三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計

1、自動化學(xué)院初始條件：某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示:R(s)Ks(s 2)(s 4)C(s)精品文檔你我共享課程設(shè)計任務(wù)書學(xué)生姓名：專業(yè)班級：指導(dǎo)教師： _ 工作單位:題目：三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計要求完成的主要任務(wù):（包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）1、 試?yán)L制隨根軌跡2、 當(dāng)-6為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時， K=?3、 求取主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時的K值（以下取這個值）4、 分別求取位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)及輸入信號為r（t） =1（t） 2t - t2單位階躍信號、斜坡信號及單位加速度信號時的穩(wěn)態(tài)誤差5、 用Matlab繪制單位階躍相應(yīng)曲線6、 繪制

2、Bode圖和Nyquist曲線，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加1個非線性環(huán)節(jié)，如圖2所示，其中e。=0.7,M -1.7，試求取非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并根據(jù)負(fù)倒描述函數(shù)和Nyquist圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性& 認(rèn)真撰寫課程設(shè)計報告。時間安排:任務(wù)時間（天）審題、查閱相關(guān)資料1分析、計算1.5編寫程序1撰寫報告1論文答辯0.5R(s)圖2指導(dǎo)教師簽名：系主任（或責(zé)任教師）簽名:目錄摘要. 11設(shè)計意義及要求. 21.1設(shè)計意義. 21.2設(shè)計要求. 22設(shè)計過程. 32.1繪制根軌跡. 32.1.1理論計算. 32.1.2 MATLAB繪制根軌跡 . 42.2極點-6時的

3、K值的求取 . 42.3主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時的K值求取 . 52.4穩(wěn)態(tài)誤差. 62.4.1系統(tǒng)的誤差系數(shù)分析 . 62.4.2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 . 62.5用MATLAB繪制單位階躍響應(yīng)曲線 . 62.6繪制BODE圖和NYQUIST曲線，求取幅值裕度和相角裕度 . 72.6.1繪制 Bode圖. 72.6.2繪制 Nyquist 曲線 . 82.6.3幅值裕度和相角裕度 . 92.7系統(tǒng)加入非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析 . 92.7.1非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)的求取 . 102.7.2負(fù)倒描述函數(shù)的求取 . 112.7.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)及原理 . 122.7.4系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷 . 13結(jié)束語

4、. 14參考文獻(xiàn). 15摘要自動控制原理是為了培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)籌運用自動控制原理課程中所學(xué)的理論知識， 掌握反饋控制系統(tǒng)的基本理論和基本方法， 對工程實際系統(tǒng)進(jìn)行完整的全面的分析和綜 合而開設(shè)的重要教學(xué)環(huán)節(jié)，此次課程設(shè)計可以鍛煉學(xué)生的動手能力和解決問題的原因， 把課本知識運用的實際中， 同時也以更為自主創(chuàng)新的形式檢驗了學(xué)生對所學(xué)知識的掌握 程度。三階系統(tǒng)是以三級微分方程為運動方程的控制系統(tǒng)。在控制工程中，三階系統(tǒng)非常 普遍，其動態(tài)性能指標(biāo)的確定是比較復(fù)雜。在工程上常用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念對三級系 統(tǒng)進(jìn)行分析，或直接用 MATLAB軟件進(jìn)行高級系統(tǒng)分析。在課程設(shè)計中，我們不僅要掌 握用MATLAB制閉環(huán)

5、系統(tǒng)根軌跡和和系統(tǒng)響應(yīng)曲線，用系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點來估算三 階系統(tǒng)的動態(tài)性能，還要掌握 BODES和Nyquist曲線的繪制。以及在比較點與開環(huán)傳 遞函數(shù)之間加一個非線性環(huán)節(jié)后用負(fù)倒描述函數(shù)和 Nyquist 曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)鍵字 ： 三階系統(tǒng) 閉環(huán)主導(dǎo)極點 MATLABR(s)C(s)s(s +2)(s +4)ML .|e0C(s)1設(shè)計意義及要求1.1設(shè)計意義本次設(shè)計主要是讓學(xué)生將自動控制原理中所學(xué)的理論知識與實踐結(jié)合起來，對工程實際系統(tǒng)進(jìn)行完整全面分析和綜合，掌握利用 MATLAB對控制理論進(jìn)行分析，研究和仿真 技能，提高分析問題和解決問題的能力。本次的課程設(shè)計是對我們平時學(xué)習(xí)的理

6、論知識 的一個檢驗，也是讓我們更加熟練的運用 MATLAB軟件，更好的解決自動控制方面的 一些問題。1.2設(shè)計要求初始條件：某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示:要求完成的主要任務(wù)：(包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求)1、試?yán)L制隨根軌跡 2、 當(dāng)-6為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時，K=?3、 求取主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時的K值(以下取這個值)4、 分別求取位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)及輸入信號為 r(t)=1(t)，2t t2單位階躍信號、斜坡信號及單位加速度信號時的穩(wěn)態(tài) 誤差5、用Matlab繪制單位階躍相應(yīng)曲線6、 繪制Bode圖和Nyquist曲線，求取幅值裕度和

7、相角裕度7、 如在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加1個非線性環(huán)節(jié)，如圖2所示，其中e0 =0.7,M =1.7，試求取非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并根據(jù)負(fù)倒描述函數(shù) 和Nyquist圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性&認(rèn)真撰寫課程設(shè)計報告。25 Kssss)(s+4)2設(shè)計過程2.1 繪制根軌跡某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示:R(s)KC(s)- * -1_* -s(s+2)(s+4)2.1.1理論計算（1） 根軌跡的起點和終點。根軌跡起于開環(huán)極點（包括無限極點），終于開環(huán)零點（包括無限零點）。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可得：系統(tǒng)的開環(huán)極點分別為0、-2、-4，開環(huán)零點為無限遠(yuǎn)。（2）根軌跡的分支數(shù)。n=3, m=0所以分支數(shù)

8、為3。且它們是連續(xù)的并且對稱于實 軸。（3）根軌跡在實軸上的分布。實軸上的某一個區(qū)域，若其右邊開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。因此實軸上（-：，-4、-2,0必為根軌跡。nmPjZji q. . j0 _ 2_ 4（4） 根軌跡的漸進(jìn)線。漸近線與實軸的交點 J二 -=0 = -2，即n -m3與實軸的交點為（-2,j0 ）,與實軸的交角為也丄 ，二n m333（k=0，1, 2）。11 1（5） 確定根軌跡的分離點。分離點的方程為：-0，因此可以求得分d d +2 d +4離點d=-0.85,d=-3.15 （不合題意，舍去）（6） 根軌跡與虛軸的交點。由開環(huán)傳遞函數(shù)寫出系統(tǒng)

9、的閉環(huán)特征方程式為s3 6s2 8s K =0將s二代入上式，可得實部方程為-6, 2 0，虛部方程為- j 3 8p -0 解得，了=2.2, k =48。所以與虛軸的交點為0, j2：2,0,-j2.2。vyaga-62.1.2 MATLAB繪制根軌跡MATLAB為繪制根軌跡編程如下:num=48;den=1 6 8 0;rlocus( nu m,de n);繪制出的根軌跡如圖1所示：圖1閉環(huán)根軌跡根據(jù)理論計算和MATLAB制的根軌跡示意圖，可以知道理論計算和MATLA繪制的 根軌跡完全相符。從而可以知道所繪制的根軌跡是正確的。2.2極點-6時的K值的求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：32s 6s

10、 8s K =0將閉環(huán)極點s=-6代入方程式中，從而可以得到k=48。所以當(dāng)-6為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極 點時，k等于48-810861)420-2-4Root Locus-12 -10-8-6-4-2-1Real Axis (seconds )024301)合門0cescRTXA vya9a 卩-30-25l lL LL L-ftt2.3主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時的K值求取當(dāng)主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時，先做出.=0.7的等阻尼比線，使這條直線與負(fù)實軸方 向的夾角為2 =cos二cos0.7 = 45.6，此直線的斜率為k=-tan45.6 =-1.02,在MATLAB中畫出此直線，并能找到與根軌跡的交

11、點Si即是滿足.=0.7的閉環(huán)主導(dǎo)極點之一。編寫的此程序為：k=-1.02;x=-25:5;y=k*x;Plot(x,y);hold onnum=48;den=1 6 8 0;rlocus( nu m,de n);由圖2我們可以得出S1=-0.753+j0.768，由根軌跡的對稱性，可求得另一個極點為S2=-0.753-j0.768,由幅值條件可知，閉環(huán)極點S1對應(yīng)的根軌跡的增益為K= IsS1+2| s+4|=|-0.753+j0.768|1.247+j0.768|3.247+j0.768|=5.27Root Locus20100-10-20-20-15-10-5-1Real Axis (s

12、econds )05Kv=lim sG(s) H (s) = lim s(5.27s 2)(s 4)-0.665.27s(s 2)( s 4)=0;當(dāng)輸入為2當(dāng)輸入為3（t） =2t時，穩(wěn)態(tài)誤差為（t） =t2時，穩(wěn)態(tài)誤差為ess2 = -3.03;Kv 0.66ess3Kaess = e ss1+ ess2 + e ss3 =-經(jīng)驗證，Si和S2滿足主導(dǎo)極點的條件，另一極點實部的模比主導(dǎo)極點實部的模大三倍以 上，不是主導(dǎo)極點，所以該系統(tǒng)可近似成一個由主導(dǎo)極點構(gòu)成的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：2門（S）2 n 2姿2116s +2cons+cOn（ sSi）（ sS2） s +1.51s + 1.16

13、對應(yīng)的系統(tǒng)的開環(huán)增益為 K r = K/8=0.66。2.4穩(wěn)態(tài)誤差2.4.1系統(tǒng)的誤差系數(shù)分析位置誤差系數(shù)5 27 Kp = lim G（s）H （s）二 lim7s_0 s（s+2）（s + 4）速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)2.4.2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析1 1當(dāng)輸入為r1（t） =1（t）時，穩(wěn)態(tài)誤差為=苗 ；則當(dāng)輸入為r（t）=1（t） +2（t） +3（t）時，總的穩(wěn)態(tài)誤差為2.5用Matlab繪制單位階躍響應(yīng)曲線系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為叭s）=s3+6s2+8s + 5.27其分子系數(shù)為5.27，分母系數(shù)分別為1，6，8，5.272s G(s)H(s) =li2利用MATLAB?序可編以下程

14、序：num=5.27;den=1 6 8 5.27;step( nu m,de n)在MATLAB?序中輸入此程序，運行后得到單位階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。圖3單位階躍響應(yīng)曲線1.40 1 2345Tim e (seconds)67891.21Step Resp onse8 8 6 6 4 4 2 2 a a a a a a a aG(s)二5.27s3 6S2 8S2.6繪制Bode圖和Nyquist曲線，求取幅值裕度和相角裕度2.6.1 繪制Bode圖系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其分子系數(shù)為5.27，分母系數(shù)分別為1，6，8，0 利用MATLAB?序可編以下程序:num=5.27; den=1 6

15、8 0;bode( nu m,de n)在MATLAB?序中輸入此程序，運行后得到 Bode圖如圖4所示。ilgaMLyea/kesanp0-50-100-150-90-135-180-225-270-2 -110 1011010010Frequency (rad/s)2圖4 Bode圖262繪制Nyquist曲線系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為可得其分子系數(shù)其分子系數(shù)為編以下程序：num= 5.27;den=1 6 8 0;nyq uist (nu m,de n)在MATLAB?序中輸入此程序，5.27G(s) _ s3 6S2 8S5.27，分母系數(shù)分別為1， 6, 8， 0利用MATLA程序可運行后

16、得到如圖5所示。其中Nyquist圖與實軸的交點：將代入開環(huán)傳遞函數(shù)中，令虛部等于0,得到灼=2.83，此時曲線與負(fù)實軸的交點為(-0.11 , j0 )。- -6 6- -8 8Nyquist Diagram263幅值裕度和相角裕度系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=s3 +6S2 +8S可得其分子系數(shù)其分子系數(shù)為5.27，分母系數(shù)分別為1, 6, 8, 0 利用MATLAB?序可編以下程序：num= 5.27;den=1 6 8 0;mag,phase,w=bode(num,den)；gm,pm=margi n( mag,phase,w)在MATLAB程序中輸入此程序并運行后得到結(jié)果，相角裕度和

17、幅值裕度分別 為 pm =63.8621 gm =9. 10 8。2.7系統(tǒng)加入非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10Real Axis圖5 Nyquist曲線O O系，通過作圖法獲得y(t)如圖6所示。R(s)廠eoC(s)2.7.1非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)的求取由下圖可知非線性環(huán)節(jié)為有死區(qū)的繼電特性，其描述函數(shù)的推導(dǎo)過程為：首先從死區(qū)與滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)分析。注意到滯環(huán)與輸入信號及其變化率的關(guān)輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為0,叮y(t)二 M ,-；20,2 _ t - :圖6死區(qū)滯環(huán)繼電特性和正弦響應(yīng)曲線圖6中，由于非線性特性導(dǎo)致y(t)

18、產(chǎn)生不同線性變化的區(qū)間端點為二 arcsin h*25 K*皆護2)2+4)2兀B1y(t)sin td t，兀02兀Ay(t)cos td t兀w2尹2出2M IB1y(t )sin td tM sin td t :n n L0JI -1-12M1 -(, 二A . A取m=1得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為N(A)=2Mmh 2h 2)WAj2M! (m-1),A_ hr arcsinmhA由圖6可見，y(t)為奇對稱函數(shù)，而非奇函數(shù)，由式得到2 兀2 業(yè)2MhA = y(t) coscotdt = ( M cosotdcot =-(m1)n 0兀屮死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為根據(jù)已知條件可得h

19、 =0=0.7，M =1.7,代入上式中可得到此非線性系統(tǒng)的描述函數(shù):2.7.2負(fù)倒描述函數(shù)的求取由死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為N(A)=4AJ_,AhTA 、A 丿取u =匕，則AN (A)二 N (u)u 1 -u2,u 丄1uh+二 A(h 2N(Af1 -N(A)/M 1色 2 = 681 -I A丿0.7 Y對N(u)求導(dǎo)數(shù)22dN(u)一4M h1 u2 u4M 1-2udu-哺ci u-u2 一兀h右u2UmAM2負(fù)倒函數(shù)-1N(A)曲線如圖7所示1N(h)1N(：)=CO由極值條件的葺叭0得解又當(dāng)h：Am時，dN(U) 0 ； 當(dāng) A Am時，dN(叭：o,故Am為N(A)的極大值

20、點，極 dudu大值為N(AmHMh=1.55nh所以可得到負(fù)倒函數(shù)的極大值0.65N(Am)負(fù)倒函數(shù)的極小值1圖7系統(tǒng)的：G和- 丁A曲線2.7.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)及原理由于要求G(s)具有低通特性，故其極點均應(yīng)位于s的左半平面。當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為Im丄)I點不被G曲線包圍N(A)丿此時系統(tǒng)穩(wěn)定A將減小，并最終使A減綜上可得非線性環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：若飛曲線不包圍1N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)1 N(A)G(j )=01N(A)1 1 1在復(fù)平面上繪制飛曲線和一 N(A)曲線時，N(A)曲線上箭頭表示隨A增大，N(A) 的 變化方向。1若-G曲線和一 曲

21、線無交點，表明1 N(A)G(j H0無的正實數(shù)解。以下為兩種 GN(A)可能形式。1a. :G曲線包圍 一1曲線，對于非線性環(huán)節(jié)具有任一確定振幅 A的正弦輸入信號， N(A)1(-，j0 )點被-G曲線包圍，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定，A將增大，并最終使A增大到極N(A)限位置或使系統(tǒng)發(fā)生故障。1b. -G曲線不包圍 一1曲線，對于非線性環(huán)節(jié)的具有任一確定振幅的正弦信號，N(A)小為零或使非線性環(huán)節(jié)的輸入值為某定值，或位于該定值附近較小的范圍1穩(wěn)定；若：G曲線包圍-N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定2.7.4系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷根據(jù)原系統(tǒng)的Nyquist圖可知，圖像與實軸交于(-0.11，j0 )點，負(fù)倒函數(shù)的極大值1為-0.65，如圖7,此時:G曲線不包圍-曲線，所以非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。GN(A)纟士審五結(jié)束語通過這次自動控制原理課程設(shè)計，我掌