常微分方程學(xué)習(xí)輔

1、常 微 分 方 程 學(xué) 習(xí) 輔 導(dǎo)（一）初等積分法微分方程的古典內(nèi)容主要是求方程的解，用積分的方法求常微分方程的解，叫做初等積分法，而可用積分法求解的方程叫做可積類型。初等積分法一直被認(rèn)為是常微分方程中非常有用的基本解題方法之一，也是初學(xué)者必須接受的最基本訓(xùn)練之一。在本章學(xué)習(xí)過程中，讀者首先要學(xué)會準(zhǔn)確判斷方程的可積類型，然后要熟練掌握針對不同可積類型的 5 種解法，最后在學(xué)習(xí)指導(dǎo)下的幫助下，總結(jié)一下初等積分法中的各種解法與特點與內(nèi)在聯(lián)系，以提高自己的解題能力與技巧。主要內(nèi)容回顧一、主要概念微分方程 ：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式。常微分方程：未知函數(shù)是一個變元的函數(shù)，由這樣的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

2、構(gòu)成的等式。偏微分方程：未知函數(shù)是兩個或兩個以上變元的函數(shù)，由這樣的未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式。微分方程的階：在微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階。微分方程的解：一個函數(shù)代入微分方程中去，使得它成為關(guān)于自變量的恒等式，稱此函數(shù)為微分方程的解。通解： n 階方程，其解中含有n 個（獨立的）任意常數(shù)，此解稱為方程的通解。由隱式表出的通解稱為通積分。特解：給通解中的任意常數(shù)以定值，所得到的解稱為特解，由隱式給出的特解稱為特積分。初值問題 ：求微分方程滿足初值條件的解的問題。變量可分離方程：形如 dy f(x)g(y)或 mi(x)ni(y)dx m2(x)n2(y)dy的方程稱為變

3、量可分離 dx方程。齊次微分方程：形如dy(-y)的方程，稱為齊次微分方程。dx x線性微分方程： 未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程。一階線性微分方程：一階線性微分方程的形式是業(yè) p(x)y f (x)如果f(x) 0,即dy p(x) y 0dxdx稱為一階線性齊次方程。如果f (x)不恒為零，則稱dy p(x)yf (x)為一階線性非齊次方dx程。伯努利(bernoulli )方程：形如 包 p(x)y f (x)yn (n 0,1)的方程，稱為伯 dx努利方程。全微分方程：如果微分形式的一階方程 m (x, y)dx n (x, y)dy 0的左端恰好是一個二元函數(shù)u(x, y)的全

4、微分，即du (x, y) m (x, y)dx n (x, y)dy則稱m(x,y)dx n(x, y)dy 0是全微分方程或恰當(dāng)方程，而函數(shù) u(x,y)稱為微分式du (x, y) m (x, y)dx n (x, y)dy 的原函數(shù)。積分因子：假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)(x,y) 0,使方程(x,y)m (x,y)dx (x, y)dy 0成為全微分方程，我們就把 (x,y)稱為方程m (x, y)dx n(x, y)dy 0 的一個積分因子。二、主要定理定理1.1假如u(x, y)是微分du(x, y) m (x,y)dx n(x, y)dy的一個原函數(shù)，則全微分方程(5)的通積分為

5、 u (x, y) c ,其中c為任意常數(shù)。定理1.2 如果方程 m (x, y)dx n(x, y)dy 0中的m (x, y), n (x, y)在矩形區(qū)域r： x x0a,y y0 b上連續(xù)可微，則方程(5)是全微分方程的充要條件是：在 r上有mnyx三、基本解法初等積分法中有5中基本解法，每中解法所對應(yīng)的可積類型可歸納如下:對于導(dǎo)數(shù)已解出的一階方程y f (x, y),有可分離變量方程 包 f(x)g(y)dxm1(x)n1(y)dx m2(x)n2(y)dy 0分離變量法齊次方程g() dx xdy一 ax “y 。、f ()dxa?x b2y c2常數(shù)變易法線性方程yp(x)y f

6、 (x)伯努利方程 yp(x)y f (x)yn (n 0,1)積分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。對于導(dǎo)數(shù)未解出的一階方程f(x,y,y) 0 有類型i,不含x或y的方程參數(shù)法f(x,y) 0,f(y,y) 0類型ii,可解出y或x的方程y f(x, y),x f (y,y)對于高階方程有(k) (k 1)(n)f (x, y ,y , , y ) 0降階法f (y, y , y ) 0恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程教學(xué)基本要求1 了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程方程類型的判斷方法。2了解變量分離方程的類型，熟練掌握變量分離方程解法。3了解齊次方程的類型，熟練掌握齊次方程(即第一

7、類可化為變量可分離的方程)的解法。4了解一階線性方程的類型，熟練掌握常數(shù)變易法，掌握伯努利方程的解法。5 了解全微分方程的類型及積分因子概念， 熟練掌握全微分方程及簡單積分因子的求法。6 了解一階隱式微分方程的可積類型，掌握隱式方程類型i 、 ii 的參數(shù)解法7了解可降階的高階方程的可積類型，掌握高階方程的三種降階法。8學(xué)會對應(yīng)用問題建立常微分方程的一般步驟。重難點解析7 初等積分法簡史1676 年 leibniz 在 newton 的信中，首次提出了“微分方程”這個名稱。 leibniz 在 1691年給出了一階方程的變量分離法和齊次方程解法，一階線性方程的解法和bernlulli 方程的解

8、法也是由 leibniz 分別在 1694年和 1695年完成的。 17331735 年， euler 提出了全微分方程 (恰當(dāng)方程)和積分因子的解法以及通解、特解等概念。 1694 年， leibniz 和 john bernoulli 提出了等角軌跡問題，而等角軌跡與正交軌線的解法是1715 年由 newton 完成的。這樣，求解一階方程的主要初等積分法到 1715 年都已清楚了。2關(guān)于通解的定義在微分方程發(fā)展的早期，通解是作為一個方程全部解的共同表達(dá)式加以理解的，后來，在具體應(yīng)用上遇到許多困難：首先，判斷一個解的表達(dá)式是否已表示了全部解是困難的；其次，這樣的表達(dá)式是否一定存在也是一個問題

9、。1. 1節(jié)所給出的通解的定義，其主要功用在于，如果通解表達(dá)式存在，由于通解中的任 意常數(shù)是獨立的，這樣對于一定范圍內(nèi)給出的初值條件，可以確定出初值問題解。從這個意 義上講，通解包含了一個方程的全部解。3 .通解是否一定包含了全部解不是。例如，1.1節(jié)中的方程dy y有通解y sin(arcsin x c),另外該方程還 dx 1 x有常數(shù)解y1不包含在通解中。4 .是否任何一個方程都有通解22不te。例如，萬程 y y 0 ,只有解y 0 ,而無含任息獨立常數(shù)的通解。5.常微分方程與其它方程的關(guān)系我們學(xué)過的方程主要有兩類方程。第一類是代數(shù)方程和超越方程。例如，在方程x3 2x 1 0x2 x

10、 1 x2 x 1中，對未知數(shù)x所施加的是代數(shù)運算，因此，它們都是在方程sin x cosx 1ex x2 2x 1中，出現(xiàn)了對未知量 x的超越方程。第二類是隱函數(shù)方程，例如 x2 y2 1 (設(shè)x是自變量，則y y(x)是未知函數(shù))，兩類方程都是要求解，然而，第一類方程的解是求未知量的某些個特定值，第二類方程是要求由方程所確定的某個函數(shù)。一般地，第二類方程統(tǒng)稱為函數(shù)方程。從這個問題上講, 常微分方程是最要的函數(shù)方程的一種。標(biāo)6. 一階顯式方程初等積分法的內(nèi)在關(guān)系用積分因子的觀點可以把1.2節(jié)1.5節(jié)所介紹的五種可積類型方程（變量可分離方程, 齊次方程，線性方程，伯努利方程幾及全微分方程）如圖

11、所示:一階顯式方程可積類型關(guān)系圖7 .積分因子是否唯一不是。例如，考慮方程 ydx xdy 0,顯然它不是全微分方程。但是，因為d(y) xydx xdyx ydx xdyd(-) 2y yx d (in )yydx xdyxyx ydx xdyx y ydx xdyd(arctan ) 2- d(ln ) 2-y x y. x y x y1111所以，_,二, z12,21 2都是此方程的積分因子。x y x y x y般地，設(shè) (x, y)是方程m (x, y)dx n (x, y)dy 0的一個積分因子，于是存在二元函數(shù)u u(x, y),有du mdx ndy?，F(xiàn)對于u的任一連續(xù)函數(shù) f (u),由于f(u)(mdx ndy) f (u)( mdxndy) f (u)du df(u)其中f(u)是f (u)的一個原函數(shù)，可見f(u)也是方程m(x, y)dx n(x,y)dy 0的積分因子，因而方程 m(x,y)dx n (x, y)dy 0有無窮多個積分因子