淺談?wù)?xiàng)級(jí)數(shù)與交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法畢業(yè)論文

1、淺談?wù)?xiàng)級(jí)數(shù)與交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法摘要：級(jí)數(shù)的斂散性在數(shù)學(xué)分析占有比較重要的版塊，判斷級(jí)數(shù)的斂散性問題常常被看作級(jí)數(shù)的首要問題。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別是一個(gè)重要而有趣的數(shù)學(xué)課題。本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，先對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各種重要的斂散性判別方法作簡單、系統(tǒng)的歸納，然后在已有判別方法的基礎(chǔ)上推廣了幾種新的判別方法，這些推廣的新的判別法降低了原判別法的使用要求，使其更具一般性，適應(yīng)性更廣。關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；斂散性on the positive series and alternating series criterion for convergence and divergenceabstr

2、act: convergence and divergence of series in mathematical analysis plays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. convergence and divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical top

3、ics. in this paper, based on the literature, the first of several series of various important criterion for convergence and divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new criter

4、ion criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.keywords: positive series; alternating series; convergence and divergence1 引言數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是伴隨著無窮級(jí)數(shù)的和而產(chǎn)生的一個(gè)問題，最初的問題可以追溯到公元前五世紀(jì)，而到了公元17、18世紀(jì)才有了真正的無窮級(jí)數(shù)的理論。英國數(shù)學(xué)家gregory j(1638-1675)給出了級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散兩個(gè)術(shù)語從而引發(fā)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性廣泛而深入的研究

5、，得到了一系列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法。因而，判斷級(jí)數(shù)的斂散性問題常常被看作級(jí)數(shù)的首要問題。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別是一個(gè)重要而有趣的數(shù)學(xué)課題，關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的判別盡管已有不少經(jīng)典性的判別方法，然而對(duì)級(jí)數(shù)斂散性判別的研究至今還在繼續(xù)與深入，并且獲得了一些新的進(jìn)展與發(fā)現(xiàn)。本文將在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各種重要的斂散性判別方法作簡單、系統(tǒng)的歸納，并在已有判別方法的基礎(chǔ)上推廣幾種新的判別方法。2正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)這樣的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性在級(jí)數(shù)收斂中占有極其重要的地位，常見的收斂方法有比較判別法、達(dá)朗貝爾判別法、柯西判別法、積分判別法等，這些判別方法對(duì)于判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性都很有效

6、，但它們的使用也受一定的條件限制，我們將在一般判別法基礎(chǔ)上改進(jìn)或推廣幾種新的判別方法。2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一般判別方法定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)，對(duì)一切正整數(shù)有。從應(yīng)用的角度，要想直接運(yùn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件去判別某一級(jí)數(shù)的收斂性又往往是十分困難的，因?yàn)樗蟮臈l件都是抽象而非具體的，這就還需要研究針對(duì)具體級(jí)數(shù)的具體判別法。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂或發(fā)散常?？梢酝ㄟ^跟另一已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)的對(duì)比來確定，把這一思想精確表達(dá)出來就是比較原則定理2（比較原則） 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正整數(shù),對(duì)一切都有則（i）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂； （ii）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)

7、數(shù)也發(fā)散。例1 考察的收斂性。解：由于當(dāng)時(shí)，有 因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故由定理1，級(jí)數(shù)也收斂。在實(shí)際應(yīng)用中，比較原則的下述極限形式通常更為方便。推論 設(shè) (1) (2) 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若則 （i）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)（1）（2）同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（ii）當(dāng)且級(jí)數(shù)（2）收斂時(shí)，級(jí)數(shù)（1）也收斂；（iii）當(dāng)且級(jí)數(shù)（2）發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)（1）也發(fā)散。例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解 因?yàn)楦鶕?jù)推論以及調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)也發(fā)散。根據(jù)比較原則，可以利用已知收斂或者發(fā)散級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象來判斷其他級(jí)數(shù)的斂散性。定理3（達(dá)朗貝爾判別法，或稱比式判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)（i）若對(duì)一切，成立不等式 則級(jí)數(shù)收斂

8、。 (ii) 若對(duì)一切，成立不等式 則級(jí)數(shù)發(fā)散。推論（比式判別法的極限形式） 若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則 (i)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(ii)當(dāng)或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例3 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解 由于根據(jù)推論級(jí)數(shù)是收斂的。比式判別法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象而得到的，但若，這時(shí)用比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷因?yàn)樗赡苁鞘諗康?，也可能是發(fā)散的。對(duì)于此種情況下的級(jí)數(shù)在后面將會(huì)有比式判別法的推廣。定理4（柯西判別法，或稱根式判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，(i)若對(duì)一切，成立不等式則稱級(jí)數(shù)收斂；(ii)若對(duì)一切，成立不等式則稱級(jí)數(shù)是發(fā)散。推論（根式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則 (i)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)

9、收斂；(ii)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例4 研究級(jí)數(shù)斂散性。解 由于所以級(jí)數(shù)是收斂的。比式判別法與根式判別法都是從形式上考察所論正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)或相鄰項(xiàng)的量值與變化趨勢，其本質(zhì)仍是把所給級(jí)數(shù)與某些典型而基本的收斂（發(fā)散）級(jí)數(shù)加以比較。定理5（積分判別法） 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或發(fā)散。例5 討論p級(jí)數(shù)的斂散性。解 由于函數(shù)，當(dāng)時(shí)在上是非負(fù)減函數(shù)，而反常積分在時(shí)收斂，在時(shí)發(fā)散，則由定理4得當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)得單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。2.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的幾種新的方法例6 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。解 應(yīng)用定理3的達(dá)

10、朗貝爾判別法：不能判別級(jí)數(shù)的斂散性。下面引入一種新的判別法：定理6（隔項(xiàng)比值法） 該正項(xiàng)級(jí)數(shù)： (1) 滿足：（1）單調(diào)遞減（2） 其中：，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)（1）收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)（1）發(fā)散，時(shí)，級(jí)(1)的斂散性不能判別。則用定理6來判別例6中級(jí)數(shù)的斂散性就簡單了許多，在例6中單調(diào)遞減，并且：應(yīng)用定理6就得出了收斂?？v觀正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的一般方法，常用的有達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法等，但有時(shí)候用此二法也不能判別其斂散性，如判定級(jí)數(shù)的斂散性，用達(dá)朗貝爾判別法知，此時(shí)達(dá)朗貝爾判別法失效，用上面的定理使得計(jì)算繁瑣，麻煩，除了可考慮用比較判別法外，我們還可以用一下得出的判別法，判定這類級(jí)數(shù)的斂散性。定理7

11、 令，當(dāng)充分大時(shí)，如果，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)充分大時(shí)，；則正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。證 （1）設(shè)當(dāng)充分大時(shí)，取，則有 而所以因?yàn)榧?jí)數(shù) 收斂，所以由級(jí)數(shù)的比較判別法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。（2）當(dāng)充分大時(shí)，由于單調(diào)趨于，所以，即。而級(jí)數(shù)發(fā)散，故由比較判別法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。定理8 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，記。若，則當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。證 若為有限常數(shù)，則對(duì)，當(dāng)足夠大時(shí)，所以(1)當(dāng)時(shí)，取，則得由定理7知，級(jí)數(shù) 收斂。(2)當(dāng)時(shí)，取，則得由定理7知，級(jí)數(shù) 發(fā)散，為無窮大時(shí)，顯然成立。例7 判定級(jí)數(shù)的斂散性。解 所以 從而 （洛比達(dá)法則）即，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。例8 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。解 所以 。從而原級(jí)數(shù)收斂。定理

12、9 設(shè)正數(shù)列單調(diào)遞減，若則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。證 記 ，由cauchy凝聚法可知與同斂散，而與同斂散，故與同斂散。令，就有再令即得證例 9 判別和的斂散性。解 對(duì) 有 故發(fā)散而對(duì)于 有故收斂。3交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符合正負(fù)相間，即： 則稱級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),交錯(cuò)級(jí)數(shù)時(shí)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中比較特殊的級(jí)數(shù)，關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性要比正項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜，下面將分三個(gè)部分介紹交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法。3.1 用絕對(duì)收斂性來判別定義 若通項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂；若收斂而發(fā)散，則稱為條件收斂例10 判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。解 因?yàn)槎諗?，由比較判別法可知，級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)收斂且絕對(duì)收斂。3.

13、2萊布尼茨判別法在交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判別中，萊布尼茨判別法使用起來非常方便。定理10（萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足下述兩個(gè)條件：（1）；（2）數(shù)列單調(diào)遞減。則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。例11 判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。解（1）， （2） 由萊布尼茨判別法，所給交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。例12 討論級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性和條件收斂性。解 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列遞減且趨于0，所以由萊布尼茨判別法知交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，又因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)于時(shí)收斂而于時(shí)發(fā)散，故知級(jí)數(shù)于時(shí)絕對(duì)收斂而于時(shí)條件收斂。3.3判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的一些其它方法定理11（阿貝爾判別法） 設(shè)級(jí)數(shù)滿足下列條件：(1)級(jí)數(shù)收斂；(2)數(shù)列單調(diào)有界。則級(jí)數(shù)收斂。例13 判定級(jí)數(shù)的斂散性。

14、解 由萊布尼茨判別法知級(jí)數(shù)收斂，因?yàn)檫f增有界，故由阿貝爾判別法知級(jí)數(shù)收斂，又因遞減有界，再由阿貝爾判別法知所論級(jí)數(shù)收斂。定理12（狄利克雷判別法）設(shè)級(jí)數(shù)滿足下列條件：(1)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界；(2)數(shù)列單調(diào)趨于0，則級(jí)數(shù)收斂。例14 討論級(jí)數(shù) 的絕對(duì)收斂性和條件收斂性。解 首先 ， 當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎?jí)數(shù)收斂，所以所論級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。其次，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減且趨于0.對(duì)任何，由三角公式有 即對(duì)任何，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界。從而由狄利克雷判別法知所論級(jí)數(shù)收斂。最后，由于，故由三角公式有待添加的隱藏文字內(nèi)容2像上段一樣地可以證明級(jí)數(shù)收斂，因?yàn)榧?jí)數(shù)于時(shí)發(fā)散，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，從而由比較判別法知也發(fā)散。綜上可知，

15、所論級(jí)數(shù)于時(shí)絕對(duì)收斂，于時(shí)條件收斂。定理13 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：（1）（2）則當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂。例15 判定級(jí)數(shù)的收斂性。解 而收斂，所以級(jí)數(shù)收斂。本文列舉了一些判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)與交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別的方法，解決了某些判別法失效時(shí)的斂散性判別問題，同時(shí)也簡化了一些題目的求解步驟，這是有利的方面；但是在判斷條件是否適合利用這些推廣的時(shí)候，會(huì)帶來一些繁瑣的計(jì)算和證明所以判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)與交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，要認(rèn)真分析題目，找出最簡潔、最適合的判別方法。 參考文獻(xiàn)1 華東大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）m.北京:高等教育出版社.2001.6.2 李成章,黃玉民.數(shù)學(xué)分析（上冊）m.北京

16、:科學(xué)出版社.2004.7.3 孫清華,孫昊.數(shù)學(xué)分析 內(nèi)容、方法與技巧（下）m.華中科技大學(xué)出版社. 2003.11.4 劉玉璉,傅沛仁,林玎,范德馨,劉寧.數(shù)學(xué)分析講義（下冊）m.北京:高等教育出版社.2003.6.5 裘兆泰,王承國,章仰文.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)m.北京:科學(xué)出版社.2004.1.6 宿小迪.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法研究j.山東教育學(xué)院學(xué)報(bào).1999（2）:72.7 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析m.北京:人民教育出版社.1978.8 洪勇.一個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別定理及應(yīng)用j.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào).2004（3）:243-247.9 胡洪萍.數(shù)列與級(jí)數(shù)斂散性判別定理j.西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào).2004（5）:26-29.10 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)m.北京:高等教育出版社.1996.11 楊鐘玄.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法及其聯(lián)系j.天水師專學(xué)報(bào).1993.3:80-83.12 鄧東臬、尹小玲.數(shù)學(xué)分析簡明教程m.北京:高等教育出版社.1999.13 石奇驃、常文翠.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的幾個(gè)新判別法j