幾何與線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)20140123

1、習(xí)題一 幾何向量及其運(yùn)算姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1 下列等式何時(shí)成立：1）， 當(dāng) ；2），當(dāng) ；3）， 當(dāng) ；4），（為非零向量），當(dāng) ；5）， 當(dāng) 。2指出下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)：1）是 ； 2）不平行，是 ；3）共面，是 ；4）不共面，是 。3在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是 ；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 ；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是 ；在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是 ；在軸上的投影點(diǎn)是 ；到平面的距離是 ；到原點(diǎn)的距離是 ；到軸的距離是 。二、設(shè)為線段上任一點(diǎn)，證明存在數(shù)，使得。三、已知向量，證明共面。 四、判斷題1若，且，則。 （ ）2共面的充分必要條件是。 （ ）3。 （ ）4 。

2、（ ）五、填空題1已知向量，則1）= ；2） = ；3）= 。2已知，其中，則三角形的面積 。六、已知 。問1）為何值時(shí)，與平行； 2）為何值時(shí)，與垂直。 七、已知與垂直，且，計(jì)算：(提示: )1）； 2）； 3）。 習(xí)題二 向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)計(jì)算姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1平行于軸的向量一般表示式是 。2向量，它們的夾角 。3向量，當(dāng)= 與= 時(shí)，與平行。4設(shè)三力，作用于一質(zhì)點(diǎn)，使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移向量，則合力所做的功 。5三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，其面積 。6和向量都垂直的單位向量是 。二、已知向量，求的方向余弦及與平行的單位向量。三、證明向量在上的投影向量為，并求向量在向量上的投影向量。四、向量

3、是否共面？若不共面，試計(jì)算以這三個(gè)向量為棱所作的平行六面體體積。五、設(shè)向量共面，且求。習(xí)題三 平面與直線 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1 平行于平面且與此平面的距離為3的平面方程是 。2 如果平面與平行，則 ；若垂直，則 。3 過三點(diǎn)的平面方程是 。4過軸且垂直于平面的平面方程是 。5點(diǎn)A(2,3,1)到平面的距離是 。6通過點(diǎn)和且平行于軸的平面方程為 。7過點(diǎn)的直線方程是 。8過點(diǎn)且垂直于直線的平面方程是 。9過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程是 ，點(diǎn)在此平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是 ；點(diǎn)關(guān)于此平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是 。二、求滿足下列條件的平面方程1過原點(diǎn)引平面的垂線，垂足是點(diǎn)的平面方程。2通過點(diǎn)且平行于向量的

4、平面方程。三、求過點(diǎn)且通過直線的平面方程。四、求點(diǎn)到直線的距離。五、求兩異面直線之間的距離。習(xí)題四 線性方程組姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、用加減消元法求解下列線性方程組 1) .2) 二、對(duì)非齊次線性方程組，當(dāng)a，b為何值時(shí)無解？何值時(shí)有無窮多解？三、液態(tài)苯在空氣中可以燃燒。如果將一個(gè)冷的物體直接放在燃燒的苯上部，則水蒸氣就會(huì)在物體上凝結(jié)，同時(shí)煙灰（碳）也會(huì)在物體上沉積.這個(gè)化學(xué)反應(yīng)的方程式為 求變量以配平該方程。習(xí)題五 矩陣的運(yùn)算姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、 填空題1設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，。2的充分必要條件是 。3設(shè)，則 ； 時(shí)，。4。5；。二、設(shè)，計(jì)算：；及（為正整數(shù)）。（提示：用矩陣乘法的結(jié)合律）三、

5、設(shè)驗(yàn)證是否成立？四、若A, B滿足，則稱B和A可交換。設(shè)求所有與可交換的矩陣。五、設(shè)，記為方陣的多項(xiàng)式，即，若，計(jì)算。六、把向量方程改寫成方程組的形式和矩陣乘積的形式。習(xí)題六 對(duì)稱矩陣與分塊矩陣姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、1）設(shè)、為階方陣，且為對(duì)稱矩陣，證明也是對(duì)稱矩陣。2）設(shè)、均為階對(duì)稱矩陣，證明是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是。二、設(shè)為維列向量，且，設(shè)證明是對(duì)稱矩陣且 三、設(shè)，計(jì)算。四、設(shè)，按照不同的分塊方式計(jì)算乘積：（1）不分塊，按列分塊；（2）按行分塊，不分塊；（3）按行分塊，按列分塊。 習(xí)題七 行列式的性質(zhì)與計(jì)算姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、 填空題1設(shè)，則 。2設(shè)，則 ， 。二、選擇題1設(shè)為階方陣，若

6、經(jīng)過若干次初等變換變成矩陣，則下面的結(jié)論正確的是（ ）。； 若則必有； 若則必有。2若A，B為同階方陣，則有（ ） ； ； ； 。三、計(jì)算下列行列式：（1） （2）(3) （提示：按一行或一列展開，求遞推公式）四、用數(shù)學(xué)歸納法證明：習(xí)題八 逆矩陣（一） 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填充題1設(shè)為3階方陣，且，則 ， ， ， ； 。2設(shè)，則；=。3設(shè)，則。4如分別是階和階可逆矩陣，為陣，則。5設(shè)A，且，則。二、選擇題1設(shè)階方陣滿足，則下面的結(jié)論正確的是（ ）。；。2 設(shè)為階方陣，則 （ ）若都可逆，則必可逆； 若都不可逆，則必不可逆；若可逆，則都可逆； 若不可逆，則都不可逆。3已知為n階方陣，若有n階方

7、陣B使 則（ ）（A）B為單位矩陣；（B）B為零方陣；（D）不一定。4若為同階方陣，且滿足，則有（）（A）或； （B）|A|0或|B|0；（C）； （D）A與B均可逆；三、求下列矩陣的逆矩陣（1） （2）四、解矩陣方程 。 習(xí)題九 逆矩陣(二)姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、設(shè)矩陣滿足如下關(guān)系式，其中，求矩陣。二、設(shè)階矩陣和滿足，證明1）為可逆矩陣；2）。三、設(shè)n階方陣A滿足方程，求。四、用克萊姆法則求解線性方程組習(xí)題十 秩與初等變換 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、選擇題1若是階可逆矩陣，則（ ）（A）若，則 （B）總可以經(jīng)過初等行變換化。（C）對(duì)矩陣實(shí)施若干次初等變換，當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，相應(yīng)地正變?yōu)?。（D）對(duì)矩陣實(shí)施

8、若干次初等變換，當(dāng)變成時(shí)，相應(yīng)地變?yōu)椤?設(shè)， ，則恒有（ ）（A） （B） （C） （D）3設(shè)均為n階非零矩陣，且，則和 滿足（ ）。（A）必有一個(gè)等于零； （B）都等于n；（C）一個(gè)小于n，一個(gè)等于n； （D）都小于n。4設(shè)階矩陣的秩為r，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）。（A）有r階子式非零； （B）的所有r+1階子式為零；（C）沒有r階子式為零； （D）。5方程組必（ ）。（A）無解； （B）僅有零解；（C）有非零解； （D）以上都不對(duì)。二、填空題1。2。3如，其中，則= 。4設(shè)為3階方陣，且滿足，則 。5已知矩陣 的秩是1，則a = 。三、用初等變換求矩陣的秩并給出A的一個(gè)最高階非零子式。四、

9、用行初等變換求矩陣的逆矩陣 習(xí)題十一 方程組解的判斷 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1設(shè)是矩陣，則齊次線性方程組只有零解的充要條件是 ，有非零解的充要條件是 。2設(shè)是矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是 ，有無窮多解的充要條件是 ，無解的充要條件是 。3. 設(shè)A為n階方陣，則非齊次方程組有唯一解的充要條件為|A| ；齊次線性方程組有非零解的充要條件為|A| ；只有零解的充要條件為|A| 。二、求解線性方程組三、取何值時(shí)，方程組有非零解。四、設(shè)有非齊次線性方程組 ，為何值時(shí)，此方程組有唯一解、無解或無窮多解？ 習(xí)題十二 線性相關(guān)與線性無關(guān) 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1設(shè)線性無關(guān)，則它的任

10、何一個(gè)部分組線性 。2設(shè)線性相關(guān)，則線性 。3設(shè)有維列向量組，記矩陣，則線性相關(guān)的充分必要條件是 （用矩陣的秩表示）。4若向量組線性相關(guān)，則t =_。二、選擇題1已知可由線性表示，不能由線性表示，則下面結(jié)論正確的是（ ）。（A）能由 線性表示，也能由線性表示； （B）能由 線性表示，但不能由線性表示； （C）不能由 線性表示，也不能由線性表示； （D）不能由 線性表示，但能由線性表示。2設(shè)線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。三、寫出向量組對(duì)應(yīng)的矩陣，并把式子寫成矩陣乘積的形式。四、設(shè),。 當(dāng)a,b為何值時(shí)，1）不能由線性表示；2）可以由唯一地線性表示；

11、3）可以由線性表示，但表示法不唯一。五、證明設(shè)向量線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)。習(xí)題十三 極大無關(guān)組與秩 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1能互相線性表示的兩個(gè)向量組，稱為 向量組。2在向量組中，若存在個(gè)向量，它們滿足 ， 則稱為向量組的極大無關(guān)組。3向量組的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)，稱為 。4任一向量組與其極大無關(guān)組是 向量組。5設(shè)向量組可由向量組線性表示，則向量組的秩 向量組的秩；若向量組與向量組等價(jià)，則它們的秩 。二、已知向量組證明向量組能由線性表示，但向量組不能由線性表示。三、設(shè)有向量組，求該向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量組用這個(gè)極大無關(guān)組線性表示。四、已知，及， 證明：秩=秩。

12、習(xí)題十四 線性相關(guān)性（補(bǔ)充） 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、證明題1）設(shè)是一組維向量，已知維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示，證明線性無關(guān)。2）設(shè)是一組維向量，則線性無關(guān)任一維向量可用它們線性表示。3）設(shè)是矩陣，且，則。4）設(shè) 是一組維列向量，則線性無關(guān)行列式。習(xí)題十五 向量空間、基和維數(shù) 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1設(shè)是實(shí)數(shù)域上的向量空間，是中一組向量，如果滿足 ； 。則稱是的一組基，基中所含向量的個(gè)數(shù)稱為 。2設(shè)是向量空間的一組基，對(duì)于任意的，可以用唯一地線性表示為，稱有序數(shù)組為在基下的 。3設(shè)與是向量空間中的兩組基，若它們滿足 （其中），稱階矩陣為 。4設(shè)與是向量空間的兩組基，由前一組基到后一組基

13、的過渡矩陣為，且在舊基與新基下的坐標(biāo)分別為： 和則 。二、檢驗(yàn)下列集合對(duì)于向量加法與數(shù)乘運(yùn)算是否是實(shí)數(shù)域上的向量空間：（1）；（2）。三、試證明向量，構(gòu)成的一組基，并求出在基下的坐標(biāo)。四、在中取兩組基，； ， ,。求由基到基的過渡矩陣和坐標(biāo)變換公式。習(xí)題十六 方程組解的結(jié)構(gòu) 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、選擇題1 設(shè)是所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 ，則下面結(jié)論正確的是（ ）。（A）若僅有零解，則有唯一解；（B）若有無窮多組解，則只有零解；（C）若有無窮多組解，則有非零解；（D）若有非零解，則有無窮多組解。2若是某非齊次線性方程組的兩解向量，則（）（A） 是它的解向量 （B） 是它的解向量（C） 是其對(duì)應(yīng)齊次

14、方程組的解向量 （D） 是其對(duì)應(yīng)齊次方程組的解向量3若是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是基礎(chǔ)解系的為（）（A） （B） 的任意三個(gè)線性組合（C） （D） 二、求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并寫出相應(yīng)的通解。三、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是其三個(gè)解向量，且 ，求該方程組的通解。四、求解非齊次線性方程組。五、設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：1）線性無關(guān)； 2）線性無關(guān)。習(xí)題十七 內(nèi)積、特征值與特征向量 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、選擇題1以下說法正確的是（）A正交向量組必定線性無關(guān)；B線性無關(guān)向量組必定正交；C正交向量組不含零向量；

15、D線性無關(guān)向量組不含零向量。2正交矩陣的行列式為（ ）A； B； C； D或。3 設(shè)A為正交矩陣，則下列矩陣中，不是正交矩陣（其中k是不為1的正整數(shù)）的是（）A； B； C；D 。二、填空題1階方陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量 ；若是階方陣的個(gè)特征值，則 ， 。2已知三階矩陣的三個(gè)特征值分別為，則 ， 。3設(shè)為階方陣，有非零解，則必有一特征值為 。4若矩陣與相似，則與的特征值 ；階矩陣與對(duì)角陣相似的充要條件是 。5設(shè)是矩陣的一個(gè)特征值，是的對(duì)應(yīng)于的一個(gè)特征向量，是矩陣的一個(gè)多項(xiàng)式矩陣，則的特征值是 ，其相應(yīng)的一個(gè)特征向量是 。6已知是的逆矩陣的特征向量，則 。三、設(shè)是中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明：，

16、也是中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。四、用Schmidt正交化方法，將下列的基，化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，并求向量在此標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)。五、求矩陣的特征值和特征向量。六、如果n階矩陣滿足，證明矩陣的特征根只能是0或1。 習(xí)題十八 相似矩陣與對(duì)角化 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、選擇題1如果矩陣與相似（），則（）A存在可逆矩陣，使得；B存在正交矩陣，使；C存在可逆矩陣，使； D存在可逆矩陣，使。2設(shè)n階矩陣有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則下面說法正確的是（ ）A存在正交矩陣，使為對(duì)角矩陣；B不一定存在正交矩陣，使為對(duì)角矩陣；C不存在正交矩陣，使為對(duì)角矩陣；D只有當(dāng)矩陣A為實(shí)矩陣時(shí)，存在正交矩陣，使為對(duì)角矩陣。二、判斷矩陣是否與對(duì)

17、角陣相似。三、設(shè)3階方陣的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，求。 四、設(shè)矩陣與矩陣相似，其中，。求和的值。習(xí)題十九 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì) 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是 ，其不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量 。2已知，是三階實(shí)對(duì)稱陣的三個(gè)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，則 ， 。3設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)于的特征向量，則屬于特征值的所有特征向量為 。二、設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，是其特征值，已知對(duì)應(yīng)的特征向量為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，試求參數(shù)及的另一個(gè)與正交的特征向量和矩陣。三、對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣，求正交矩陣和對(duì)角陣，使得。 四、設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值，證明存在特征值非負(fù)的實(shí)對(duì)稱矩陣，使

18、得。習(xí)題二十 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 一、填空題1矩陣對(duì)應(yīng)的二次型是 ，二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣是 。2二次型的秩為2，則 。3階矩陣與正交矩陣合同，則其秩 。4已知二次型的矩陣為，且此二次型的正慣性指數(shù)為3，則的取值范圍是 。5二次型的秩為 ，正慣性指數(shù)為 ，負(fù)慣性指數(shù)為 。6設(shè)是正定矩陣，則滿足條件 。7設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值分別為，則當(dāng) 時(shí)，為正定矩陣。8實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充要條件是其特征值全部 。二、把變量代換 寫成矩陣形式并求由變量到變量的變量代換。三、已知變量代換 和，求由變量到變量的變量代換。四、用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。習(xí)題二十一 正定二次型與正定矩陣 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí)

19、 一、已知二次型的秩為2，求系數(shù)及此二次型所對(duì)應(yīng)矩陣的特征值。二、已知二次型，通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求參數(shù)及所用正交變換矩陣。三、判斷二次型的正定性.四、設(shè)是階正定矩陣，證明。五、設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，試分別確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使得是（1）正定矩陣；（2）負(fù)定矩陣；（3）不定矩陣；（4）可逆矩陣。 試卷一一、選擇題（每小題3分，共15分） 1設(shè)是階方陣，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）若，則不可逆； （）可逆；（）若，則可逆； （）可逆。2設(shè)向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)，則（）能被線性表示； （）不能被線性表示；（）能被線性表示；（）不能被線性表示。3為階矩陣，則（）； （） ； （） ； （）。4齊

20、次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān)；（）中必有一列向量是其余列向量的線性組合；（）的任意兩個(gè)列向量線性無關(guān)；（）中任一列向量都是其余列向量的線性組合。5. 設(shè)為矩陣，且，則線性方程組（）有唯一解； （）有無窮多解； （）無解； （）可能無解。二、填空題（每小題3分，共15分）1已知垂直，且，則 。2. 設(shè)是非齊次線性方程組的解，則是的解的充分必要條件為 ，是齊次線性方程組的解的充分必要條件為 。3.設(shè)矩陣相似于對(duì)角矩陣，則 ， 。4.設(shè)為階方陣，且，則的特征值可能取值為 。5設(shè)為正整數(shù)，則= 。三、計(jì)算題（共58分） 1（6分）求通過點(diǎn)且在軸上截距相等的平面方程。

21、2（6分）求過點(diǎn)且與直線和都垂直的直線方程。3（8分）已知，且，求。4（8分）計(jì)算階行列式。5（8分）設(shè)向量組，試求這個(gè)向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大無關(guān)組線性表示。6（10分）已知線性方程組，問：取何值時(shí)方程組有無窮多解，并求其通解。7（12分）已知三元二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，且已知對(duì)應(yīng)特征值有一個(gè)特征向量，試求正交變換。四、證明題（共12分）1（6分）設(shè)是一組維向量，則線性無關(guān)任一維向量可用它們線性表示。2（6分）設(shè)為維列向量，且，矩陣。證明：行列式。試卷 二一、 填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）1已知垂直，且，則=_。2設(shè)是三階非零矩陣，的每一列向量都

22、是方程組的解,則=_。3設(shè)3階方陣的三個(gè)特征值為1，2， 則_ 。4設(shè)矩陣相似于矩陣，則_ ，_ 。5二次型的秩為_。二、選擇題（本題共5小題，每小題3分，共15分） 1. 設(shè)A為矩陣，把A按行分塊為，其中是A的第j行，則行列式值為( )。A6； B.-6 ； C.-54； D. 542.設(shè)向量組的秩為,的秩為,的秩為,則下列不正確的是（ ）。A若(1)可由(2)線性表示，則； B. 若(2)可由(1)線性表示，則；C. 若 ，則； D. 若 ，則。3設(shè)是三階方陣，將的第1列與第2列交換得，再將的第2列加到第3列得，則滿足的可逆矩陣為（ ）。 A； B. ；C. ：D 4設(shè)矩陣的行向量線性無關(guān)

23、，則下列錯(cuò)誤的是（ ）A只有零解； B. 必有無窮多解；C. 有唯一解； D. 總有無窮多解。5階矩陣具有個(gè)不同的特征值是與對(duì)角陣相似的（ ）。A充分必要條件； B. 充分而非必要條件； C. 必要而非充分條件； D. 既非充分也非必要條件。三、計(jì)算題（共58分） 1（6分）求過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程。2（6分）求垂直平面，并通過從點(diǎn)的垂線的平面方程。3（8分）設(shè)階矩陣和滿足，已知，求矩陣。4（8分）計(jì)算行列式：。 5（10分）已知；問為何值時(shí)：（1）可由線性表示，且表示法唯一；（2）不可由線性表示；（3）可由線性表示，且表示法不唯一，并寫出一般表示式。6（10分）設(shè)求該向量組的秩及其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大線性無關(guān)組線性表示。7（10分）已知3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，且屬于的特征向量為,屬于的特征向量。（1）求k的值；（2）求屬于特征值 的另一個(gè)與正交的特征向量；（3）求正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣。四、證明題（共12分）1（6分）設(shè)是矩陣，是矩陣，其中，若，證明：的列向量線性無關(guān)。2（6分）設(shè)是矩陣，試證明：正定