9.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、亮劍精神亮劍精神 江湖上只有兩種人：江湖上只有兩種人： 不是準(zhǔn)備上路，就是已經(jīng)在路上不是準(zhǔn)備上路，就是已經(jīng)在路上! ! 我還年輕，我渴望上路我還年輕，我渴望上路! ! 凱魯亞克凱魯亞克在路上在路上第九章、無窮級數(shù)理論 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是作為工具，可以無窮級數(shù)是作為工具，可以表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)值計算常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 冪級數(shù)冪級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù)（交錯級數(shù)）一般項(xiàng)級數(shù)（交錯級數(shù)）常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三

2、、級數(shù)收斂的必要條件 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9.1節(jié)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個和逼近于圓的面積 A .0a1a2ana設(shè) a0 表示,時n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例2. 小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會在某時刻停止運(yùn)動? 說明道理.由自由落體運(yùn)動方程2g21ts 知g2st 則小球運(yùn)動的時間為1tT 22t32tg

3、21 2122)2(1 212g12 63. 2( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時間, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義： 給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數(shù)， 其中第 n 項(xiàng)nu叫做級數(shù)的一般項(xiàng),級數(shù)的前 n 項(xiàng)和nkknuS1稱為級數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和和, 記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nnuS當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng).,lim不存在若nnS則稱無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 .顯然0li

4、mnnr機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1時，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級數(shù)發(fā)散 .其和為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2). 若,1q,1時當(dāng)qanSn因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時當(dāng)qaaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時, 等比級數(shù)收斂 ;1q時, 等比級數(shù)發(fā)散

5、 .則,級數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和23ln34lnnn1ln機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和機(jī)動 目錄 上頁

6、下頁 返回 結(jié)束 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令,1nkknuS則nkknuc1,nScnnlimSc這說明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證: 令,1nkknuS,1nkknv則)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂

7、, 其和為.S機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng), 不會影響級數(shù)的斂散性.證證: 將級數(shù)1nnu的前 k 項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時由于n數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為.kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的

8、情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級所得新級數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證證: 設(shè)收斂級數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級數(shù)部分和序列 ),2,1(nSn的一個子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.判斷級數(shù)的斂散性:14114

9、1131131121121解解: 考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .nn121機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù),1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見: 若級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時當(dāng)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注

10、意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 則nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級數(shù)(1) 發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消,41limnnS這說明原級數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12