結(jié)構(gòu)的動力計算習題

1、動力學公式動力學公式一、動力自由度一、動力自由度 = 固定體系中全部質(zhì)量的位置所需附加支桿數(shù)固定體系中全部質(zhì)量的位置所需附加支桿數(shù)二、單自由度體系振動微分方程與解二、單自由度體系振動微分方程與解1、自振（圓）頻率（弧度、自振（圓）頻率（弧度/秒）秒） 自振周期（秒）自振周期（秒） 工程頻率（工程頻率（HZ）2、自由振動位移、自由振動位移 其中其中( ( )yP tmycy1( )mycyyP tstgmmk 12TTf122020vya)sin(sincos)(tatvtyty0000vytg3、強迫振動、強迫振動 （1）簡諧動荷（作用質(zhì)點自由度方向）簡諧動荷（作用質(zhì)點自由度方向） 動力（放大

2、）系數(shù)動力（放大）系數(shù) （2）任意動荷（）任意動荷（Duhamal積分）積分） 動力（放大）系數(shù)動力（放大）系數(shù) （3）最大位移）最大位移 = 靜位移靜位移(重力引起重力引起) + 引起動位移引起動位移(如如 F引起引起) (內(nèi)力內(nèi)力) (內(nèi)力內(nèi)力) (內(nèi)力內(nèi)力)( )sinP tFttytyst sin)( 2211 styymax tdtPmty0)(sin)(1)( 4、阻尼影響、阻尼影響 （1）阻尼對自由振動影響）阻尼對自由振動影響小阻尼情況小阻尼情況對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率阻尼比阻尼比21 r)sin()( taetyrt1kkyyln mcccr2 nkkryyn ln21 （2）阻尼

3、對強迫振動影響）阻尼對強迫振動影響 對突加荷載作用，最初引起對突加荷載作用，最初引起位移接近靜力位移的位移接近靜力位移的2倍，后倍，后衰減至靜力平衡位置。衰減至靜力平衡位置。 對對 無阻尼無阻尼 共振共振 共振無阻尼共振無阻尼( )sinP tFt22222411 21 三、多自由度體系振動微分方程組與解三、多自由度體系振動微分方程組與解 剛度法剛度法 柔度法柔度法1、自振振幅方程、自振振幅方程2、自振頻率方程、自振頻率方程3、主振型矩陣、主振型矩陣 主振型正交化主振型正交化 廣義質(zhì)量矩陣廣義質(zhì)量矩陣(對角對角) 廣義剛度矩陣廣義剛度矩陣(對角對角) ( )( )( )My tKy tP t

4、0)1(2 YIM 02MK 0)(2 YMK ( )( )( )y tMy tP t 012 IM n 21 YnYYY21 *MYMYT *KYKYT 4、主振型分解法求解一般動荷下的強迫振動、主振型分解法求解一般動荷下的強迫振動 正則坐標的運動方程正則坐標的運動方程 廣義荷載廣義荷載 廣義質(zhì)量廣義質(zhì)量解解式中式中位移（幾何坐標）位移（幾何坐標）), 2 , 1( ,)()()(2niMtFttiiiii )()()(tPYtFTii dtFMtttitiiiiiiiii)(sin)(1sin)0(cos)0()(0 iTiiMyMY0)()0( iTiiMvMY0)()0( )()(iT

5、iiYMYM )()(tYty 5、同頻率同相位簡諧動荷作用、同頻率同相位簡諧動荷作用 剛度法剛度法 柔度法柔度法位移幅值位移幅值慣性力幅值慣性力幅值四、無限自由度體系自由振動四、無限自由度體系自由振動1、等截面梁、等截面梁振動微分方程振動微分方程解解 其中其中 及及 由邊界條件定，由邊界條件定， 由初始條件定。由初始條件定。02244 tymxyEI)sin()(),(1nnnnntxYatxy mEInn2 ( )chshcossinnnnnnnnnnYxAxBxCxDxnnnnDCBA,n nna , tPsin PYMK )(2 YMI20 01)1(22 PYIM 0)1(012 P

6、IM 2、近似法求自振頻率、近似法求自振頻率（1）能量法（瑞利法）能量法（瑞利法）根據(jù)能量守恆根據(jù)能量守恆 得得位移形狀函數(shù)位移形狀函數(shù)Y(x)滿足邊界條件。滿足邊界條件。（2）能量法（瑞利一里茲法）根據(jù)哈密頓原理）能量法（瑞利一里茲法）根據(jù)哈密頓原理位移函數(shù)位移函數(shù) ， 互相獨立、滿足邊界條件。互相獨立、滿足邊界條件。 ，其中，其中（3）集中質(zhì)量法）集中質(zhì)量法 根據(jù)靜力等效原則，將分布質(zhì)量換成集中質(zhì)根據(jù)靜力等效原則，將分布質(zhì)量換成集中質(zhì)量。量。（4）矩陣位移法）矩陣位移法 ，其中，其中 由各單元由各單元 集合。集合。maxmaxTU liiilYmdxxYmdxxYEI022022)()(

7、)()(1xaxYinii )(xi 0)(2 aMK 0)(2 MK MK , ,kmdxmmdxEIkjiijjiij , 課外作業(yè)課外作業(yè) P205 - - P208第一次第一次 15.3 、15.5、15.8第二次第二次 15.2 、15.9第三次第三次 15.10 、15.11第四次第四次 15.14 、15.15 、15.17(并驗證振型的正交性并驗證振型的正交性)第五次第五次 15.19 、15.2115.3 求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。213EImMlh2112233lhl h hEIEI 解：解：MI1=hEIl1hh15.2 求圖示梁的自振頻率。求圖示梁的自

8、振頻率。317687EImml31132151()2 2 16 2 32 2 32 2 37768llllllEIlEI解：解：mEIl/2l/213l/165l/32(l/4)1l/2M1MM115.5 求圖示剛架水平振動的圓頻率。求圖示剛架水平振動的圓頻率。3336182kEIEImmhmh解：解：hEIEIEIEI1=EI1=mm3312363EIEIkhh EI3m3m15.7 已知已知:求圖示簡支梁最大動位移求圖示簡支梁最大動位移。434010mm/s, =2.45 10 MPa,6.4 10 m ,5t,vEIm解：解：463133314848 2.45 10106.4 1083.

9、48s5 106EImml348lEI0010sin,=0.12mm83.48vvyt AWy03mAB15.8 已知已知:初位移初位移求柱頂端的位移幅值、最大速度和最大加速度求柱頂端的位移幅值、最大速度和最大加速度。44400.1cm,=20kN, =2 10 MPa,16 10 cm .yWEI3st464813333 2 101016 10109.841.74s20 103gEIgWh 解：解：3st3WhEI00cos,0.1cm.yyt Ay0max0sin,0.1 41.744.174cm/s.vyt vy 22220max0cos,0.1 41.74174.2cm/s .ayt

10、ay 15.9 有一單自由度體系作有阻尼自由振動，經(jīng)過測試，測得有一單自由度體系作有阻尼自由振動，經(jīng)過測試，測得5個周期后的振幅降為原來的個周期后的振幅降為原來的12，試求阻尼比，試求阻尼比 。 解：解：假設阻尼比假設阻尼比 0.2, r ，0111lnln0.067522 50.12nyny解：解：15.10 已知：懸臂梁，質(zhì)量集中于端部，已知：懸臂梁，質(zhì)量集中于端部，求在簡諧荷載作用下的最大豎向位移及梁求在簡諧荷載作用下的最大豎向位移及梁A端的彎矩幅值。端的彎矩幅值。=10kN, =2.5kN,WP541=2 10 MPa,1130cm ,57.6s ,1.5m,EIlWEIlABsinP

11、t139.81/44.37s4.978 10Wmg373st2.5104.97810=1.24410myP2222111.4591/157.6 / 44.37重力引起的彎矩重力引起的彎矩10 1.515kN mWMWl重力引起的位移重力引起的位移37310 104.978 10=4.978 10 mWWst2.51.53.75kN mMPl3371181.54.97810m/N33210113010lEIA端動彎矩幅值端動彎矩幅值st3.75 1.4595.471kN mAMM最大彎矩最大彎矩max155.47120.47kN mWAMMM最大位移最大位移333max4.978 10+1.81

12、5 10=6.793 10m=6.793mmWfA33st1.244101.459=1.81510m=1.815mmAy振幅振幅AB20.4715動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖(kN m)139.843.83s5.102 10stg解：解：63326122424 5.88 10263.92 10 N/mEIEIkhh6mEIEII0WsinPt4625006.37810m3.9210stPyk12255057.60s6060n15.11 圖示剛架在橫梁上置有馬達，馬達與橫梁的重量置于橫圖示剛架在橫梁上置有馬達，馬達與橫梁的重量置于橫梁上，梁上，W20kN，馬達水平離心力幅值，馬達水平離心力幅值P2.

13、5kN，馬達轉(zhuǎn)速，馬達轉(zhuǎn)速n550r/min，柱的線剛度，柱的線剛度 求馬達轉(zhuǎn)動時求馬達轉(zhuǎn)動時的最大水平位移和柱端彎矩幅值。的最大水平位移和柱端彎矩幅值。8/5.88 10 N cm.iEI h33620105.10210m3.9210stWk222111.3751/1(57.60 / 43.83)即桿即桿端動彎矩幅值端動彎矩幅值maxst3.75 1.3755.156kN mMM最大彎矩最大彎矩最大位移最大位移 即振幅即振幅44st6.378101.375=8.77010m=0.877mmAyst2.5 63.75kN m2 24P hM動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖Ph/4Ph/4Ph/4Ph/

14、4PPh/4Ph/4Ph/4Ph/4動荷幅值彎矩圖動荷幅值彎矩圖15.12 圖示一個重物圖示一個重物W500N，懸掛在剛度，懸掛在剛度k4N/mm的彈簧的彈簧上，假定它在簡諧力上，假定它在簡諧力Psin (P=50N)作用下作豎向振動，已知作用下作豎向振動，已知阻尼常數(shù)阻尼常數(shù)c0.05N s/mm。試求。試求: （1）簡諧力的簡諧力的 等于多大時等于多大時會發(fā)生共振，（會發(fā)生共振，（2）共振時的振幅，（）共振時的振幅，（3）共振時的相角。）共振時的相角。解：解：kWmgPsin tc（1）314 109.88.854s500kkgmW（2）0.05 10000.05534500228.854

15、9.8cm119.03522 0.05534max50( )=9.035=0.11294m=112.94mm4000stPAy tyk（3）215.13 圖示機器與基礎總質(zhì)量圖示機器與基礎總質(zhì)量M=24t，基礎底面積，基礎底面積A=20m2 。土。土壤彈性壓縮為壤彈性壓縮為3000kNm3，機器運轉(zhuǎn)機器運轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n800r/min，簡諧簡諧荷載幅值荷載幅值P012kN，土壤的阻尼比，土壤的阻尼比 0.07。求機器與基礎作求機器與基礎作豎向受迫振動時的振幅。豎向受迫振動時的振幅。MsinPt解：解：30001854000kN / mkcA3154000 109.847.43s24kkgmW12

16、280083.77s6060n2222222222110.468783.7783.7714140.0747.4347.43-40max12( )=0.4687=1.042 10 m=0.1042mm54000stPAy tyk31111222 2 4 4 348llllEIEI3312734734,9696l ml mEIEI31322.7353/9.0619/EI mlEI ml15.14 求圖示梁的自振頻率求圖示梁的自振頻率和主振型和主振型，并驗證振型的正交性并驗證振型的正交性。解：解：3122111124 2 232llllEIEI 32211212()22 2 32 2 2 2 38l

17、llllllEIEI 33111122233211222214832=01328l ml mmmEIEIDl ml mmmEIEI21 3332()()()048832l ml ml mEIEIEI 332275()0483072l ml mEIEI21mEIl/2l/2l/2m1l/41l/2M1M23132333(1)1133(1)2333(2)2133(2)283273453488960.27703323273453488963.610333232l mYEIl mYEIl ml ml mYEIEIEIl ml mYEIEIl ml ml mYEIEIEIl ml mYEIEI 驗證主振

18、型的正交性驗證主振型的正交性:(1)(2)(1)(2)1 11222( 0.2770)3.61031 10mYYm YYmm 第一主振型第一主振型mm10.2770第二主振型第二主振型mm13.61033111124()233aa a aa a aEIEI 33125252(),(),6262a ma mEIEI31320.8057/2.8147/EImaEIma15.15 求圖示剛架的自振頻率求圖示剛架的自振頻率和主振型和主振型，并驗證振型的正交性。并驗證振型的正交性。解：解：2EIaEIa1a1a1a312211122aa a aEIEI 322112233aa a aEIEI m3311

19、112223321122221432=0123a ma mmmEIEIDa ma mmmEIEI21 33324()()()0332a ma ma mEIEIEI332257()0336a ma mEIEIM1M23132333(1)1133(1)2333(2)2133(2)23252()3362122.41422252()3362120.414222a mYEIa mYEIa ma ma mYEIEIEIa ma mYEIEIa ma ma mYEIEIEIa ma mYEIEI 驗證主振型的正交性驗證主振型的正交性:(1)(2)(1)(2)1 112222.4142( 0.4142)1 1

20、0mYYm YYmm 第一主振型方向第一主振型方向第二主振型方向第二主振型方向15.17 求圖示剛架的自振頻率和主振型，并驗證振型的正交性求圖示剛架的自振頻率和主振型，并驗證振型的正交性。已知：樓面質(zhì)量。已知：樓面質(zhì)量m1120t，m2100t，柱的質(zhì)量已集中于樓，柱的質(zhì)量已集中于樓面；橫梁剛度為無限大，柱的線剛度分別為面；橫梁剛度為無限大，柱的線剛度分別為i120MN m，i214MN m 。4mi1EIb=m1EIb=i1i2i2m24m解：解：6611132211121212 20 1015 10 N/m4EIikhh6622232222121212 14 1010.5 10 N/m4E

21、Iikhh611122()51 10 N/mkkk612212221 10 N/mkkk 6222221 10 N/mkk0222221121211 mkkkmkD 2211122221 12()()0kmkmk k0)()(2121122211222211122 mmkkkkmkmk 222()6355250002221317.5219.79221297.71,537.2911129.88s ,23.18s(1)6112(1)2632111121 1010.534751 1097.71 120 101.870YkYkm(2)6112(2)2632112121 1011.558551 1053

22、7.29 120 100.6416YkYkm第二主振型第二主振型第一主振型（基本振型）第一主振型（基本振型）1.8701第一主振型第一主振型10.642第二主振型第二主振型驗證主振型的正交性驗證主振型的正交性:(1)(2)(1)(2)331 11222120 101 1 100 101.870( 0.6416)0mYYm YY 15.19 在題在題15.17的兩層剛架的第二層樓面處沿水平方向作用一的兩層剛架的第二層樓面處沿水平方向作用一簡諧干擾力簡諧干擾力Psin t，其幅值，其幅值P5kN，機器，機器轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n150r/min，試求第一，二層樓面處的振幅值和柱端截面試求第一，二層樓面處的振幅

23、值和柱端截面A的彎矩幅值。的彎矩幅值。4mi1EIb=m1EIb=i1i2i2m24m解：解：66111322111212 20 1015 10 N/m4EIikhhsinPt66222322221212 14 1010.5 10 N/m4EIikhh611122()51 10 N/mkkk61221121 10 N/mkkk 622121 10 N/mkk1221505 s6060ntYtytYtysin)(sin)(2211A222222121121212111)()(PYmkYkPYkYmkE6326126632312(51 10120 1025)21 10021 10(21 10100

24、 1025)5 10YYYY 1231221.391210213.67405 10YYYY 31320.20585 10 m0.20585mm0.20208 10 m= 0.20208mmYY柱端截面柱端截面A的彎矩幅值的彎矩幅值631 1166 20 100.20208 104=6062N m6.062kN mAiYMh6322126 ()6 14 10(0.20585 0.20208) 104=79.17N m0.079kN mEi YYMh第二層柱端截面的彎矩幅值第二層柱端截面的彎矩幅值動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖6.0626.0626.0626.0620.0790.0790.0795.98

25、35.983(kNm)0.079AE15.21 圖示懸臂梁剛度圖示懸臂梁剛度EI=7.459104kN m2，集中質(zhì)體重，集中質(zhì)體重W1=W2=70kN，馬達產(chǎn)生的簡諧荷載幅值，馬達產(chǎn)生的簡諧荷載幅值P10kN，試求當馬，試求當馬達轉(zhuǎn)速為達轉(zhuǎn)速為200r/min、 400r/min時梁的支座截面的彎矩幅值。時梁的支座截面的彎矩幅值。解：解：EI1m1m2mW2W1sinPt13M1(m)11M2(m)4114112993331.20710m/kN237.45910EIEI412214118441 130.178810m/kN29337.45910EIEI 4224112111 1 10.0446910m/kN23337.45910EIEI 10kN30MP(kNm)31P4112909033301.20710m237.45910EIEI32P411840401 1300.178810m29337.45910EIEI tYtytYtysin)(