專題幾何最值問題解法探討

1、專題：幾何最值問題解法探討錦元數(shù)學工作室編輯在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長 度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有:（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的A .運+1B .75】三邊關(guān)系）求最值；（2）應用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4） 應用二次函數(shù)求最值；（5）應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其 解法。一、應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關(guān)系）求最值: 典型例題：例1.如圖，/ M0N=9，矩形A

2、BCD的頂點A、B分別在邊0M , ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊0M上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2 , BC=1 , 運動過程中，點 D到點0的最大距離為【答案】【考點】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB的中點E，連接0E、DE、0D,/ 0DC 0E+DE ,當0、D、E三點共線時，點 D到點0的距離最大,1此時， AB=2 , BC=1 , 0E=AE= AB=1。2DE= = JaD2 +Ae2 =2 +12 =72, 0D的最大值為：J2 +1。故選A。例2.在銳角三角形 ABC中，BC=4J2 , /

3、ABC=45 , BD平分/ ABC , M、N分別是BD、BC上的動點，貝U CM+MN的最小值是【分析】如圖，在BA上截取BE=BN，連接EM。Ccm?！敬鸢浮?5兀?！究键c】【分析】圓周長、圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)。如圖，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面111高組成直角三角形。由周長公式，底面圓周長為4Jicm ,高為333兀cm，根據(jù)勾股定理，得斜線長為 5兀cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線(B)(A)【答案】4。【考點】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳 角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。/ ABC的平分線交

4、AC于點D , / EBM= / NBM。在 AME 與 AMN 中， BE=BN , / EBM= / NBM , BM=BM , BME BMN (SAS)。/ ME=MN。二 CM+MN=CM+MHE又 CM+MN有最小值，.當 CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。/ BC= 4血,/ ABC=45 , CE 的最小值為 42 sin450=4。 CM+MN 的最小值是 4。例3.如圖，圓柱底面半徑為 2cm，高為9icm，點a、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為最短為15兀cm。例4.在ABC中，AB = 5,

5、AC = 3, AD是BC邊上的中線，則 AD的取值范圍是【答案】1V AD 4?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系。【分析】延長AD至E,使DE=AD，連接CE.根據(jù)SAS證明 ABDECD,得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解:延長AD至E,使DE=AD，連接CE。/ BD=CD , / ADB= / EDC , AD=DE , ABD ECD (SAS)。/ CE=AB 。在 ACE 中，CE-AC AE CE+ AC，即 2 2AD 8。 I AD 7，即BP的最小值是24 o例2.如圖，菱形ABCD中, AB=2,/ A=120，點P, Q, K分別為線段BC C

6、D BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【C . 2 D . 73 + 1A.【答案】【考點】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治?(1)若點P, Q固定，此時點K的位置：如圖，作點 P關(guān)于BD的對稱點Pi,連接PiQ交BD于點Ko由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得PiKi = P Ki, PiK= PK o由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P1K + QK P1Q= P1K1 + Q K1= P K1 + Q K1。此時的Ki就是使PK+QK最小的位置。(2)點P, Q變動，

7、根據(jù)菱形的性質(zhì)，點 P關(guān)于BD的對稱點Pi在AB上，即不論點P在BC上任一點，點Pi總在AB上。因此，根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當PiQ 丄 AB時PiQ最短。過點 A 作 AQi 丄 DC 于點 Qi。/ A=120 , / DA Q i=30 又 AD=AB=2 , P1Q=AQ 1=AD cos300=2 ”逅=応。3綜上所述，P K+QK的最小值為J3。故選B。例3.已知梯形ABCD , AD / BC , AB 丄 BC ,AD = 1, AB = 2,BC = 3,112問題1 :如圖1, P為AB邊上的一點，以PD, PC為邊作平行四邊形PCQD，請

8、問對角線PQ,DC的長能否相等，為什么?問題2 :如圖2,若P為AB邊上一點，以PD, PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題3:若P為AB邊上任意一點，延長 PD到E,使DE = PD,再以PE, PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€ PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題4:如圖3,若P為DC邊上任意一點，延長 PA到E,使AE = nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形 PBQE，請?zhí)骄繉蔷€ PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值,如果不存在，

9、請說明理由.【答案】解：問題1:對角線PQ與DC不可能相等。理由如下:四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線 PQ、DC相等，則四邊形 PCQD是矩形,/ DPC = 90 AD = 1, AB = 2, BC = 3,.DC = 22。設 PB = X,貝U AP = 2 x,X2 2x +3= 0,/= ( 2)2 4X1X3= 8V 0，方程無解。不存在PB= x，使/ DPC = 90 A對角線 PQ與DC不可能相等。問題2:存在。理由如下:如圖2,在平行四邊形 PCQD中，設對角線 PQ與DC相交于點G,則G是DC的中點。過點Q作QH丄BC,交BC的延長線于 H。/ AD / BC,

10、/ ADC =/ DCH ,即/ ADP+ / P DG=/ DCQ + / QCH。/ PD / CQ , / PDC = / DCQ。/ ADP = / QCH。又 PD= CQ, Rt ADP 也Rt HCQ (AAS )。 AD = HC。/AD = 1, BC = 3,A BH = 4,當PQ丄AB時，PQ的長最小，即為4。問題3:存在。理由如下:如圖3,設PQ與DC相交于點 G,PE/CQ,PD=DE，- DC=|Q G是DC上一定點。作QH丄BC,交BC的延長線于H ,AD同理可證/ ADP = / QCH , Rt ADP s Rt HCQ o CH CQPD/ AD = 1,

11、A CH = 2 o BH = BG + CH = 3 + 2 = 5。當PQ丄AB時，PQ的長最小，即為 5。問題4:如圖3,設PQ與AB相交于點G, PE/ BQ , AE = nPA, PA=A=。BQ BG n+1 G是DC上一定點。作QH / PE,交CB的延長線于 H，過點 C作CK丄CD，交QH的延長線于K。/ AD / BC, AB 丄 BC ,/ D = / QHC，/ DAP + / PAG = / QBH +/ QBG = 90C/ PAG=/ QBG ,在 Rt DPC 中，PD2+PC2= DC2,!卩 x2+32 + (2 x)2 + 12= 8,化簡得AD PA

12、1/QBH = / PADo ADP BHQ , =BH BQ n+1AD = 1， BH = n+ 1CH = BH + BC = 3 + n+ 1 = n+ 4。過點D作DM丄BC于M ,則四邊形 ABND是矩形。BM = AD = 1, DM = AB = 2。. CM = BC BM = 3 1 = 2= DM。/ DCM = 45 / KCH = 45 CK = CH?cos45=(n + 4),【考點】和性質(zhì),【分析】當PQ丄CD時，PQ的長最小，最小值為乎(n + 4)。反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)

13、，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。問題1:四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線 PQ、DC相等，則四邊形 PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設PB = X,可得方程 X2+ 32+ (2-X)2+ 1 = 8,由判別式 0,可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ, DC的長不可能相等。問題2:在平行四邊形PCQD中，設對角線 PQ與DC相交于點G,可得G是DC的中點，過點Q作QH丄BC,交BC的延長線于 H ,易證得RtA ADP也Rt HCQ ,即可求得BH=4,則可得當PQ丄AB時，PQ的長最小，即為4。問題3:設PQ與DC相交于點G, PE / CQ , PD= DE，可得DG = -PDGC

14、CQ1=-，易證得2Rt ADP s Rt HCQ，繼而求得 BH的長，即可求得答案。問題4:作QH / PE,交CB的延長線于 H ,過點C作CK丄CD ,交QH的延長線于 K ,ad pa 1易證得BTBT而e ADP心BHQ，又由/ DCB =45 ，可得 CKH是等腰直角三角形，繼而可求得 CK的值，即可求得答案。例4.如圖，點A的坐標為（-1 ,0），點B在直線y =x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為【A. (0, 0)JJo工1)C.(,221B.(-2-一)2D.點A的坐標為5 0）心%。4尹尊段AB最短時，點B的坐標次（甘巧）a故選氏【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)，垂段最短的性質(zhì)

15、，等腰直角三角形的判定和性質(zhì) 【分析】如圖，過點A作AB-丄0已垂定洵點.B；過B作 肌丄梵軸，垂定為C由垂線段最短可知，當B與點B重合時AB最短口T點B在直線L上運動仏知加是等膊直三fi形. 48為等腹直角三角形.皿標為（-丁 -BC邊上運例5.如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點，點 E、F分別在AC動（點E不與點A、C重合），且保持 AE=CF連接DE DF、EF.在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論:DFE是等腰直角三角形; 四邊形CEDF不可能為正方形; 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化; 點C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【A.

16、1個B. 2個【答案】【考點】【分析】D. 4個C. 3個全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。連接CD（如圖1 ）。/ ABC是等腰直角三角形，/ DCB# A=45 , CD=AD=DB/AE=CF 二 ADEACDF( SAS。 ED=DF / CDF= EDA1/ ADEk EDC=90 , / EDC# CDF= EDF=90。 DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。 當E、F分別為AC BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于-BCo2四邊形CEDF是平行四邊形。又 E、F分別為AC BC中點，AC=BC 四邊形 CEDF是菱形。又/C=90，四

17、邊形 CEDF是正方形。故此結(jié)論錯誤。如圖2，分別過點 D,作DMLAC DNLBC于點 M N,由，知四邊形 CMDN是正方形， DM=DJN由，知 DFE是等腰直角三角形， DE=DF Rt ADERt CDF( HL)。由割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDNT積。四邊形CEDF勺面積不隨點 E位置的改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯誤。由， DEF是等腰直角三角形， DE= J2EFo當DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值2 J5 o此時點C到線段EF的最大距離為近。故此結(jié)論正確。故正確的有2個：。故選 Bo圖圖圉第一步：如圖，在線段 AD上任意取一點E,沿EB ,EC剪下

18、一個三角形紙片 EBC（余例6.如圖，長方形紙片 ABCD中，AB=8cm , AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖:下部分不再使用）;第二步：如圖，沿三角形 EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段 GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;第三步：如圖，將 MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180 使線段GB與GE重 合，將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為cm,最大值為 _cm.【答案】20;

19、12+4J13?！究键c】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形中位線定理?！痉治觥慨嫵龅谌郊羝粗蟮乃倪呅蜯NiNkM的示意圖，如答圖1所示。圖中，NN2=EN+EN=NB+NC=BCEfBC)其周長為MM=MG+GM+MH2HI=2 (GM+MHI =2GH=BC(三角形中位線定理)。又M1M/N1N2，二四邊形 MNN2M是一個平行四邊形,2NiN2+2MNi=2BC+2MNJ-/ BC=6為定值，四邊形的周長取決于MN的大小。如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。過G H點作BC邊的平行線，分別交 AB CD于 P點、Q點，則四邊形一個矩形，這個矩形是矩形ABCD勺一半。是線段PQ

20、上的任意一點，N是線段BC上的任意一點,PBCQ是P根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與 BC平行線之間的距離,小值為4;而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即JpB2 + BC2+62 = 2*13。四邊形 MINN2M 的周長=2BC+2MN=12+2MN 四邊形 MN1N2M周長的最小值為 12+2X 4=20;最大值為 12+2X 2/13=12+/13 。例7.如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點，點 E、F分別在 AC BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF連接DE DF、EF.在此運動變化的過程中,有下列結(jié)論:DFE是等腰直角三

21、角形;四邊形CEDF不可能為正方形; 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化; 點C到線段EF的最大距離為 其中正確結(jié)論的個數(shù)是【A.【答案】【考點】【分析】1個 B. 2個C. 3個D. 4個全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。連接CD（如圖1 ）。 ABC是等腰直角三角形，/ DCB# A=45 , CD=AD=DB/AE=CF 二 ADEACDF( SAS。 ED=DF / CDF= EDA/ ADEk EDC=90 , / EDC# CDF= EDF=90。 DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當E、F分別為AC BC中點時，由三角形中位線定理

22、,1DE平行且等于丄BC2四邊形CEDF是平行四邊形。又 E、F分別為AC BC中點，AC=BC；四邊形 CEDF是菱形。又/C=90，四邊形 CEDF是正方形。故此結(jié)論錯誤。如圖2，分別過點 D,作DMLAC DNLBC,于點 M, N,由，知四邊形 CMDNi正方形， DM=DJN由，知 DFE是等腰直角三角形， DE=DF Rt ADERt CDF( HL)。由割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDNT積。四邊形CEDF的面積不隨點 E位置的改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯誤。由， DEF是等腰直角三角形， DE= JJeF。當DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值22。此時點

23、C到線段EF的最大距離為寸2。故此結(jié)論正確。AB=2匹,D是線段BC上的一個動點，以則線段EF長度的最小值為故正確的有2個：。故選 B。例 8.如圖， ABC 中，/ BAC=60 , / ABC=45 ,AD為直徑畫O0分別交AB AC于E, F,連接EF,【答案】品?！究键c】 垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊 角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質(zhì)可知，當 AD為 ABC的邊BC上的高時，直徑 AD最短，此時線段 EF=2EH=20E?sin / EOH=20E?sin60，當半徑 0E 最短時，EF 最短。如圖，連接 0E, OF,過0點作0H丄E

24、F,垂足為H。在 Rt ADB中，/ ABC=45 , AD=BD=2即此時圓的直徑為1由圓周角定理可知/ EOH= / EOF= BAC=60 ,2在 Rt EOH中，EH=OE?sir EOH=K 至=至2 2由垂徑定理可知 EF=2EH3 O例9.如圖所示，在菱形 ABCD中, AB=4,/ BAD=120 , AEF為正三角形，點 E、F分別在菱形的邊BC. CD上滑動，且 E、F不與B. C. D重合.(1)證明不論 E、F在BC CD上如何滑動，總有 BE=CF(2)當點E、F在BC. CD上滑動時，分別探討四邊形 AECFnCEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變

25、化，求出最大(或最小)值.【答案】 解：(1)證明：如圖，連接 AC四邊形 ABCD為菱形，/ BAD=120 ,/ BAE+Z EAC=60 , / FAC+Z EAC=60 ,:丄 BAE= FAC/ BAD=120 , / ABF=60。 ABC和 ACD為等邊三角形。./ ACF=60 , AC=AB ./ ABEM AFC在 ABE 和 ACF 中，/ BAE=/ FAC AB=AC / ABE= AFC :. ABEAACF( ASA。- BE=CFDAE最短.(2) 四邊形AECF的面積不變， CEF的面積發(fā)生變化。理由如下:由(1)得 ABEA ACF 貝U Smbe=&acf

26、。 S 四邊形 aec=Saaec+Sacf=Saaec+S4abE=Saabc，是定值。作AHL BC于H點，貝U BH=21 1四邊形AECF 噸BC =2 BC AH =2BC-討 *3。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BG垂直時，邊故 AEF的面積會隨著 AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小, 又SaCEFS四邊形AECL SAEF,則此時 CEF的面積就會最大.S CEF=S 四邊形 AECF SaaEF = 4V3-1 ”273。 CEF的面積的最大值是 73?！究键c】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂

27、直線段的性質(zhì)?！痉治觥?1)先求證AB=AC進而求證 ABC ACD為等邊三角形，得/ ACF =60, AC=AB從而求證 ABEA ACF即可求得 BE=CF(2)由 ABEAACF 可得 SmbefSmcf,故根據(jù) S 四邊形 aecF=Saeg+Sac=Saaec+SabE=Sabc即可得四邊形 AECF的面積是定值。當正三角形 AEF的邊AE與BG垂直時，邊 AE最短. AEF的面積會隨著 AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形 AEF的面積會最小，根據(jù) Sme=S四邊形AEC Saef，則 CEF的面積就會最大。例10.在銳角 ABC中，AB=4, BC=5,/ ACB=45，

28、將 ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到 AiBG.(1)如圖1，當點G在線段CA的延長線上時，求/ CCiAi的度數(shù);(2)如圖2，連接AA, CG.若 ABA的面積為4,求 CBG的面積;(3) 如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在 ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點 P的對應點是點Pi,求線段EP長度的最大值與最小值.C1/ CCB=/CiCB=45。/ CCAi=/ CCB+/AiCB=45 +45 =90。(2)v由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得： ABCA 1 BC, BA=BA, BC=BC,/ ABC=A iBC。- BA =BAi，/ ABC+/ AB/142+ 142

29、= 14寸2。例6.閱讀材料:例：說明代數(shù)式Jx2 +1 +J(x -3)2 + 4的幾何意義，并求它的最小值.解：Jx2 +1 + J(x -3)2 +4 = J(x -0)2 +12 + J(x -3)2 +22，如圖，建立平面直角坐標系,點P( x,0)是x軸上一點，則J(X -0)2 +12可以看成點P與點A (0, 1)的距離，J(x-3)2+22可以看成點P與點B (3, 2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和,它的最小值就是 PA+ PB的最小值.設點A關(guān)于x軸的對稱點為 A,則PA= PA,因此，求PA+PB的最小值，只需求 PA+PB的最小值，而點A、B間

30、的直線段距離最短，所以 PA+PB的最小值為線段 AB的長度為此,構(gòu)造直角三角形 A CB因為A C=3 CB=3，所以A B=3/2，即原式的最小值為 32。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題:(1)代數(shù)式(1,1）、點J（X _1）2 +1 + J（X 2）2 +9的值可以看成平面直角坐標系中點P （x , 0）的距離之和.（填寫點B的坐標）與點A代數(shù)式【答案】解:(1) (2, 3)。(2) 10?！究键c】坐標與圖形性質(zhì)，軸對稱（最短路線問題）。【分析】(1)原式化為 J(x 1)2 +12 +J(x 2)2 +32 的形式,與點A代數(shù)式*（x -1）2 +1 +J（x -2）2+9的值可以

31、看成平面直角坐標系中點P( x,0)(1, 1)、點B （2, 3）的距離之和。(2) v原式化為 J(x -0)2 +72 + J(x -6)2 +12 的形式,所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P （x , 0）與點7）、點B ( 6, 1)的距離之和。如圖所示：設點 A關(guān)于x軸的對稱點為 A,則PA= PA ,求PA+PB的最小值，只需求 PA + PB的最小值，而點 A、間的直線段距離最短。 PA+ PB的最小值為線段 AB的長度。/ A ( 0, 7) , B (6, 1), A ( 0, - 7), A C=6 BC=8。- AB = Jac2 +BC2 = 762 +82=

32、10。例7.在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題。Jx2 +49 +Jx2 -12x +37 的最小值為1泵站修在管道如圖（1）,要在燃氣管道I上修建一個泵站，分別向 A、B兩鎮(zhèn)供氣.的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?l上找?guī)讉€點試一試，能你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?1)聰明的小華通過獨立思考， 很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道I看成一條直線(圖(2),問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線 I上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的:作點B關(guān)于直線I的對稱點B.連接AB交直線I于點P,則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖

33、在 ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點,BC=6 , BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P,使PDE得周長最小.(1)在圖中作出點 P (保留作圖痕跡，不寫作法)(2)請直接寫出 PDE周長的最小值:【答案】解：(1 )作D點關(guān)于BC的對稱點D,連接DE與BC交于點P, P點即為所求。(2) 8.【考點】軸對稱(最短路線問題)，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥糠Q點D,連接DE與BC交于點P, P點即為所求。(1)根據(jù)提供材料 DE不變，只要求出 DP+PE的最小值即可，作 D點關(guān)于BC的對(2)利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案:點D、E分別

34、是AB、AC邊的中點， DE為ABC中位線。 BC=6 , BC 邊上的高為 4,.DE=3 , DD =4 DEDE2 +DD232 +42 =5。 PDE周長的最小值為：DE+D E=3 + 5=8。練習題:1.如圖,已知點 A(1 , 1)、B(3 , 2)，且P為x軸上一動點，則 ABP的周長的最小值為r11上必切冋I I I!_ _L_1_2.如圖,在平面直角坐標系中,有 A(1,2) , B(3 , 3)兩點，現(xiàn)另取一點 C(a, 1),當 a=_時，AO BC的值最小.73-42J-012343.去冬今春，濟寧市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座

35、水泵站，分別向河的同一側(cè)張村 A和李村B送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋 O為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系(如圖)。兩村的坐標分別為 A (2, 3), B (12, 7)。(1)若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠的地方可使所用輸水管道最短?(2)水泵站建在距離大橋 0多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等?SBS A 亠421*Hr 1111 r I1”245 SlOlZ7/km/km4.如圖，正方形 ABCD的邊長是4,/ DAC的平分線交DC于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，貝U DQ+PQ的最小值【點E是BC中點，點F是邊CD上的5.如圖，在矩形 ABCD中，AB =