最優(yōu)控制理論及應(yīng)用

1、Date:7/6/2021File:OC_CH3.1Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application第三章第三章 極小值原理及應(yīng)用極小值原理及應(yīng)用經(jīng)典變分法局限性：經(jīng)典變分法局限性：1、應(yīng)用前提：、應(yīng)用前提： b ） f、L、等函數(shù)對其自變量二次連續(xù)可微，要求哈密等函數(shù)對其自變量二次連續(xù)可微，要求哈密爾頓函數(shù)關(guān)于控制變量的偏導(dǎo)數(shù)存在爾頓函數(shù)關(guān)于控制變量的偏導(dǎo)數(shù)存在 。2、實際控制要求：、實際控制要求：a ）控制量）控制量u受不等式約束，如：受不等式約

2、束，如： 0)(uMi，i=1,2,3 b ）性能指標(biāo)有時關(guān)于）性能指標(biāo)有時關(guān)于u并不可微，要求哈密爾頓函數(shù)并不可微，要求哈密爾頓函數(shù)關(guān)于控制變量的偏導(dǎo)數(shù)不存在關(guān)于控制變量的偏導(dǎo)數(shù)不存在 。a ）控制量）控制量 u(t)的取值無約束。的取值無約束。Date:7/6/2021File:OC_CH3.2Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如：燃料最優(yōu)控制：如：燃料最優(yōu)控制： fttdttuJ0)(若采用經(jīng)典變分法：若采用經(jīng)典變分法： 0uH再

3、如：再如：若在容許控制范圍內(nèi)，若在容許控制范圍內(nèi)，J或或H有極值且唯一，用極小值原理有極值且唯一，用極小值原理與經(jīng)典變分法，所得結(jié)論一致。與經(jīng)典變分法，所得結(jié)論一致。極小值原理是變分法的推廣，可以克服前面的局限性。極小值原理是變分法的推廣，可以克服前面的局限性。關(guān)于關(guān)于u不可微。不可微。Date:7/6/2021File:OC_CH3.3Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application連續(xù)系統(tǒng)極小值原理連續(xù)系統(tǒng)極小值原理1極小值原理的其他形式極小值原

4、理的其他形式2討論討論4 例題分析例題分析 5極小值原理的意義極小值原理的意義3主要內(nèi)容主要內(nèi)容離散系統(tǒng)極小值原理離散系統(tǒng)極小值原理6極小值原理在實際中的應(yīng)用極小值原理在實際中的應(yīng)用7Date:7/6/2021File:OC_CH3.4Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application定理定理3.1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為始端條件為始端條件為終端約束為終端約束為控制約束為控制約束為性能泛函為性能泛函為3.1 連續(xù)系統(tǒng)極小值原理連續(xù)系統(tǒng)極小

5、值原理Date:7/6/2021File:OC_CH3.5Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application引入一個新的引入一個新的r維變量維變量w(t)，令，令 雖然雖然u(t)是不連續(xù)的，但是不連續(xù)的，但w(t)是連續(xù)的。若是連續(xù)的。若u(t)分段連續(xù)，則分段連續(xù)，則w(t)是分段是分段光滑連續(xù)函數(shù)。光滑連續(xù)函數(shù)。引入另一個新的引入另一個新的l維變量維變量z(t)，令，令 無論無論 是正是負，是正是負， 恒非負，滿足恒非負，滿足gx(t)，u(t)

6、，t非負要求。非負要求。 通過以上變換，具有不等式約束的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為具有等式約束通過以上變換，具有不等式約束的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為具有等式約束的波爾札問題。再應(yīng)用拉格朗日乘子法引入乘子的波爾札問題。再應(yīng)用拉格朗日乘子法引入乘子和和，問題進一步化，問題進一步化為求下列增廣性能泛函為求下列增廣性能泛函 的極值問題。的極值問題。Date:7/6/2021File:OC_CH3.6Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application取哈密爾頓函數(shù)為取哈密爾頓

7、函數(shù)為 則實現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件是，最優(yōu)控制則實現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件是，最優(yōu)控制u*、最優(yōu)軌線、最優(yōu)軌線x*和最優(yōu)協(xié)態(tài)矢量和最優(yōu)協(xié)態(tài)矢量*滿足下列關(guān)系式：滿足下列關(guān)系式： 沿最優(yōu)軌線滿足正則方程沿最優(yōu)軌線滿足正則方程當(dāng)當(dāng)g中不含中不含x時時Date:7/6/2021File:OC_CH3.7Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application在最優(yōu)軌線上，與最優(yōu)控制在最優(yōu)軌線上，與最優(yōu)控制u*相對應(yīng)的相對應(yīng)的H函數(shù)取絕對極小函數(shù)取絕對極小值，即值，即或或

8、沿最優(yōu)軌線沿最優(yōu)軌線H函數(shù)在最優(yōu)軌線終點滿足函數(shù)在最優(yōu)軌線終點滿足Date:7/6/2021File:OC_CH3.8Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application協(xié)態(tài)終值滿足橫截條件協(xié)態(tài)終值滿足橫截條件滿足邊界條件滿足邊界條件這就是著名的這就是著名的極小值原理極小值原理。Date:7/6/2021File:OC_CH3.9Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optima

9、l Control Theory & its Application極小值原理的幾點說明極小值原理的幾點說明(1)控制作用不等式約束與等式約束下最優(yōu)控制的必要條控制作用不等式約束與等式約束下最優(yōu)控制的必要條件比較件比較q 橫截條件和端點邊界條件相同橫截條件和端點邊界條件相同q 控制方程控制方程 不成立，代之以下條件：不成立，代之以下條件：q 協(xié)態(tài)方程發(fā)生了改變協(xié)態(tài)方程發(fā)生了改變q 僅當(dāng)僅當(dāng)g中不含中不含x時，方程才與等式約束條件下相同時，方程才與等式約束條件下相同Date:7/6/2021File:OC_CH3.10Optimal Control TheoryDong Jie 2012. Al

10、l rights reserved.Optimal Control Theory & its Application(2)極值條件的說明極值條件的說明q 第第1條件和第條件和第2條件，適用于求解各種類型的最優(yōu)控制問題，條件，適用于求解各種類型的最優(yōu)控制問題，且與邊界條件形式或終端時刻是否自由無關(guān)。且與邊界條件形式或終端時刻是否自由無關(guān)。q 第第2條件，說明當(dāng)條件，說明當(dāng)u*(t)和和u(t)都從容許的有界閉集都從容許的有界閉集U中取值中取值時，只有時，只有u*(t)能使能使H函數(shù)沿最優(yōu)軌線函數(shù)沿最優(yōu)軌線x*(t)取全局最小值，取全局最小值，且與閉集的特性無關(guān)。且與閉集的特性無關(guān)。q 第第3條件

11、，描述了條件，描述了H函數(shù)終值與函數(shù)終值與tf之間的關(guān)系，可以確定之間的關(guān)系，可以確定tf的值，該條件是由于的值，該條件是由于tf變動產(chǎn)生的，當(dāng)變動產(chǎn)生的，當(dāng)tf固定時，該條件不固定時，該條件不存在。存在。q 第第4條件和第條件和第5條件，為正則方程提供數(shù)量足夠的邊值條件。條件，為正則方程提供數(shù)量足夠的邊值條件。若初態(tài)固定，其一半由若初態(tài)固定，其一半由x(t0)=x0提供，另一半由協(xié)態(tài)終值提供，另一半由協(xié)態(tài)終值約束方程約束方程 和協(xié)態(tài)終值方程和協(xié)態(tài)終值方程 共同提供。共同提供。Date:7/6/2021File:OC_CH3.11Optimal Control TheoryDong Jie 2

12、012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application(3)控制作用有界和無界時的區(qū)別和聯(lián)系控制作用有界和無界時的區(qū)別和聯(lián)系當(dāng)控制作用無界時，控制方程當(dāng)控制作用無界時，控制方程 成立成立, 控制作用有界時不成立?？刂谱饔糜薪鐣r不成立?？刂谱饔糜薪鐣r，控制作用滿足控制作用有界時，控制作用滿足控制作用無界是控制作用有界時的一個特例。從上面的條控制作用無界是控制作用有界時的一個特例。從上面的條件可以看出當(dāng)控制作用無界時，由控制方程確定的最優(yōu)控制件可以看出當(dāng)控制作用無界時，由控制方程確定的最優(yōu)控制實際上是使實際上是使H極小或極

13、大的駐點條件，取得的最優(yōu)控制極小或極大的駐點條件，取得的最優(yōu)控制u*(t)只能取得相對極小值或極大值。而控制作用有界時確定的最只能取得相對極小值或極大值。而控制作用有界時確定的最優(yōu)控制優(yōu)控制u*(t)保證了使保證了使H取得全局極小值。取得全局極小值。Date:7/6/2021File:OC_CH3.12Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application(4)根據(jù)極值條件求解最優(yōu)控制的一般方法和步驟根據(jù)極值條件求解最優(yōu)控制的一般方法和步驟 正則方程是一組

14、一階微分方程組，共有正則方程是一組一階微分方程組，共有2n個方程，要求出個方程，要求出它的解需要它的解需要2n個邊值條件。當(dāng)初端固定，個邊值條件。當(dāng)初端固定，x(t0)=x0提供提供n個個邊值條件，另外邊值條件，另外n個邊值條件由協(xié)態(tài)終值約束方程和協(xié)態(tài)終個邊值條件由協(xié)態(tài)終值約束方程和協(xié)態(tài)終值方程共同提供。當(dāng)初端固定，終端也固定時，值方程共同提供。當(dāng)初端固定，終端也固定時，x(t0)=x0提提供供n個邊值條件，個邊值條件，x(tf)=xf提供另外提供另外n個邊值條件，而不需要個邊值條件，而不需要對協(xié)態(tài)終值附加任何約束。其求解最優(yōu)控制的一般步驟如下：對協(xié)態(tài)終值附加任何約束。其求解最優(yōu)控制的一般步驟

15、如下：根據(jù)要求構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)根據(jù)要求構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)H；列寫正則方程；列寫正則方程；由正則方程求出由正則方程求出u(t)和和x(t)(帶積分常數(shù)帶積分常數(shù))；寫出邊界條件、邊界約束條件和協(xié)態(tài)終值方程；寫出邊界條件、邊界約束條件和協(xié)態(tài)終值方程；聯(lián)立求解聯(lián)立求解,求出積分常數(shù)求出積分常數(shù),確定出最優(yōu)控制確定出最優(yōu)控制u*(t)和最優(yōu)軌線和最優(yōu)軌線x*(t)。Date:7/6/2021File:OC_CH3.13Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Applicat

16、ionDate:7/6/2021File:OC_CH3.14Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.15Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.16Optimal Control Theory

17、Dong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.17Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.18Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control T

18、heory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.19Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3.3 極小值原理的意義極小值原理的意義（1 ）容許控制條件放寬）容許控制條件放寬變分法變分法：在整個控制域，對：在整個控制域，對u 沒有約束沒有約束 0uH有時有時 計算不易。計算不易。極小值原理極小值原理：H在在u的約束閉集中取極小值。的約束閉集中取極小值。變分法僅為極小值原理的一個特例。變分法僅為極

19、小值原理的一個特例。0uH。但即使。但即使u不受限制，不受限制，（2）最優(yōu)控制）最優(yōu)控制 *u使哈密頓函數(shù)使哈密頓函數(shù)H取極小值取極小值,極小值原理由此得名。極小值原理由此得名。這一原理是蘇聯(lián)學(xué)者這一原理是蘇聯(lián)學(xué)者龐特里亞金龐特里亞金等人首先提出，后加以證明。等人首先提出，后加以證明。 在證明過程中：在證明過程中： 與與H的符號與這里所定義的相反。的符號與這里所定義的相反。 HH_Date:7/6/2021File:OC_CH3.20Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory &

20、 its Application)(),(),(max)(),(),(*_)(*_tuttXHtUttXHtu 所以有的文獻中也稱為所以有的文獻中也稱為“極大值原理極大值原理”。 （3）H對對u沒有可微要求，因此應(yīng)用拓寬。沒有可微要求，因此應(yīng)用拓寬。（4）極小值原來是求取最優(yōu)控制的必要條件，非充分條件。）極小值原來是求取最優(yōu)控制的必要條件，非充分條件。即：滿足極小值原理不一定即：滿足極小值原理不一定J取極小值，需進一步判斷。取極小值，需進一步判斷。一般一般:對于實際系統(tǒng)對于實際系統(tǒng) 有最優(yōu)解有最優(yōu)解 有唯一解有唯一解 最優(yōu)解最優(yōu)解根據(jù)物理意義極小值原理但是，對于但是，對于線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)可以證

21、明極小值原理既是泛函取最小可以證明極小值原理既是泛函取最小值的必要條件，也是充分條件。值的必要條件，也是充分條件。Date:7/6/2021File:OC_CH3.21Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3.4 討論討論前面討論的是前面討論的是 0t和和 )(0tx已知，已知， )(ftx受約束，受約束， ft自由的最一般情況。自由的最一般情況。若若 ft和末端狀態(tài)不同，只需改變極小值原理的和末端狀態(tài)不同，只需改變極小值原理的邊界條件邊界

22、條件即可。即可。1） ftt ,0已知，已知， ffxtxxtx)(,)(00邊界條件為：邊界條件為： 2) 000)(,xtxt給定，給定，)(ftx自由，自由， ft未給定，未給定，邊界條件：邊界條件： ftfxtxtx|)(,)(00確定確定 :ft3) ftt ,0已知，已知， 00)(xtx給定給定,末端受約束末端受約束 0),(ffttxg邊界條件為邊界條件為: 0),()()(00fftTtfttxgxgxtxtxff若若 ft自由，外加自由，外加: 0|fTfttgtHfffxtxxtx)(,)(000|fttHfDate:7/6/2021File:OC_CH3.22Optim

23、al Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)H的性質(zhì)討論的性質(zhì)討論用途：對于所求解的最優(yōu)控制的驗證，或幫助求解最優(yōu)控制及用途：對于所求解的最優(yōu)控制的驗證，或幫助求解最優(yōu)控制及1、線性定常系統(tǒng)：、線性定常系統(tǒng)： ),(UXfX ft ) 1固定，固定， dtUXLtXJfttf0),()(包括包括 fttfdtUXLJtXJ0),()(與末端狀態(tài)無關(guān)與末端狀態(tài)無關(guān))則則: )()(*ftHtH常數(shù)常數(shù) 。 tHdtdHH中不顯函中不顯函t

24、ft )2自由，自由， ffttttffdtUXLdtUXLtXtXJ00),(),()()(沿最優(yōu)控制軌線：沿最優(yōu)控制軌線： 0)()(*ftHtH（與末端狀態(tài)無關(guān)）（與末端狀態(tài)無關(guān)） 因為因為 )(*tH中不顯函中不顯函t所以所以 )()(*ftHtH常數(shù)常數(shù)又因為又因為 ft自由自由, 0)(; 0; 0)(*fffftHtttH*ftDate:7/6/2021File:OC_CH3.23Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application2、對于

25、時變系統(tǒng)：、對于時變系統(tǒng)： ),(tUXfX ft、) 1固定固定: :ffttffttffdttUXLttXdttUXLttXJ00),(),(),(),(fttfdHtHtH0)()(*ft、)2自由自由: fttffdttUXLttXJ0),(),(，末端，末端 0),(ffttXg0)(*fTfftgttH 若末端自由若末端自由: ffttH)(*Date:7/6/2021File:OC_CH3.24Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Applicat

26、ion3.5 例題分析例題分析)()()(tutxtx ，x(0)=5 控制約束控制約束: 15 . 0 u試求使性能指標(biāo)試求使性能指標(biāo): 10)()(dttutxJ為極小值的最優(yōu)控制為極小值的最優(yōu)控制*J解解:定常系統(tǒng)定常系統(tǒng), ft固定固定,末端自由問題末端自由問題)1 ()1 ()(uxuxuxH根據(jù)極小值原理，根據(jù)極小值原理，使使H絕對極小相當(dāng)于使絕對極小相當(dāng)于使J為極小為極小。所以所以 115 . 01)(*tu由協(xié)狀態(tài)方程由協(xié)狀態(tài)方程: 1)();(1 )(tcettxHt)(*tu例例1：設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程：及最優(yōu)性能指標(biāo)及最優(yōu)性能指標(biāo)Date:7/6/202

27、1File:OC_CH3.25Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application由橫截條件由橫截條件: 1)(; 01) 1 (11tetecce顯然顯然:當(dāng)當(dāng) 1)(st時，時，)(*tu產(chǎn)生切換產(chǎn)生切換307. 0, 11)(1ststets所以所以 )(*tu5 . 01)(tx 5 . 0)(1)(txtx)(tx5 . 0121ttecec307. 00t1307. 0t307. 00t1307. 0t307. 00t1307. 0tDate

28、:7/6/2021File:OC_CH3.26Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application由由x(0)=5代入代入,得得 41c所以所以 14)(*tetx令令t=0.307可得可得0.307t1時時x(t)的初始條件的初始條件:44. 614)307. 0(307. 0 ex解得解得 34. 42c所以所以 )(*tx5 . 034. 414ttee將將 *,ux代入代入J可得可得:64. 8)()(10*dttutxJ307. 00 t307

29、. 00t1307. 0tDate:7/6/2021File:OC_CH3.27Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application例例2: 10)0()(21)(min1022xuxxdtuxuJ求求 *u 1)1)對對u u沒沒有有約約束束 2) |u|2) |u|3 . 0解解:1) *220)(21210) 1 (uuHuxuxHxuxxxxH010)0(x0) 1 (-0.31t(t)u(t)Date:7/6/2021File:OC_CH3.2

30、8Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application解得解得: tttteeteetx2222*) 12(9 . 9) 12( 1 . 0)(9 . 91 . 0)(2) |u| 3 . 0Date:7/6/2021File:OC_CH3.29Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3.6 離散系統(tǒng)極

31、小值原理離散系統(tǒng)極小值原理定理定理3.2 設(shè)受控離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)受控離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中式中 x(k)=x1(k)，x2(k)，xn(k)n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； u(k)=u1(k)，u2(k)，um(k)m維控制向量，且維控制向量，且 f x(k)，u(k)，k連續(xù)可微的向量函數(shù)連續(xù)可微的向量函數(shù)。邊界條件為邊界條件為q 始端步數(shù)始端步數(shù)k0和始端狀態(tài)和始端狀態(tài)x(k0)固定，即固定，即q 末端步數(shù)末端步數(shù)kf固定，末端狀態(tài)固定，末端狀態(tài)x(kf)未知，即末端自由。未知，即末端自由。性能泛函為性能泛函為式中式中 x(kf)，kf對對x(kf)連續(xù)可微的標(biāo)量函數(shù)；連續(xù)可微的標(biāo)量函

32、數(shù)； Lx(k)，u(k)，k對對x(k)連續(xù)可微的連續(xù)可微的標(biāo)量函數(shù)。標(biāo)量函數(shù)。Date:7/6/2021File:OC_CH3.30Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application 使性能泛函取得極小值的最優(yōu)控制使性能泛函取得極小值的最優(yōu)控制u*(k)、最優(yōu)軌線、最優(yōu)軌線x*(k)以以及協(xié)態(tài)變量滿足下列必要條件：及協(xié)態(tài)變量滿足下列必要條件：正則方程組正則方程組q 狀態(tài)方程狀態(tài)方程q 協(xié)態(tài)方程協(xié)態(tài)方程式中式中 Hx(k)，u(k)，(k+1)，k哈

33、密爾頓函數(shù)。哈密爾頓函數(shù)。定義為定義為Date:7/6/2021File:OC_CH3.31Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application極值條件極值條件橫截條件橫截條件邊界條件邊界條件q 如果容許控制如果容許控制u(k)不受任何條件的約束，則極值變?yōu)椴皇苋魏螚l件的約束，則極值變?yōu)镈ate:7/6/2021File:OC_CH3.32Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.O

34、ptimal Control Theory & its Application連續(xù)極大值原理與離散極大值原理比較連續(xù)極大值原理與離散極大值原理比較應(yīng)用離散極大值原理和連續(xù)極大值原理求解同一個最優(yōu)控制應(yīng)用離散極大值原理和連續(xù)極大值原理求解同一個最優(yōu)控制問題，可以得到非常相似甚至是相同的結(jié)果。問題，可以得到非常相似甚至是相同的結(jié)果。比如，對于如下連續(xù)系統(tǒng)，終端狀態(tài)自由。比如，對于如下連續(xù)系統(tǒng)，終端狀態(tài)自由。有兩種求解方法：有兩種求解方法：（1）直接用連續(xù)的極大值原理，得到連續(xù)的正則方程組，）直接用連續(xù)的極大值原理，得到連續(xù)的正則方程組，然后將正則方整組離散化，求解離散的兩點邊值問題。然后將正則方整

35、組離散化，求解離散的兩點邊值問題。（2）對連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和指標(biāo)函數(shù)離散化，應(yīng)用離散極）對連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和指標(biāo)函數(shù)離散化，應(yīng)用離散極大值原理求解最優(yōu)控制序列。大值原理求解最優(yōu)控制序列。如果采樣周期選取的合適。則兩種方法求解結(jié)果應(yīng)該是很相如果采樣周期選取的合適。則兩種方法求解結(jié)果應(yīng)該是很相近的。近的。Date:7/6/2021File:OC_CH3.33Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如：先用連續(xù)極大值原理求得正則方程。如：先用連續(xù)極

36、大值原理求得正則方程。設(shè)采樣時間為設(shè)采樣時間為T ，取一階差分：，取一階差分：代入正則方程組，并將正則方程組離散化：代入正則方程組，并將正則方程組離散化：Date:7/6/2021File:OC_CH3.34Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如果應(yīng)用離散極大值原理求解，則先對狀態(tài)方程和指標(biāo)函如果應(yīng)用離散極大值原理求解，則先對狀態(tài)方程和指標(biāo)函數(shù)作一次差分近似：數(shù)作一次差分近似：離散的哈密爾頓函數(shù)：離散的哈密爾頓函數(shù)：Date:7/6/20

37、21File:OC_CH3.35Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application離散的兩點邊值問題為：離散的兩點邊值問題為：兩種情況下的正則方程略有不同。當(dāng)兩種情況下的正則方程略有不同。當(dāng)采樣時間很小時采樣時間很小時， k與與k + 1很接近，兩種方法的差別就不大了。很接近，兩種方法的差別就不大了。Date:7/6/2021File:OC_CH3.36Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights re

38、served.Optimal Control Theory & its Application3.7極小值原理在實際中的應(yīng)用極小值原理在實際中的應(yīng)用幾個典型例子：幾個典型例子：q 時間最優(yōu)控制問題時間最優(yōu)控制問題q 最小燃料消耗問題最小燃料消耗問題q 最小能量控制問題最小能量控制問題q 線性調(diào)節(jié)問題線性調(diào)節(jié)問題重點：重點：時間最優(yōu)控制問題時間最優(yōu)控制問題（其他求解思想與此類似）（其他求解思想與此類似）Date:7/6/2021File:OC_CH3.37Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Contro

39、l Theory & its Application一、時間最優(yōu)控制問題一、時間最優(yōu)控制問題 所謂時間最優(yōu)控制，就是把系統(tǒng)從初始狀態(tài)所謂時間最優(yōu)控制，就是把系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)的時間作為性能指標(biāo)，即使轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)的時間作為性能指標(biāo)，即使轉(zhuǎn)移時間為最短。時間為最短。 也稱為最小時間控制，或也稱為最小時間控制，或 最速控制。最速控制。 這也是發(fā)展得最早的最優(yōu)控制問題之一。這也是發(fā)展得最早的最優(yōu)控制問題之一。 Date:7/6/2021File:OC_CH3.38Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optim

40、al Control Theory & its Application1 1、問題提出（時變系統(tǒng)）、問題提出（時變系統(tǒng)） 已知受控系統(tǒng)已知受控系統(tǒng)并設(shè)并設(shè) f f 和和 B B對對X(t)X(t)和和t t 連續(xù)可微。連續(xù)可微。0)0(),(),(),(XXtuttXBttXfX1)(tjurj.2 , 10)(ftxg00ttdtJfttfft X：n1 狀態(tài)向量狀態(tài)向量 u： r1 控制向量控制向量 f f ：n1 函數(shù)向量函數(shù)向量 B：nr 函數(shù)值矩陣函數(shù)值矩陣控制向量約束條件控制向量約束條件:末端狀態(tài)：末端狀態(tài)： g g：p p 1 1維函數(shù)向量維函數(shù)向量目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)： : 自由

41、自由問題：尋求最優(yōu)控制問題：尋求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)由初態(tài)到終態(tài)，使系統(tǒng)由初態(tài)到終態(tài)， 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)J J 為最小為最小Date:7/6/2021File:OC_CH3.39Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application應(yīng)用極小值原理進行問題的求解應(yīng)用極小值原理進行問題的求解q 步驟：步驟：列寫哈密頓函數(shù)列寫哈密頓函數(shù))(),()(),()(1)(),(),()(1),(),(),(tuttxBtttxfttuttxBttxfttttut

42、xHTTT由控制方程求由控制方程求u*(t)u有約束，有約束， H在在u*上取得極小值，即：上取得極小值，即：令令 q:r 1維向量函數(shù)維向量函數(shù))(),(*)(*min),(),(*),(*1tuttxBttttutxHTuTj1)(*),(*)(*nnrTtttxBtqDate:7/6/2021File:OC_CH3.40Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationrjjjuTuTtutqtutqtutqjj111)()(min)()(*mi

43、n)(*)(*)()(min11tutqjjrjuj則有：則有：最優(yōu)控制最優(yōu)控制u u* *(t)(t)是使是使 為極小，則：為極小，則： rjtqtutqjjjuj,.,2, 1)()()(min1)()(tutqjj)(* tuj0)( *,0)( *,0)( *,tqtqtqjjj不定不定可見：當(dāng)可見：當(dāng) 時，時， 有確定值，有確定值，正常情況正常情況 當(dāng)當(dāng) 時，時， 不定，不定， 奇異情況奇異情況0)(tqj)(* tuj0)(tqj)(* tujt+1-1u*(t)奇異奇異Date:7/6/2021File:OC_CH3.41Optimal Control TheoryDong Ji

44、e 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application奇異狀態(tài)并不表示時間最優(yōu)控制不存在，只表明用極小值原奇異狀態(tài)并不表示時間最優(yōu)控制不存在，只表明用極小值原理理不能確定最優(yōu)解，需采用奇異最優(yōu)控制方法。不能確定最優(yōu)解，需采用奇異最優(yōu)控制方法。若在區(qū)間若在區(qū)間 Tt ,0內(nèi)，存在時間的可數(shù)集合內(nèi)，存在時間的可數(shù)集合: jjjttt.,21即：即： , 3 , 2 , 1,0Tttj使得對所有的使得對所有的 rj,.2 , 1均有：均有： )()(tbqTjtj則稱時間最優(yōu)控制是正常的。則稱時間最優(yōu)控制是正常的。若在

45、區(qū)間若在區(qū)間 ,0Tt內(nèi)，存在一個（或多個）子區(qū)間內(nèi)，存在一個（或多個）子區(qū)間 ,021Tttt，使得對所有使得對所有 ,21ttt，有，有 0)(),()(tttXBqTjtj 則稱時間最優(yōu)則稱時間最優(yōu) ,21tt控制奇異?？刂破娈?。 奇異區(qū)間。奇異區(qū)間。 0tttt 非零Date:7/6/2021File:OC_CH3.42Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如何判定系統(tǒng)是正常的，還是奇異的？如何判定系統(tǒng)是正常的，還是奇異的？ 設(shè)計時

46、間最優(yōu)控制之前總希望知道問題是否有解？是設(shè)計時間最優(yōu)控制之前總希望知道問題是否有解？是否有唯一解？問題是正常的，還是奇異的。除此之外，我否有唯一解？問題是正常的，還是奇異的。除此之外，我們還希望了解時間最優(yōu)控制的共同特點和性質(zhì)。們還希望了解時間最優(yōu)控制的共同特點和性質(zhì)。 這種一般規(guī)律的認識和了解會有助于具體系統(tǒng)的設(shè)計計這種一般規(guī)律的認識和了解會有助于具體系統(tǒng)的設(shè)計計算。算。然而，對任意的非線性系統(tǒng)和任意的目標(biāo)集，沒有明確然而，對任意的非線性系統(tǒng)和任意的目標(biāo)集，沒有明確結(jié)論。結(jié)論。 對于線性定常系統(tǒng)，可以回答上述問題，（目標(biāo)集假設(shè)對于線性定常系統(tǒng)，可以回答上述問題，（目標(biāo)集假設(shè)為坐標(biāo)原點）為坐標(biāo)

47、原點） 至于線性時變系統(tǒng)及一般性目標(biāo)集問題，只有其中的部至于線性時變系統(tǒng)及一般性目標(biāo)集問題，只有其中的部分結(jié)論適用。分結(jié)論適用。 Date:7/6/2021File:OC_CH3.43Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application對于線性定常系統(tǒng)：對于線性定常系統(tǒng)：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 個矩陣個矩陣rjbAbAAbbGjnjjjj.2 , 1,|.|12中至少有一個奇異矩陣時最小時間控制問題是奇異的。中至少有一個奇異矩陣時最小時間控制問題是奇異的。r：

48、當(dāng)且僅當(dāng)：當(dāng)且僅當(dāng)rjbAbAAbbGjnjjjj,.2 , 1,|.|12全部為非全部為非奇異矩陣，則時間最優(yōu)控制是正常的。奇異矩陣，則時間最優(yōu)控制是正常的。 和和的推證過程都沒有涉及到目標(biāo)集，因此，不論的推證過程都沒有涉及到目標(biāo)集，因此，不論目標(biāo)集如何，只目標(biāo)集如何，只要受控系統(tǒng)是線性時不變的，兩個定理可用。要受控系統(tǒng)是線性時不變的，兩個定理可用。將滿足將滿足的系統(tǒng)叫做正常系統(tǒng)。正常受控系統(tǒng)，其時間最優(yōu)的系統(tǒng)叫做正常系統(tǒng)。正常受控系統(tǒng)，其時間最優(yōu)控制問題也是正常的，對于正常問題，有存在性與唯一性定理。控制問題也是正常的，對于正常問題，有存在性與唯一性定理。 Date:7/6/2021Fil

49、e:OC_CH3.44Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application一個完全能控的線性定常系統(tǒng)：一個完全能控的線性定常系統(tǒng)： BuAxx必需滿足必需滿足 nBABAABBrankrankGn|.|12n:系統(tǒng)維數(shù)系統(tǒng)維數(shù)若把系統(tǒng)表征為：若把系統(tǒng)表征為： rrubububAxx.2211其中其中 ruuu.,21控制分量控制分量正常問題要求正常問題要求 rjbAj.2 , 1),(都是完全能控。都是完全能控。 即：即： nbAAbbrankrankG

50、jnjjj|.|1說明：每一個控制分量說明：每一個控制分量 )(tuj均能單獨使受控系統(tǒng)由任意初態(tài)在有限時間均能單獨使受控系統(tǒng)由任意初態(tài)在有限時間內(nèi)轉(zhuǎn)內(nèi)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點。移到坐標(biāo)原點。據(jù)此，?？珊苋菀椎嘏袛鄦栴}的時間最優(yōu)控制是否屬于正常情況。據(jù)此，?？珊苋菀椎嘏袛鄦栴}的時間最優(yōu)控制是否屬于正常情況。顯然：一個輸入完全能控的線性時不變系統(tǒng)，其時間最優(yōu)控制問題也一定顯然：一個輸入完全能控的線性時不變系統(tǒng)，其時間最優(yōu)控制問題也一定是正常的。是正常的。Date:7/6/2021File:OC_CH3.45Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights re

51、served.Optimal Control Theory & its Application我們僅研究正常情況我們僅研究正常情況u*(t)寫成符號函數(shù)寫成符號函數(shù)sgn 形式形式則則 j j =1=1，2r2r向量形式：向量形式：u u* *(t)=-sgnq(t)=-sgnq* *(t)(t) =-sgn =-sgn )(*sgn)(*tqtujj)(*),(tttxBT根據(jù)規(guī)范方程：根據(jù)規(guī)范方程： )()()(),(),(txHttuttxBttxfx及初始條件和橫截條件：及初始條件和橫截條件： 000ffttTHtgxtxfffTftxttxgt,可求得可求得x*(t)及及)(* tD

52、ate:7/6/2021File:OC_CH3.46Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application求最優(yōu)控制求最優(yōu)控制u*(t) )(*),(*sgn)(*tttxBtuT砰一砰控制砰一砰控制2、砰一砰控制定理、砰一砰控制定理（Bang-Bang） 要求控制量始終為最大或最小。要求控制量始終為最大或最小。 設(shè)設(shè)u*(t)是上述問題提出的解，是上述問題提出的解，x*(t), 是相應(yīng)是相應(yīng)的狀態(tài)軌線和協(xié)狀態(tài)軌線。若問題正常的狀態(tài)軌線和協(xié)狀態(tài)軌線。若問題

53、正常(非奇異非奇異)，則，則 這是一個繼電器控制方式，稱為砰一砰控制。這是一個繼電器控制方式，稱為砰一砰控制。)(* t)(*),(sgn)(*tttxBtuTDate:7/6/2021File:OC_CH3.47Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3、線性定常系統(tǒng)的最小時間控制問題的解法線性定常系統(tǒng)的最小時間控制問題的解法如何確定最優(yōu)控制如何確定最優(yōu)控制u*(t) 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 0)0(),(

54、)()(XXtButAXtX其中，其中，X：n 1維狀態(tài)向量維狀態(tài)向量 u： 控制變量控制變量 A，B分別為分別為n n，n 1矩陣矩陣約束條件：約束條件：末端條件：末端條件：1)(tu 0ftX求，使系統(tǒng)狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到求，使系統(tǒng)狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到所用時間最短，即使為最小。所用時間最短，即使為最小。)(* tu00)(XtX0)(ffXtXftftdtJ0Date:7/6/2021File:OC_CH3.48Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application問

55、題的求解問題的求解首先列寫哈密頓函數(shù)：首先列寫哈密頓函數(shù)：)()()()(1tButtAXtHTT根據(jù)極小值原理分析可得：根據(jù)極小值原理分析可得：)(*sgn)(*tBtuT有規(guī)范方程：有規(guī)范方程：BtBtAXtButAXXT)(sgn)()()(*BtT)(sgn*注：注： 為標(biāo)量函數(shù)，題意要求為標(biāo)量函數(shù)，題意要求)(tu000)()(0)()(tATTTetttAtAXHDate:7/6/2021File:OC_CH3.49Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & it

56、s Application代入得：代入得：)(* tuBetuTtATT0sgn)(*BeAtT0sgn可見，的值完全由的符號決定可見，的值完全由的符號決定但是，的確定是不容易的。因為它還和系統(tǒng)的但是，的確定是不容易的。因為它還和系統(tǒng)的狀態(tài)變量有關(guān)系。通常采用的方法是：狀態(tài)變量有關(guān)系。通常采用的方法是：)(* tu00先設(shè)一個，求出，求出，判定先設(shè)一個，求出，求出，判定若為，則即為所求；否則修正重復(fù)上述若為，則即為所求；否則修正重復(fù)上述過程過程0)(t)(tX?0)(ftX)(t0Date:7/6/2021File:OC_CH3.50Optimal Control TheoryDong Jie

57、 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.51Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.52Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory &

58、its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.53Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application兩個定理兩個定理最優(yōu)控制的唯一性定理最優(yōu)控制的唯一性定理設(shè)受控系統(tǒng)是線性定常正常系統(tǒng)，若時間最優(yōu)控制存在，則設(shè)受控系統(tǒng)是線性定常正常系統(tǒng)，若時間最優(yōu)控制存在，則必定唯一。必定唯一。開關(guān)次數(shù)定理開關(guān)次數(shù)定理 設(shè)線性系統(tǒng)設(shè)線性系統(tǒng) 是正常的（不存在非奇異問是正常的（不存在非奇異問題），若題），若矩陣矩陣A的特征值均為實數(shù)的特

59、征值均為實數(shù)，假定時間最優(yōu)控制存在，假定時間最優(yōu)控制存在，并令其為并令其為 則則u*(t)的切換次數(shù)最多的切換次數(shù)最多不超過（不超過（n-1）次，）次，n為系統(tǒng)的維數(shù)。為系統(tǒng)的維數(shù)。)()(tButAXX,.2 , 1),(*rjtuj,1ju 以下將根據(jù)極小值定理，開關(guān)次數(shù)定理及相平面狀態(tài)空以下將根據(jù)極小值定理，開關(guān)次數(shù)定理及相平面狀態(tài)空間分析，求間分析，求u*Date:7/6/2021File:OC_CH3.54Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Appl

60、ication例例1：雙積分系統(tǒng)的最小時間控制系統(tǒng)：雙積分系統(tǒng)的最小時間控制系統(tǒng)122xxux1u最小時間控制問題：求最小時間控制問題：求u*(t),使系統(tǒng)由初態(tài)使系統(tǒng)由初態(tài) xxxx201000轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài) 的時間為最小，且滿足的時間為最小，且滿足0()0fx t 1u解：列寫哈密頓函數(shù)：解：列寫哈密頓函數(shù)：1221Hxu *2sgnu 求解協(xié)狀態(tài)方程求解協(xié)狀態(tài)方程122110 xxHH設(shè)設(shè)101202(0)(0)，則：，則：101( ) tconst20201( ) ttDate:7/6/2021File:OC_CH3.55Optimal Control TheoryDon