浙江大學(xué)控制理論乙第三章

1、2021-7-6P60-12021-7-6P60-2一、穩(wěn)定性的基本概念一、穩(wěn)定性的基本概念 所謂穩(wěn)定性，就是指系統(tǒng)在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過渡過程后能否回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)或足夠準(zhǔn)確地回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若干擾消失后系統(tǒng)不能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，偏差越來越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 一般來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時域響應(yīng)的收斂性，如果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是收斂的，則此系統(tǒng)就被認(rèn)為是總體穩(wěn)定的。2021-7-6P60-3二、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性單輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般表示為 mnasasasabsbsbs

2、bsXsYnnnnmmmm11101110)()(系統(tǒng)的特征方程式為： 01110nnnnasasasa此方程的根，稱為特征根。它是由系統(tǒng)本身的參數(shù)和結(jié)構(gòu)所決定的。2021-7-6P60-4三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程式的所有根均為負(fù)實根或其實部為負(fù)的復(fù)數(shù)根，即特征方程式的根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。 也可以說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的極點均在s平面的左半部分。 如果特征方程在復(fù)平面的右半平面上沒有根，但在虛軸上有根，則可以說該線性系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，系統(tǒng)將出現(xiàn)等幅振蕩。 2021-7-6P60-5四、勞斯四、勞斯赫爾維

3、茨（赫爾維茨（Routh-HurwitzRouth-Hurwitz）穩(wěn)定判據(jù)）穩(wěn)定判據(jù)1、穩(wěn)定性的初步判別 設(shè)已知控制系統(tǒng)的特征方程01110nnnnasasasa式中所有系數(shù)均為實數(shù)，且a00。則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述特征方程式所有系數(shù)均為正數(shù)。 若有任何一項系數(shù)為負(fù)或0，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；若系數(shù)均為正，對二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定（充分必要條件），對二階以上系統(tǒng)需要進(jìn)一步判斷。2021-7-6P60-62、勞斯判據(jù) 將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：01110nnnnasasasa 并將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表： sna0a2a4sn-1a1a3a5sn-2b1b2b3sn-3c1c2c3s2e1

4、e2s1f1s0g1 表中的有關(guān)系數(shù)為：130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc2021-7-6P60-7 列出了勞斯表以后，可能出現(xiàn)以下幾種情況：(1) (1) 第一列所有系數(shù)均不為零的情況第一列所有系數(shù)均不為零的情況這時，勞斯判據(jù)指出，系統(tǒng)極點實部為正實數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。系統(tǒng)極點全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。2021-7-6P60-8例例3-13-1 三階系統(tǒng)的特征方程為320123( )0D

5、 sa sa sa sa試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表：0a2a1a3a12031a aa aa3a3s2s0s1s系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：012312030,0,0,0,0aaaaa aa a2021-7-6P60-9例3-2 系統(tǒng)的特征方程 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性05432)(2345ssssssD由左表可以看出，第一列各數(shù)值的符號改變了兩次，由+2變成-1，又由-1改變成+9，因此該系統(tǒng)有兩個正實部的極點，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 s5114s4235s3-130（各元素乘以2）s2950s132（各元素乘以9）s05解：列出勞斯表：2021-7-6P60-10可以用一有限小的數(shù)值來代替為

6、零的那一項，然后按照通常方法計算陣列中其余各項。如果零（）上面的系數(shù)符號與零（）下面的系數(shù)符號相反，表明這里有一個符號變化。（2 2）某行第一列的系數(shù)等于零，而其余項中某些項不）某行第一列的系數(shù)等于零，而其余項中某些項不 等于零的情況等于零的情況2021-7-6P60-11例3-3 系統(tǒng)的特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性0122234ssss解：列出勞斯表：111220（0） 12-2/ 0s4s3s2s1s01現(xiàn)在考察第一列中各項數(shù)值。當(dāng)趨近于零時，2-2/的值是一很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第一列中的各項數(shù)值的符號改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 2021-

7、7-6P60-12(3) (3) 某行所有各項系數(shù)均為零的情況某行所有各項系數(shù)均為零的情況如果勞斯表中某一行的各項均為零，或只有等于零的一項，這表示在s平面內(nèi)存在一些絕對值相同但符號相反的特征根，如兩個大小相等符號相反的實根和（或）一對共軛純虛根，或?qū)ΨQ于實軸的共軛復(fù)根。為了寫出下面各行，將不為零的最后一行的各項組成一個方程，這個方程叫作輔助方程，次數(shù)通常為偶數(shù)。由該方程對s求導(dǎo)數(shù)，用求導(dǎo)得到的各項系數(shù)來代替為零的各項，然后繼續(xù)按照勞斯表的列寫方法，寫出以下的各行。至于這些根，可以通過解輔助方程得到。但是當(dāng)一行中的第一列的系數(shù)為零，而且沒有其它項時，可以像情況（2）所述那樣，用代替為零的一項，

8、然后按通常方法計算陣列中其余各項。2021-7-6P60-13例3-4 系統(tǒng)的特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性0161620128223456ssssss解：勞斯表中的 各項為：63sss6182016s5212160s4168（各元素乘以1/2）s3000由上表看出，s3行的各項全為零。2021-7-6P60-14 為了求出s3 s0各項，將s4行的各項組成輔助方程： 86)(24sssA 將輔助方程A(s)對s求導(dǎo)數(shù)，得ssdssdA124)(3s6182016s5212160s4168s3412s238s14/3s08 用上式中的各項系數(shù)作為s3行的各項系數(shù)，得勞斯表為： 從左表的第一列

9、可以看出，各項符號沒有改變，因此可以確定在右半平面沒有極點。另外，由于s3行的各項皆為零，這表示有共軛虛數(shù)極點。這些極點可由輔助方程求出。 輔助方程是：08624 ss求得大小相等符號相反的虛數(shù)極點為：22,1js24,3js2021-7-6P60-153、赫爾維茨判據(jù)（Hurwitz） 分析6階以下系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，還可應(yīng)用赫爾維茨判據(jù) 將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：01110nnnnasasasannaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa000000000567893456712345012301 現(xiàn)以它的各項系數(shù)寫出如下之行列式 赫爾維茨判據(jù)描述如下：在a00的情況下，系統(tǒng)穩(wěn)定的

10、充分必要條件是上述各行列式的各階主子式均大于零，即對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求： 011a023012aaaa00345123013aaaaaaaa0n2021-7-6P60-16例3-5 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，求滿足穩(wěn)定要求時K的臨界值 +-R(s)C(s) 5)(1(sssk解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)KsssKsRsC)5)(1()()(特征方程為 D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0 或05623Kssss315s26Ks0Ks1630K列出勞斯表按勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列數(shù)值應(yīng)為正，即K0，30-K0，則有0K0。系統(tǒng)的時間常數(shù)及放大系數(shù)均為正，所以滿足各項系數(shù)均大于零的條件。將各項系

11、數(shù)代入a1a2-a0a30中，得： (T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)0 或者1+K1時，系統(tǒng)具有不相等的兩個實極點，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減，衰減的快慢主要由靠近虛軸的那個實極點決定。此時稱系統(tǒng)處于過過阻尼阻尼情況。 212nnd,1s sjj 001tc(t)階躍響應(yīng)23122222( )=+( +2+)+-1+-1nnnnnnnAAAC sss ssss 2021-7-6P60-37第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) 當(dāng)阻尼比 =1時，系統(tǒng)具有兩重實極點，于是系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)中沒有周期分量，暫態(tài)響應(yīng)將隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減。此時稱

12、系統(tǒng)處于臨界阻尼臨界阻尼情況。 212nnd,1s sjj 001tc(t)階躍響應(yīng)2-2211( )= -=1-(1+)+( +)( +)ntnnnnnnC st esss ss2021-7-6P60-38第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) 當(dāng)0 -1（右半平面有正實部的共軛虛根）時系統(tǒng)響應(yīng) -1（右半平面有相異正實根）時系統(tǒng)響應(yīng) 212nnd,1s sjj -5tc(t)階躍響應(yīng)00tc(t)階躍響應(yīng)2021-7-6P60-41第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) n n =001系統(tǒng)極點位置與 、 、 及 之間的關(guān)系。對于標(biāo)出的一對共軛復(fù)數(shù)極點 是從極點到s平面原點的徑向距離， 是極點的實部， 是極點的虛

13、部，而阻尼比 等于極點到s平面原點間徑向線與負(fù)實軸之間夾角的余弦，即 =cos阻尼比 是二階系統(tǒng)的重要特征參量。 ndnd212nnd,1s sjj 2021-7-6P60-42第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、欠阻尼情況(0 1 )這種情況下，C(s)/R(s)的兩個極點是兩個不等的負(fù)實數(shù)。對于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以寫成)1)(1()()(222nnnnnsssRsC其拉氏反變換為：系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含著兩個衰減的指數(shù)項。當(dāng) 遠(yuǎn)大于1時，兩個衰減的指數(shù)項中，一個比另一個衰減的要快得多，因此衰減得比較快的指數(shù)項（相應(yīng)于較小時間常數(shù)的指數(shù)項），

14、就可以忽略不計。過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是隨時間單調(diào)增長的，最后趨于靜態(tài)值，最大超調(diào)是零。ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(s1s22021-7-6P60-45第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)二、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼情況下，即0 1時，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時間tr、峰值時間tp、最大超調(diào)量 的計算公式：p上升時間tr)1(tan11212nrt2121tan ()1dn峰值時間tp 2=1pdnt 由上式可見，如欲減小tr ，當(dāng) 一定時，需增大 ，反之，若 一定時，則需減小 。nn)sin1(cos1)(2ttetcddtn)1tansin(

15、11212tedtn2021-7-6P60-46第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)最大超調(diào)量p 1)(pptc)sin1(cos2pnte)1/(2e調(diào)整時間ts 當(dāng)00.8時)/(3nst當(dāng)采用2%允許誤差時 )/(4nst當(dāng)采用5%允許誤差時05. 1112sntenst)1/1ln(3221/1tne21/1tnec(t)t01.00包絡(luò)線2021-7-6P60-47第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) 三、二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)C(s)為 2222)(nnnsssC該方程的拉普拉斯反變換，就是時域響應(yīng)解c(t)當(dāng)01時(0)t 0.30.51.0012345678910-0.8-0.6

16、-0.4-0.200.20.40.60.810.1 0.3 0.5 0.7 1.0 2021-7-6P60-48第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)例3-11 圖示系統(tǒng)中 ， 弧度/秒。當(dāng)系統(tǒng)受到單位階躍輸入信號作用時，試求上升時間tr、峰值時間tp、最大超調(diào)量p和調(diào)整時間ts。 6 . 05n+-R(s)C(s)2(2nnssE(s)解：根據(jù)給定的 和 值，可以求得 n214dn上升時間tr211-3.14tan3.140.9344rdt0.55( ) s2021-7-6P60-49第六節(jié) 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)峰值時間tp3.140.785( )4pdts最大超調(diào)量p2( / 1)(3/4) 3.140

17、.095pee因此，最大超調(diào)量百分比為9.5%調(diào)整時間ts對于2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)整時間為：n441.333st秒對于5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)整時間為： n3313st 秒2021-7-6P60-50第七節(jié) 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsC11101110)()(高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般可以寫成 進(jìn)行因式分解，可寫成 )()()()()()(2121nmsssssszszszsKsRsC其階躍響應(yīng)的象函數(shù)為： rknknkkqiimjjssssszsKsC122111)2()()()(22211()112qrkknkknkkiikiknknkB sCAAsssss

18、 )1cos(12krkknktkteDnkkqitsiieAAtc1)(單位階躍響應(yīng)：2021-7-6P60-51第七節(jié) 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng) 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分量的合成 2. 高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)Ai和Dk不僅與s平面中極點的位置有關(guān)，并且與零點的位置也有關(guān)。對于系數(shù)很小的分量和遠(yuǎn)離虛軸的極點對應(yīng)的衰減很快的暫態(tài)分量?？珊雎?，則高階系統(tǒng)的響應(yīng)可用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似。3. 如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部比其他極點的實部的1/5還要小，并且該極點附近沒有零點，則可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定。這些對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點，稱為系統(tǒng)主導(dǎo)極點。1.

19、 高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 及 決定knk is2021-7-6P60-52第八節(jié) 用MATLAB進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析一、線性系統(tǒng)的MATLAB表示 25425)()(2sssRsCnum=0025den=1425 （注意，必要時需補加數(shù)字零 ）當(dāng)階躍命令的左端含有變量時，如y,x,t=step(num,den,t)，顯示屏上不會顯示出響應(yīng)曲線。因此，必須利用plot命令去查看響應(yīng)曲線。 如果已知num和den（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母），則命令step(num，den)，step(num，den，t)將會產(chǎn)生單位階躍響應(yīng)圖。2021-7-6P60-53第八節(jié) 用MATLA

20、B進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析二、單位階躍響應(yīng)的求法 時間（秒）G(s)=25/(s2+4s+25)的單位階躍響應(yīng)00.511.522.5300.20.40.60.811.21.4Matlab源程序：num=0025;den=1425;step(num,den)title(G(s)=25/(s2+4s+25)的單位階躍響應(yīng))2021-7-6P60-54第八節(jié) 用MATLAB進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析三、脈沖響應(yīng) impulse(num,den)y,x,t=impulse(num,den)y,x,t=impulse(num,den,t)例3-12試求下列系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)：12 . 01)()(2sssRsC時間（秒

21、）G(s)=1/(s2+0.2s+1)的單位脈沖響應(yīng)0102030405060-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81num=001;den=10.21;impulse(num,den);gridtitle(G(s)=1/(s2+0.2s+1)的單位脈沖響應(yīng)) Matlab源程序：2021-7-6P60-55第八節(jié) 用MATLAB進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析四、求脈沖響應(yīng)另一種方法 當(dāng)初始條件為零時，G(s)的單位脈沖響應(yīng)與sG(s)的單位階躍響應(yīng)相同。對于上例，可寫成：sssssssGsCsRsC112 . 012 . 01)()()()(22時間（秒）G(s)=s/(s2+0.2s

22、+1)的單位脈沖響應(yīng)010203040506000.511.522.5Matlab源程序：num=010;den=10.21;step(num,den);grid;title(G(s)=1/(s2+0.2s+1)的單位脈沖響應(yīng)) 2021-7-6P60-56第八節(jié) 用MATLAB進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析五、斜坡響應(yīng)（MATLAB中沒有斜坡響應(yīng)命令） 對于單位斜坡輸入量 21)(ssR2221111( )( ) ( )1(1)C sG s R sssssss s得：0123456701234567G(s)=1/(s2+s+1)的單位斜坡響應(yīng)曲線t （秒）輸入和輸出Matlab源程序：num=0001;d

23、en=1110;t=0:0.1:7;c=step(num,den,t);plot(t,c,o,t,t,-)gridtitle(G(s)=1/(s2+s+1)的單位斜坡響應(yīng)曲線)xlabel(t （秒）)ylabel(輸入和輸出) 2021-7-6P60-57第八節(jié) 用MATLAB進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析六、系統(tǒng)時域響應(yīng)的求取 利用MATLAB語言的residue()函數(shù)命令，可以比較方便地求取線性時域響應(yīng)解析解 例313 試求下列系統(tǒng)的階躍輸入響應(yīng)2450351024247)()(23423ssssssssRsCnum=172424;den=110355024;r,p,k=residue(num,den,0)程序執(zhí)行后得到如下結(jié)果r=-1.00002.0000-1.0000-1.00001.0000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.00000k=階躍輸入響應(yīng)為：12)(234tttteeeety2021-7-6P60-58第八節(jié) 用MATLAB進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析例314 試求下列系統(tǒng)的階躍輸入響應(yīng)18181123)()(234ssssssRsC解：matlab程序：num=13;den=1211