幾何光學(xué)習(xí)題及解答

1、幾何光學(xué)習(xí)題及解答1 證明反射定律符合費(fèi)馬原理。證明：費(fèi)馬原理是光沿著光程為最小值、最大值或恒定值的路徑傳播。min. max 或恒值.，在介質(zhì)n與n的界面上，入射光 A遵守反射定律h經(jīng)0點到達(dá)B點，如果能證明從 A點到B點的所有光程中 AOB是最小光程，則說明反射定律 符合費(fèi)馬原理。設(shè)C點為介質(zhì)分界面上除 0點以外的其他任意一點，連接ACB并說明光程: ACB光程AOB由于 ACB與厶AOB在同一種介質(zhì)里，所以比較兩個光程的大小，實際上就是比較兩個路程ACB與 AOB的大小。從B點到分界面的垂線，垂足為】并延長BO至B ，使OB：_OB，連接OB，根 據(jù)幾何關(guān)系知OB =OB 再結(jié)合h 1,

2、又可證明/ AOB18O。，說明AOB三點在 一直線上，AOB 與ac和CB組成 ACB，其中AOB AC CB。又AOB AO OB 丄 AO OB = AOB,CB =CB.AOB AC CB 二 ACB即符合反射定律的光程 AOB是從a點到B點的所有光程中的極小值，說明反射定律符合費(fèi)2、根據(jù)費(fèi)馬原理可以導(dǎo)出在近軸光線條件下，從物點發(fā)出并會聚到像點的所有光線的光程 都相等由此導(dǎo)出薄透鏡的物象公式。證明：由 QBAFBA得：OFAQ=BOBQ=fs同理，得 OABA=f S ,BOBA=fs由費(fèi)馬定理：NQA+NA =“*結(jié)合以上各式得：(0A+0B)BA=1得證3. 眼睛E和物體PQ之間有

3、一塊折射率為 1.5的玻璃平板(見題3.3圖),平板的厚度d為30cm. 求物PQ的像 與物體PQ之間的距離 為多少？解：由題意知光線經(jīng)兩次折射后發(fā)生的軸向位移為：12pp =d(1 _ ) =30(1 _ ) =10cmn3，即像與物的距離為10cm3.眼睛E和物體PQ之間有一塊折射率為 1.5的玻璃平板(見題3.3圖),平板的厚度d為30cm. 求物PQ的像 與物體PQ之間的距離 為多少？解：由題意知光線經(jīng)兩次折射后發(fā)生的軸向位移為：12pp =d(1 _) =30(1) =10cmn3，即像與物的距離為10cmEn=11.6.計算(1)最小偏向角;(2)題3.3圖4. 玻璃棱鏡的折射棱角

4、A為60度,對某一波長的光其折射率為此時的入射角；(3)能使光線從A角兩側(cè)透過棱鏡的最小入射角丁 A A解：由最小偏向角定義得n=sin 2 /sin 2 ,得二0 =4616日0+A由幾何關(guān)系知，此時的入射角為：i=2=5 38，丄,1.6 當(dāng)在C處正好發(fā)生全反射時：i2 = sin -=38 41 ,i 2=A- i 2 =21 191i1= sin- (1.6sin21 19 )= 35 3471 min =353 4 7的光可以依次循著圖示的路徑傳播，出射光線為r.求證：如果刊，從而使任意一種波長5 .圖示一種恒偏向棱角鏡，它相當(dāng)于一個30度-60-90度棱鏡與一個45度-45度度棱鏡

5、按圖 示方式組合在一起白光沿i方向入射，我們旋轉(zhuǎn)這個棱鏡來改變r垂直（這就是恒偏向棱鏡名字的由來）.解：-sin 利=nsin ii1若 sin ”= 2 ,則 sin, = 2, ,=30i2=30。,而 sinsini26.高 5 cm并作光路圖.的物體距凹面鏡的焦距頂點 12cm ,凹面鏡的焦距是10cm,求像的位置及高度,1+丄解：=-10cm, s 二-12cm 又 s s丄一丄12 s 10，即 s= -60cm ,一一上IsS =-25cm即像在鏡前60cm處，像高為25cm求（1）此像的曲率半7 .個5 cm高的物體放在球面鏡前10cm處成1cm高的虛像.徑；（2）此鏡是凸面鏡

6、還是凹面鏡？解：由題知物體在球面鏡前成虛象，則其為反射延長線的交點,1+ F s r = 5cm 0 ，所以此鏡為凸面鏡。8.某觀察者通過一塊薄玻璃板去看凸面鏡中他自己的像. 他移動著玻璃板，使得在玻璃板 中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的像重合在一起， 若凸面鏡的焦距為10 cm ,眼睛距凸面鏡 頂點的距離靈40cm,問玻璃板觀察者眼睛的距離為多少 ？解：根據(jù)題意，由凸面鏡成像公式得:11+ss1 - 111. s 8cm f s 40 10g = 24cm凸透鏡物點與像點的距離 d=ss=48cm ,則玻璃距觀察者的距離為29物體位于凹面鏡軸線上焦點之外，在焦點與凹面鏡之間放一個與軸線垂直的兩

7、表面互相平行的玻璃板，其厚度為d1,折射率為n.試證明:放入該玻璃板后使像移動的距離與把凹面鏡向 物體移動d(n-1)/n的一段距離的效果相同。0 =d(1-，問這透明球體的解：證明：將玻璃板置于凹面鏡與焦點之間，玻璃折射成像，由三題結(jié)果得dln)，即題中所求。10. 欲使由無窮遠(yuǎn)發(fā)出的近軸光線通過透明球體并成像在右半球面的頂點處 折射率為多少？n nn-n解：設(shè)球面半徑為r,物距和相距分別為 s和s，由物像公式：s sS=二，s =2r,n=1,得 n=2.n n n - nI1-解： s s11. 有一折射率為1.5,半徑為4cm的玻璃球，物體在距球表面 6cm處求(1)物所在的像到球心

8、之間的距離；(2)像的橫向放大率.,n =1.5, n = 1, r 二 4cmr的玻璃球。對第一個球面,s 二-6 cm1.511.5 -1s -64s = -36cm11.511.5s2- 44-4s2 =11從物成的像到球心距離01 = S2 r = 15Cm亠 丁2 = nS =1.512. 一個折射率為1.53,直徑為20cm的玻璃球內(nèi)有兩個小氣泡看上去一個恰好在球心，另一個 從最近的方向看去，好像在表面與球心連線的中點.求兩氣泡的實際位置解：由球面鏡成像公式：s s，當(dāng)s =日時，s= r,氣泡在球心。當(dāng)s = 2時，s=6.05cm，氣泡在距球心 3.95 cm處。13直徑為1m

9、的球形魚缸的中心處有一條小魚，若玻璃缸壁的影響可忽略不計，求缸外觀察者 所看到的小魚的表觀位置和橫向放大率.n n _ n _ n解：由：s s r ，又s=r , s =r=15cm,即魚在原處。y 23 = y = s n =1.3314玻璃棒一端成半球形，其曲率半徑為2cm.將它水平地浸入折射率為 1.33的水中，沿著棒的 軸線離球面頂點8cm處的水中有一物體，利用計算和作圖法求像的位置及橫向放大率 ，并作光 路圖.n _n 二 n -n15 _ 133 二 1.5T.33解：s s rs -82s = -18cm一ns J.33 “18)2n s1.5 (-8),n-n=rnrn1.5

10、 23f二 17.65cmn n* 1.5-1.330.17nrn1.33 22.66f=-15.65cmn“ 一n1.5 -1.330.1710cm. 一物點在主軸上.設(shè)玻璃的折射率為解：(！)對于凸透鏡：由薄透鏡焦距公式得:=-39.12 ,由透鏡成像公式:T=1，s=20cm,得 s =-40.92(2)對于凹透鏡：由薄透鏡焦距公式得：f= -f=39.12由透鏡成像公式:s s ， s=20cm，得s =-13.2(3)作圖:y(1)15有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面，其曲率半徑為距離20cm處,若物和鏡均浸在水中，分別用作圖法和計算法求像點的位置1.5,水的折射率為1.

11、33.16. 凸透鏡在空氣中的焦距為40cm,在水中時焦距為 136.8cm,問此透鏡的折射率為多少(水的折射率為1.33)?若將此透鏡置于 CS2中(CS2的折射率為1.62),其焦距又為多少？解：由題意知凸透鏡的焦距為：又在同一介質(zhì)中n 1 =門2 ,)1 =-(-1)(丄 -1)丄-丄當(dāng)在空氣中時m ,仏=40,在水中時n2 = 1.33, f 亍 136.8140=(7 -1)t11136.8八(徨兩式相比，可n=1.54，將其代入上式得f n n r2因為對同一凸透鏡而言n r2是一常數(shù),11 54“二=(仝1)0.0463t= 0.0463 .在 CS 中即 n = 1.62時，f

12、 1.62,得f = -437.4cm.即透鏡的折射率為 1.54,在CS2中的焦距為-437.4cm17. 兩片極薄的表玻璃，曲率半徑分別為 20cm和25cm.將兩片的邊緣粘起來，形成內(nèi)含空氣的雙凸透鏡，把它置于水中，求其焦距為多少？解：由薄透鏡焦距公式:其中 n=1,n1=n2=1.33, r1 =20cm,r2=25cm,得=-44.8cm18. 會聚透鏡和發(fā)散透鏡的焦距都是10cm,求(1)與主軸成30度的一束平行光入射到每個透鏡上，像點在何處?(2)在每個透鏡左方的焦平面上離主軸1cm處各置一發(fā)光點，成像在何處？作出光路圖.匸亠1I*9Fo解：由 s s , s =-,對于會聚透鏡

13、：s x= f =10cm, s y= s xtg30 =5.8cm 或者s y= s xtg(-30 )=-5.8cm ,像點的坐標(biāo)為(10,|5.8|)同理，對于發(fā)散透鏡：像點的坐標(biāo)為(-10，|5.8|)=1(2)由S S , s =f ,對于會聚透鏡：S x=:,即經(jīng)透鏡后為一平行光束。y s, sy y對于發(fā)散透鏡：s x=-5cm,又 y S ,s =0.5cm,s y= 一 y考慮到物點的另一種放置，s =-0.5cm，像點的坐標(biāo)為(-5,|0.5|)19. 題3.19圖(b)所示的MM分別為一薄透鏡的主光軸,S為光源,S為像.用作圖法求透鏡中心和透鏡焦點的位置題3.19圖解：對

14、于圖(a)由于S的像點在MM 下方，且其為放大的，故推知此薄透鏡為凸透鏡。作圖 步驟為：連接SS交MM于。點，。點即為光心，作SB MM連接bs交于F，F(xiàn) 即為像方焦點,作AS /MM 連接AS交MM 于F , F即為物方焦點，然后據(jù)此作圖即可。對于圖(b)由于S的像點在MM 上方，且其為縮小的，故推知此薄透鏡為凹透鏡。作圖步驟與上述類似。20. 比累對切透鏡是把一塊凸透鏡沿直徑方向剖開成兩半組成，兩半塊透鏡垂直光軸拉開一點距離,用擋光的光闌K擋住其間的空隙（見題3.20圖）,這時可在屏上觀察到干涉條紋已知點光源P與透鏡相距300cm，透鏡的焦距f =50cn兩半透鏡拉開的距離t=1mm,光屏

15、與透鏡相距l(xiāng)=450cm.用波長為632.8nm的氦氖激光作為光源，求干涉條紋的間距題3.20圖解：分成兩半透鏡，對稱軸仍是PKO,P 1 ,P2構(gòu)成兩相干光源，相距為d, ,s = f s（ f +s）=60cm, r0=L- S =390cm,上半透鏡相當(dāng)于 L的主軸與光心上移 0.5mm, 下半透鏡相當(dāng)于 L的主軸與光心下移 0.5mm,d=2 y +t=0.12cm.y _0 /d=2.056mm.21. 把焦距為10cm的會聚透鏡的中央部分C切去,C的寬度為1cm,把余下的兩部分粘起來（題3.21圖）.如在其對稱軸上距透鏡5cm處置一點光源，試求像的位置.A部分解：該透鏡是由 A、B

16、兩部分膠合而成，這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上, 的主軸在系統(tǒng)中心線下方 0.5cm處，B部分的主軸系統(tǒng)中心線上方 0.5cm處,1由透鏡成像公式：S S ，經(jīng)A成像得S=-10cm，經(jīng)B成像的s =-10cm，這兩個像點在垂直于主軸的方向上的距離為3cm.題3.21圖21.把焦距為10cm的會聚透鏡的中央部分C切去,C的寬度為1cm,把余下的兩部分粘起來（題3.21圖）如在其對稱軸上距透鏡 5cm處置一點光源，試求像的位置.A部分解：該透鏡是由 A、B兩部分膠合而成，這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上, 的主軸在系統(tǒng)中心線下方 0.5cm處，B部分的主軸系統(tǒng)中心線上方 0.5cm處,

17、一 +_由透鏡成像公式：S S=1，經(jīng)A成像得s=-10cm，經(jīng)B成像的s =-10cm，這兩個像點在垂直于主軸的方向上的距離為3cm.AB題3.21圖23.題3.23圖所示的是一個等邊直角棱鏡和兩個透鏡所組成的光學(xué)系統(tǒng)棱鏡折射率為1.5,凸透鏡的焦距為 20cm,凹透鏡的焦距離為10cm，兩透鏡間距為5cm,凸透鏡距棱鏡邊的距離為10cm.求圖中長度為1 cm的物體所成像的位置和大小.(提示:物經(jīng)棱鏡成像在透鏡軸上，相 當(dāng)于經(jīng)過一塊厚 6cm的平板玻璃，可利用例3.1的結(jié)果求棱鏡所成像的位置.).題3.23圖解：因為n=1.5,其全反射角為，42 45。所以，物體經(jīng)球面上反射，為厚度為6cm

18、的透鏡，物體將在厚透鏡左側(cè)成虛像，平行平板的軸向位移二l=l(1-1n)凸透鏡的物距為s1=-20,f1=-20.所以s2 = S =:由物像公式知成像的位置及大小為25和-10。24顯微鏡由焦距為1cm的物鏡和焦距=為3cm的目鏡組成，物鏡與物鏡之間的距離為20cm,問物體放在何處時才能使最后的像成在距離眼睛25cm處？1 1 1 -1 1 1= T =解：在目鏡下由物像公式得勺勺 f2 即25S2375S222 cm十20*，65創(chuàng)22111221,3651 二 S1cm在物鏡下由高斯公式得s1 sf1即365 s343即物體在物鏡下放 1.06cm處。25. 題3.25圖中L為薄透鏡，水

19、平橫線MM為主軸。ABC為已知的一條穿過這個透鏡的路徑, 用作圖法求出任一條光線DE穿過透鏡后的路徑。打B題 3.25為DE的出射光線F26. 題3.26圖中MM是一厚透鏡的主軸,H、H是透鏡的主平面，S是點光源，S 是點光源 的像。試用作圖法求任一物點S的像S2的位置題3.26圖一27. 雙凸透鏡的折射率為1.5,| r1 | =10cm,|r2| =15cm, r2的一面鍍銀，污點 P在透鏡的前主軸上 20cm處，求最后像的位置并作出光路圖。n n _ n-n解：經(jīng)第一界面折射成像：s s r , n =1.5 ,n= 1, r = r i=iOcm,Si=-20cm所以s：，即折射光為平

20、行光束經(jīng)第二界面反射成像： s s r , s2=sn ： , r = r 2=-15cm ,所以 s；=-7.5cmn nn-n再經(jīng)第一界面折射成像：s s r , n=1 , n =1.5, r = r 1=10cm, S3=s；=-7.5cm所以s 3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方4cm處。28. 實物與光屏間的距離為 I ,在中間某一位置放一凸透鏡，可使實物的像清晰地投于屏上，將移過距離d之后，屏上又出現(xiàn)一個清晰地像。(1)試計算兩個像的大小；(2)證明透鏡的焦距(12 - d2 /4l) ;(3)l不能小于透鏡焦距的4倍。解: (1)令 s2=x，則 S一(d x),s2=I

21、 X ,第一次成像:1 1+s s(d x)l -(d x)第二次成像:(1)s1 1_ + _ = s(I -X)x f = I由（2）得(3)I dI d則 S1= 2,s1= 2S2= 2s2= 2y；s2 i - d1= y1si = I - d-2= y2S22 *2T=(i d)，又2啟）故兩次成像大小之比為：1 = I dI2 -d2將（3）代入（4）得 f= 4I(6)(3)由(6)得 d-4f)(7)所以I不能小于透鏡焦距的 4倍。由_ 1f 得 s - -120mm（虛）29. 厚透鏡的焦距 f 為60mm其兩焦點間的距離為 125m口若（1）物點置于光軸上物方 焦點左方2

22、0 mm處；（2）物點置于光軸上物方焦點右方20mm處；（30）虛物落在光軸上像方主點右方20mm處,文在這三種情況下像的位置各在何處？像的性質(zhì)各如何？并作光路 圖。1 1=解：由厚透鏡的物象公式的高斯公式j(luò) s f111-80s = 120mm（實像）60 s =15mm（實像）1 1 1=20mm s s f30. 一個會舉薄透鏡和一個發(fā)散薄透鏡互相接觸而成一復(fù)合光具組，當(dāng)物距為-80cm時,實像距鏡6 0cm，若會聚透鏡的焦距為1 0cm，問發(fā)散透鏡的焦距是多少？丄1 解：；s sff =f s= 60mms =80mm，”符合光學(xué)的焦距為1 = 34.29cm111 d=r ff1f2

23、f1f 2及 d=0, f 2=-14.1cm31雙凸透鏡兩個球面表面的曲率半徑分別為10 0 mm和2 0 0 mm，沿軸厚度為10mm,玻璃的折射率為15,試求其焦點主點和節(jié)點的位置，并會圖表示之。；=(n -1)11t(n )frir2 n ri r2解：fr1r2nr1r2 ，代入數(shù)據(jù)得 f=134.86mm f = -f-134.86mm1n -11 n -1fl =r5得 f 1 =200mmf 2 = r,得 f 2=-400mmtf,tfP :.p=n f 2=20247mmn f 1 =-4.495mmx =題 3.3132.兩個焦距均為2cm的雙凸透鏡，其間距離為4/3cm

24、，組成一個目鏡，求其焦點和 節(jié)點的位置，如他們的焦距分別為6cm和2cm,間距為4cm,再求其焦點和節(jié)點的位置。ff杯dcmff解:和“2 =20cm3空氣中f2f2-2 (-2)22-43f = 1.5cm41.5 - 3 = 1cm-2x = f = 1.5cmfdfi34x 232-1cmx 二 f = -1.5cm當(dāng) 仇=6cm, f2 = 2cm, f2 二-2cm, d = 4cm人篤6漢2f -3仏 - f2 -d 6 2-4f = - f 二-3cmf d3cp = -4 = 6 cmf2-2f d3 4cp -2 cmf1633 一焦距為2 0cm的薄凸透鏡與一焦距為20cm

25、的薄凹透鏡相距6 cm,求：（1）復(fù)合光具組焦點及主平面的位置。（2）當(dāng)物體放在凸透鏡前30cm時像的位置和放大率。解析：仇=20cm f -20cmd =6cms = -30cm空氣中 丘=-f1 20cm f2 = - f 2二 -20cm - f? - d20 2020-20-6=66.67cm = F1F2 =6cmfi f?20 (-20) 2-6-3p處20cm0.2m6f2d 匚 -0.2m2x323(-0.1)=-0.117m-0.1-0.117-0.1-1.17 s - -30cm s = s( - p - -30 -(-20) - -10cm - -0.1m34 一薄透鏡的

26、主平面H和 H ，節(jié)平面K和K 和交平面F和F位置如圖所示，有一發(fā)光點P在物方主平面左邊2 0CM處，試作光路途并計算像的位置。題3.34圖解:f = -5cm, f =6cm, s 二-20cmx = s f = 20 (-5) = 15cm _. xx = ff” fr 5%x2cmx -15s=f x=62 = 8 cm35. 一條光線射到一折射率為n的一球行水滴，求：（1）后表面的入射角a,問這條光線將被全反射還是部分發(fā)射？ （2）偏轉(zhuǎn)角 -;（3 ）產(chǎn)生最小偏轉(zhuǎn)角的入射角。解：（1）由折射定律nsin =sinsin ： =sin -1 ( n )又.臨界角c= sin -1( n

27、),即題 3.35故是部分反射。（2 ）由圖知:=（：-： ） +寸，即寸=2】-:，而：=二-2 寸，所以:=二-4+2 ：d、 4d：d：12(3). d =- dx =0,即 d ：2 ,si n而：=sin -1 ( n ), cos-； = 3(n 2-1)36.將燈絲至于空心玻璃球的中心，玻璃球的內(nèi)外直徑分別為8cm和9cm .求：（1） 從球外觀察到的燈絲像的位置（設(shè)玻璃折射率n=1.5）;（2）玻璃溫度計管子的內(nèi)外直徑分別為1mm和3mm ，求掛于直徑100mm得盛水玻璃燒杯的正中，從較遠(yuǎn)處通過燒杯壁觀察時，溫度計的內(nèi)外直徑為 多少？n n _ n _n 解：.s s r（1

28、=1.5 , n =1, si=ri=4cm ,/ si= 4cm 即在球心處 n=1.5 ,n =1, S2=4.5cm/ s2= 4.5cm 即像仍在球心處（2 n=1.5 ,n =1, r 1=4cm , S1=3.85cm/瞄=3.896cm n=1.5 ,n =1, S2=4.396cm/ s 2= 4.348cmd=0.304cm=3mm n=1.33 ,n= 1.5 , r 1=1.5mm ,s=1mm / s= 0.96mmS2=49.46mmS2= 4.348cm/ d（內(nèi)）=1.5mm n=i , n= 1.33 , r i=50mm ,s=48.5mm/ s；= 48.1mm/ d（夕卜）=4mm37 .如題所示為梅斯林分波面干涉實驗裝置。其中1、2分別為兩塊半透鏡LHL2的光心，S、1 2、S1 s共軸，且 S1S2-l 0（1）（2）定性討論LL2兩端的光束到達(dá)P點的光程差=1 -（S1P S2P）與軸線垂直的光屏上接收到的干涉圖樣的特點。證明：物象具有等光程性,-sl 1pS1= = SO1O2S2S1匚 sl 1S2=匚 SO1O2S2（1 =1.5 , n =1, si=ri=4cm ,/ si= 4cm 即在球心處（1 =1.5 , n =1, si=ri=4cm ,/ si= 4cm 即在球心處題 3.37二 si ip=二 si ipsi-