法的代數(shù)定義得，于是應該有：.將、畫在同一個直角坐標系中(圖1)，我們可以發(fā)現(xiàn)：正是以、為鄰邊的平行四邊形的對角線.于是，我們就有向量加法的幾何運算法則-平行四邊形法則.(2).相等向量的定義由向量減法

12、的代數(shù)定義有：，觀察圖1知：點坐標減去點坐標等于點坐標減去點坐標.于是，我們定義：，即長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.應該強調(diào)，數(shù)學中的向量只和長度、方向有關，與起點、終點的位置無關，因此，我們研究的向量是自由向量，它不同于物理中的矢量.(3).向量的減法運算(圖1)，.由相等向量的定義可得：，.即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.這就是向量減法的幾何運算法則-三角形法則.類似地，我們也可以定義向量數(shù)乘的幾何運算，這樣，向量就有了“代數(shù)”與“幾何”的兩種運算. 向量的“幾何”運算為我們提供了一種全新的運算方式，是運算史上的一次重大突破.3.認識向量的幾何價值向量是幾何的對象.如

13、果以坐標系的原點為起點，向量就與空間的點建立起一一對應；一個點和一個非零向量可以唯一地確定一條直線，它過這個點且與已知向量平行；同樣，一個點和一個非零向量也可以唯一地確定一個平面，它過這個點且與已知向量垂直；因此，向量可以描述、刻畫和替代幾何中的基本研究對象-點、線、面.向量是幾何研究的對象.在立體幾何中，可以用向量來討論空間中點、線、面之間的關系；可以判斷線線、線面、面面的平行和垂直；可以度量幾何體的長度、角度、面積等.向量是溝通幾何與代數(shù)的一座橋梁.在數(shù)學中，有兩座橋梁橫跨于代數(shù)與幾何之間，這就是向量與坐標系，坐標系依賴于原點的選擇，而向量則不然，因此，它比坐標系更普遍、更重要.一方面，通

14、過向量的代數(shù)運算可以解決幾何中的問題，另一方面，對于代數(shù)現(xiàn)象，通過向量可以給出直觀的幾何解釋.我們在教學中，應幫助學生將向量的代數(shù)運算與它的幾何性質聯(lián)系起來，這樣才能運用向量的代數(shù)性質更好地刻畫幾何對象，從面體會代數(shù)與幾何的聯(lián)系.四、挖掘向量的物理功能，關注向量的“應用價值”數(shù)學與物理從本質上看有著天然的聯(lián)系.教材中，向量概念的產(chǎn)生就是由物理中的“力”和“位移”等實例引出的，向量數(shù)量積也是由物理中“功”的計算方法而定義的，這樣處理筆者認為不妥，但不可否認，物理中的矢量是向量的原型，向量及其運算是物理中矢量及其運算的抽象.因此，向量在物理中的廣泛應用是不言而喻的.教學中，我們要引導學生有意識地運

15、用向量知識刻畫和解決物理學科的問題.1.突出向量的物理背景在引出向量的幾何表示以后，我們可以舉一些如力、位移、速度、加速度等物理量，說明在生活實際中，確實存在一些既有大小又有方向的向量，使學生感受到對向量的幾何表示有進一步研究的必要性.在掌握了向量加法的幾何運算后，我們可以結合位移的合成，進一步說明向量的幾何運算有著極為廣泛的應用價值.假設一個人從位移到(可表示為)，再從位移到(可表示為)，則這兩次位移的結果就產(chǎn)生了從到和位移(可表示為)(如圖2)，這正是向量加法的幾何運算.位移的合成為向量加法的幾何運算提供了直觀、現(xiàn)實的背景.速度的倍數(shù)仍然是速度，這正是向量數(shù)乘的物理解釋，它可使學生對于數(shù)與

16、向量的乘積仍然是向量有一個直觀的認識.向量具有豐富的物理背景，我們在教學過程中，要還向量的物理功能，凸顯向量與矢量的天然聯(lián)系. 2.尋求向量數(shù)量積的物理解釋在物理學中，如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移(圖3)，那么力所做的功 ，其中是與的夾角.功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定.聯(lián)想到向量的數(shù)量積也是一個標量，于是我們有必要尋求兩者之間的關系.在直角坐標系中，設向量，向量與的夾角為(圖4).則，. .即 .可以認為上式是向量數(shù)量積的“幾何運算”，將它與向量數(shù)量積的“代數(shù)運算”結合起來，可以解決角度、長度、面積、體積等幾何度量問題，也可解決兩線相交、垂直等關系；運用向量的數(shù)量積可以定義三角函數(shù)(設、是平面上的標準正交基，是平面上的向量，則可以定義三角函數(shù)如下：，)，這樣，我們便可以用向量來研究三角問題；向量的數(shù)量積還蘊涵著一個重要的不等關系，這個不等關系可用來證