武康平高級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)消費(fèi)最優(yōu)化PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1武康平高級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)消費(fèi)最優(yōu)化武康平高級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)消費(fèi)最優(yōu)化2n效用最大化n支出最小化n效用與支出的對偶n消費(fèi)者均衡第1頁/共40頁3任何人都希望最大化自己的效用而非最小，這是經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驗命題。從古典經(jīng)濟(jì)學(xué)、到新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)，再到當(dāng)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們無不接受、繼承和發(fā)展這一命題，效用最大化問題得到了越來越深入的研究。 一方面，人們的欲望無止境，其需要沒有滿足的時候，經(jīng)濟(jì)學(xué)無法對如何滿足人們無止境的欲望問題作出解釋。 另一方面，任何人都處在一定的客觀環(huán)境中，客觀條件必然對人們的選擇行為帶來一定限制。比如，人們需要商品，但必須能夠賣得起。 消費(fèi)者受到的種種限制，雖然影響著選擇，但也使得

2、效用最大化問題有了解決途徑服從約束條件的效用最大化。l 理性消費(fèi)者正是在服從種種條件限制的情況下理性消費(fèi)者正是在服從種種條件限制的情況下, 選擇自己選擇自己最滿意的消費(fèi)方案最滿意的消費(fèi)方案。這就是效用最大化效用最大化。 第2頁/共40頁4設(shè)消費(fèi)集合為 ，價格體系為 ，消費(fèi)者收入為 r。消費(fèi)者進(jìn)行選擇時，要受到客觀條件與經(jīng)濟(jì)條件的限制。RXRp 客觀條件限制客觀條件限制：包括政策、法規(guī)、生理、環(huán)境等非經(jīng)濟(jì)因素對消費(fèi)選擇的制約，這些制約因素劃出了允許消費(fèi)者選擇的范圍，即消費(fèi)集合 X 。因此，客觀條件限制可表示為 xX 。 經(jīng)濟(jì)條件限制經(jīng)濟(jì)條件限制：主要是價格與收入的制約，消費(fèi)者必須在收入允許下進(jìn)行

3、選擇。因此，經(jīng)濟(jì)條件限制可表示為 p x r。 理性消費(fèi)者不偷、不搶、不騙，可賒賬或借款消費(fèi)。但這不意味著可免費(fèi)消費(fèi)，天下沒有免費(fèi)的午餐。 賒賬和借款相當(dāng)于收入擴(kuò)大，然后在擴(kuò)大的收入限制下進(jìn)行消費(fèi)選擇，并沒有沒有擺脫經(jīng)濟(jì)條件的限制。l 預(yù)算約束預(yù)算約束：是指由客觀條件(xX )和經(jīng)濟(jì)條件( p x r)對消費(fèi)選擇共同構(gòu)成的制約，可表示為：(x X ) ( p x r)。第3頁/共40頁5n 定理 在X 為下有界閉子集的情況下，對任何價格體系 p 0 及收入 r，預(yù)算集合預(yù)算集合 ( p, r) 都是有界閉集，從而是緊集是緊集。 證明證明：a = ( a1, a2, a)使得 x a 對一切 x

4、X 成立( X 下有界)。令bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2, )我們有：0 pi (xi ai) p (x a) r p a 對一切 x ( p, r)成立(p0& x a)，故 pi xi r p a+ pi ai ( i = 1,2, )?？梢?， a x b = (b1, b2, b)，說明 ( p, r)有界。從 又可知， ( p, r)是閉集。:),(rpxRxXrp預(yù)算集合預(yù)算集合是指由預(yù)算約束確定的消費(fèi)選擇范圍，它是 X 的子集 ( p, r) = xX : p x r。超平面 p x = r 叫做預(yù)算線預(yù)算線。Xp x = r ( (預(yù)算線

5、預(yù)算線) ) ( p, r)a第4頁/共40頁6為了維護(hù)人民生活，國家建立最低生活保障制度。這種項制度有利于社會穩(wěn)定，有利于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)均衡?，F(xiàn)在，我們先從預(yù)算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。為了保證消費(fèi)者在收入限制下能選擇到商品，消費(fèi)者收入就應(yīng)不低于最低收入標(biāo)準(zhǔn)。所謂最低收入標(biāo)準(zhǔn)最低收入標(biāo)準(zhǔn)，是指在既定價格體系 p 下消費(fèi)集合X 中的最低支出 I( p) = inf p x: xX 。最最低生活保障制度低生活保障制度是一種讓收入 r 不低于 I( p) 的制度，條件 r I( p) 可叫做最低生活保障最低生活保障或最低收入條件最低收入條件或最低支出條件最低支出條件。n 定理 設(shè) X 為

6、消費(fèi)集合，p 為價格體系，r 為消費(fèi)者收入。u 如果 X 且 r I( p)，則預(yù)算集合非空，即 ( p, r) ；v 如果 X 是非空下有界閉集，p0 且 r I( p)，則 ( p, r)是非空有界閉集 。第5頁/共40頁7效用最大化效用最大化是指消費(fèi)者在預(yù)算約束的限制下進(jìn)行最滿意的消費(fèi)。馬歇爾從效用最大化出發(fā)，導(dǎo)出了消費(fèi)者需求，即預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的消費(fèi)方案消費(fèi)者最終決定的消費(fèi)方案，稱為馬歇爾需求馬歇爾需求(向量向量)，簡稱需求需求(向量向量)。準(zhǔn)確地講，消費(fèi)者(X , )在價格體系 p 和收入 r 下的(馬歇爾)需求集合需求集合D( p, r)，是指( p, r)中最好的消費(fèi)方案

7、的全體，即D( p, r) = x( p, r): (z( p, r)( z x )。),(rpDx 證明：任意給定 x, yD( p, r)。既然 x 是 ( p, r)中最好的，而 y( p, r)，因此 y x；同理，x y。于是，x y。n 定理 馬歇爾需求集合中任何兩種方案都無差異：(x, yD( p, r)(x y)。y無差異曲線無差異曲線 ( p, r)X第6頁/共40頁8雖然從效用最大化出發(fā)導(dǎo)出了消費(fèi)者需求，但有如下的三個基本問題必須回答。 消費(fèi)者需求是否存在？即需求集合 D( p, r) 是否非空？如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空談。 消費(fèi)者需求是否唯一？即在 D(

8、p, r) 非空的情況下，D( p, r) 是否是單點(diǎn)集？如果 D( p, r) 不是單點(diǎn)集，那么就會引起消費(fèi)選擇上的不確定，會讓消費(fèi)者“眼花繚亂”。 消費(fèi)者是否不把收入用完就能實(shí)現(xiàn)效用最大化？這是一個有關(guān)效用最大化理論是否符合實(shí)際現(xiàn)象的重要問題。l 要回答這些問題，涉及到價格收入集合 及其內(nèi)部 。 價格收入集合價格收入集合 ： 集合集合的內(nèi)部的內(nèi)部 ：)() 0( :),()() 0( :),(pIrpRRrppIrpRRrp第7頁/共40頁9n 定理 設(shè)消費(fèi)者( X , )面臨的價格體系為 p ， 收入為r 。u 如果 X 是閉集， 是連續(xù)偏好，則D( p, r)是閉集。v 如果 X 是凸

9、集， 是弱凸偏好，則D( p, r)是凸集。w 如果 X 是非空下有界閉集， 連續(xù)，p 0 且 r I( p)，則需求集合D( p, r)是非空閉集，從而馬歇爾需求存在。 證明證明的關(guān)鍵：一是 ，二是連續(xù)偏好在有界非空閉集中有滿足。具體證明留作練習(xí)。 由此定理可知：理性消費(fèi)者的馬歇爾需求必然存在，即對任何( p, r)，都有 D( p, r) 。),(:),(),(rpxxzXzrprpDl 需求集映需求集映：理性消費(fèi)者的馬歇爾需求確定了一個從 到 X 的對應(yīng)(取值為非空集合的集值映射)D : X ，稱為消費(fèi)者的需求對應(yīng)需求對應(yīng)或需求集映需求集映。第8頁/共40頁10n 定理 設(shè)消費(fèi)者( X

10、, )面臨的價格體系為 p ， 收入為r 。u 如果 X 是凸集， 是嚴(yán)格凸偏好，則D( p, r)是單點(diǎn)集或空集。v 如果 X 是凸集， 內(nèi)部嚴(yán)格凸，D( p, r) X ，則D( p, r)是單點(diǎn)集或空集。 w 如果 X 是非空下有界凸閉集， 是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好，則對任何 ( p, r)，D( p, r)是單點(diǎn)集，即馬歇爾需求唯一存在。x 如果 X 是非空下有界凸閉集， 連續(xù)且內(nèi)部嚴(yán)格凸，則對任何 ( p, r)，只要D( p, r) X ，D( p, r) 就是單點(diǎn)集。 證明證明的關(guān)鍵：假如 D( p, r) 中有兩種不同方案，那么這兩種方案必然無差異，且它們的加權(quán)平均必然比這兩種方案優(yōu)

11、，而加權(quán)平均依然在預(yù)算集合中，這就出現(xiàn)了矛盾：預(yù)算集合中出現(xiàn)了比最優(yōu)方案還要優(yōu)的方案。矛盾的結(jié)論說明， D( p, r)中不可能存在兩種不同的方案，即D( p, r)是單點(diǎn)集或空集。第9頁/共40頁11n 瓦爾拉定律 設(shè) 是 X 上無滿足的凸偏好，則對任何( p, r) 及 xD( p, r)，都有 p x = r。這一定律可寫作 pD( p, r) = r。 證明證明：任意給定 xD( p, r)，則 p x r 。 無滿足 ( yX )( y x)，故 p y r。 用反證法，假如 p x r。則在連接 x 與 y 的直線段上必有一點(diǎn) z 使得 p z = r，如右圖所示，故 z( p,

12、r)。偏好的凸性保證了 z x，與 xD( p, r)相矛盾。矛盾的結(jié)論說明 p x r ；v 零階齊次性：( p, r)，t 0，都有 (t p, t r) = ( p, r)；w 瓦爾拉定律：( p, r)，都有 p ( p, r) = r。我們已經(jīng)看到了嚴(yán)格凸偏好在確定需求中的重要作用：選擇明確，毫不含糊。這樣，在假設(shè) HC 和 HP 下，消費(fèi)者需求便得以唯一確定，即下述定理。),(,),(),(),(21rprprprp第12頁/共40頁14l 間接效用函數(shù)間接效用函數(shù)：當(dāng)偏好 是通過效用函數(shù) u 來表達(dá)時，需求向量 ( p, r) 的效用值 u( ( p, r) 便代表消費(fèi)者生活水平

13、。這就確定了一個函數(shù) ： 叫做消費(fèi)者的間接效用函數(shù)間接效用函數(shù)。 間接效用是由價格和收入決定的消費(fèi)者效用水平。 間接效用函數(shù) 反映了價格和收入同消費(fèi)者的實(shí)際生活水平之間的關(guān)系，是代表實(shí)際生活水平的效用函數(shù)。l 價格與收入決定馬歇爾需求價格與收入決定馬歇爾需求，馬歇爾需求決定消費(fèi)者的實(shí)馬歇爾需求決定消費(fèi)者的實(shí)際生活水平際生活水平。因此因此，價格與收入共同決定消費(fèi)者的生活水價格與收入共同決定消費(fèi)者的生活水平平。需求的零階齊次性表明，名義收入并不能真實(shí)反映消費(fèi)者的生活水平，因為與高名義收入相伴隨的高價格，可能并不改變消費(fèi)者的選擇。只有需求向量，才能代表實(shí)際生活水平。Ru:),(),(),(rprpu

14、rpuRu:第13頁/共40頁15現(xiàn)在應(yīng)用效用最大化理論來分析兩個實(shí)際問題：所得稅與銷售稅的比較，價格補(bǔ)貼發(fā)放辦法比較。l 問題問題1：銷售稅與所得稅哪一種對消費(fèi)者更為有利銷售稅與所得稅哪一種對消費(fèi)者更為有利？ 國家向居民征稅有兩種辦法，一種是征收銷售稅，另一種是征收所得稅。假定不論采取哪種辦法，居民繳納的稅額是一樣的。那么，哪一種征稅辦法對居民會更為有利一些? l 問題問題2：漲價補(bǔ)貼對消費(fèi)者是否有利漲價補(bǔ)貼對消費(fèi)者是否有利？ 商品漲價，國家發(fā)放價格補(bǔ)貼。一種辦法是控制價格，不許漲價，把價格補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者。另一種辦法是允許漲價，把價格補(bǔ)貼發(fā)給消費(fèi)者。那么，哪一種補(bǔ)貼辦法對消費(fèi)者會更為有利一些

15、？為了分析這兩個問題，設(shè)當(dāng)前的市場價格體系為 p，消費(fèi)者收入為 r，消費(fèi)者的選擇為 xD( p, r)。第14頁/共40頁16x 銷售稅銷售稅：稅率向量 t = ( t1, t2, t)，ti 為購買一單位商品 i 的稅額。按 t 征收銷售稅，相當(dāng)于價格從 p升為p+t，于是需求從 xD( p, r)變到 yD( p+t, r)，納稅額為 T = t y。注意， y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。 所得稅所得稅：把銷售稅改為所得稅，直接從收入r中扣除銷售稅情況下的稅額T = t y，則預(yù)算集合變?yōu)?( p, r- T )，消費(fèi)者選擇變?yōu)?zD ( p, r- T )。l 比

16、較比較：易見，y( p, r- T )，故 y z。這說明，雖然納稅額相同，但征收所得稅要比征收銷售稅對居民更為有利一些。xyyz( p,r)( p,r)( p+t,r)( p,rT )( p+t,r)第15頁/共40頁17 不許漲價不許漲價：把補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者，不許商品漲價。這種情況下，消費(fèi)者的選擇為 xD( p, r)。 允許漲價允許漲價：把補(bǔ)貼發(fā)給消費(fèi)者，允許商品漲價。假定漲價后，價格體系為q。消費(fèi)者得到補(bǔ)貼后，收入從r 提高到s，需求向量從 x 變?yōu)?yD(q, s)。 補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)：補(bǔ)貼后，要保證消費(fèi)者仍可以按照原來的方案進(jìn)行消費(fèi)，即補(bǔ)貼 = q x p x，也即 q x = s。

17、l 比較比較：x (q, s)，故 x y。這說明，“漲價 +補(bǔ)貼消費(fèi)者”要比“不漲價 +補(bǔ)貼生產(chǎn)者”對消費(fèi)者更為有利一些。 xxy( p,r)( p,r)(q,s)第16頁/共40頁18任何人都希望在生活水平不變的情況下，讓自己的消費(fèi)支出達(dá)到最小而非最大，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個先驗命題。 支出最小化支出最小化是這樣一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象：當(dāng)消費(fèi)者面臨一種消費(fèi)方案時，常常還要挑選同樣的效用但支出更少的方案。這就是說，消費(fèi)者首先確定一個效用水平，然后在不低于這個效用水平的前提下使消費(fèi)支出達(dá)到最小。 支出最小化的道理在于貨幣也是一種具有效用的商品，支付貨幣就是支付效用。以貨幣換商品，就是以效用換效用。作為理性

18、消費(fèi)者，當(dāng)然想以較少的效用換得較多的效用。 準(zhǔn)確地講，支出最小化支出最小化是指消費(fèi)者在保證不降低生活水平的前提下，謀求消費(fèi)支出達(dá)到最少。 希克斯從支出最小化出發(fā)，分析了消費(fèi)者的選擇，給出了今天稱謂的?？怂剐枨笙？怂剐枨蟾拍睢?第17頁/共40頁19現(xiàn)在按照支出最小化的思路，來分析消費(fèi)者的選擇。假定消費(fèi)者目前面臨著一種可以選擇的消費(fèi)方案為 xX ，商品的價格體系為 p。這樣，消費(fèi)方案 x 的支出便為 p x。 消費(fèi)者是否選取 x 作為消費(fèi)行動，取決于是否還有其他不比 x 差的可行消費(fèi)方案 y能使支出( py)變得更少。如果這樣的方案 y 存在，就不會選擇 x。至于是否選擇 y 作為行動方案，又取

19、決于是否存在不比 x差而支出比 y還少的其他可行消費(fèi)方案 z。這種選擇過程要一直進(jìn)行下去，直至選不出其他不比 x 差而支出能進(jìn)一步減少的可行方案?？梢钥闯觯看芜x擇都在集合E(x) = yX : y x 中進(jìn)行。該集合 E(x) 就稱為消費(fèi)者在方案 x 處的支出集合支出集合，條件“ yE(x)”叫做 x 處的支出約支出約束束。支出集合支出集合xE(x)Xwpw=px第18頁/共40頁20 e(p,x)與與I(p)的比較的比較e(p,x)：支出集合E(x)上的最小支出；I(p)：消費(fèi)集合 X 上的最小支出；e(p,x) I(p) 對一切 成立。 等效用等效用，等支出等支出：在既定的價格體系p 下

20、，x y e( p, x) = e( p, y)。 支出函數(shù)實(shí)則是效用水平的函數(shù)支出函數(shù)實(shí)則是效用水平的函數(shù)：支出集合支出集合xE(x)Xwpw=pxn 支出函數(shù)支出函數(shù) 的定義的定義： 支出函數(shù)支出函數(shù) e(p, x) 的意義的意義：支出最小化與 x 相比，在不降低生活水平的條件下，讓消費(fèi)支出達(dá)到最小。XRxpxEzpzxpe),()(:min),(RXRe:ypy=e(p,x)pz=I(p)zXRxp),(RRRUpUzupzUpe),()(:min),(第19頁/共40頁21 鑒于以上原因，考慮支出最小化問題時，通常要求e( p, x) I( p)。這個條件叫做最低支出限制最低支出限制，

21、符合該條件的消費(fèi)方案的全體是集合 X(p) = xX : e(x,p) I(p)。支出集合支出集合x*E(x)Xy*),(),(*pyypexpepx 當(dāng)e( p, x)=I( p)時，支出達(dá)到消費(fèi)集合 上的最小支出，再也沒有變小的余地。此時，便可能出現(xiàn)這樣的情況：存在 x, yX 使得 x y 但 e( p, x) = e( p, y)。這意味著E(x)中的最小支出點(diǎn) x* (即 px* = e( p, x)和 E( y)中的最小支出點(diǎn) y*都在X上，如下圖所示。在點(diǎn) x 處，本來 x* 是最優(yōu)選擇，但它位于消費(fèi)集合邊界，失去了“最優(yōu)”意義：同樣支出下，還有更優(yōu)的消費(fèi)方案 y*。xy*無差異

22、曲線無差異曲線Xp第20頁/共40頁22l 關(guān)于價格的性質(zhì)關(guān)于價格的性質(zhì)：任意給定 xX 。 對任何 ，都有 e( p, x) + e( q, x) e( p+q, x)。 對任何 及實(shí)數(shù) t 0，都有 e(t p, x) = t e( p, x)。 e( p, x) 是價格 p 的凹函數(shù)。l 關(guān)于效用水平的性質(zhì)關(guān)于效用水平的性質(zhì)：任意給定 。 對任何 x, yX ，只要 x y，就有 e( p, x) = e( p, y)。 對任何 x, yX ，只要 x y，就有 e( p, x) e( p, y)。 定理(支出函數(shù)的效用性質(zhì)支出函數(shù)的效用性質(zhì)) 對于理性消費(fèi)者(X, ) 來說，在任何給定

23、的價格體系 p 0 下，都有下述事實(shí)成立：支出函數(shù)是關(guān)于價格和效用水平的函數(shù)，其性質(zhì)隨之分為兩類：關(guān)于價格的性質(zhì)，關(guān)于效用水平的性質(zhì)。Rqp,RpRp),(),()()(,ypexpeyxpXyx第21頁/共40頁23 ?？怂剐枨笙？怂剐枨笙蛄肯蛄浚菏侵冈趦r格體系 p下，在消費(fèi)計劃 xX 處的支出集合 E(x) 中的最小支出點(diǎn) x*。 ?？怂剐枨笙蛄康拇_定?？怂剐枨笙蛄康拇_定： x*E(x) & p x* = e( p, x)。 ?？怂剐枨蠹舷？怂剐枨蠹希篐( p, x) = yE(x): (zE(x)( p y p z )叫做價格 p 下方案 x 處(或效用水平x上)的?？怂剐枨蠹?。l

24、 p 及及 x, yX ，x y H( p, x) = H( p, y)。l p 及 xX ，H( p, x) pH( p, x) = e( p, x)。l ?？怂剐枨蠓▌t?？怂剐枨蠓▌t：?？怂剐枨笈c商品價格之間呈反向變動關(guān)系，即對任何價格向量 p, q 及任何 zX ，都有(xH( p, z)(yH( q, z) ( ( p q)(x y) 0 )證明證明：注意，x, yE(z)。xH( p, z)說明 p x p y；yH( q, z) 說明 q x q y。因此， p x q x p y q y，即( p q)(x y) 0。RR第22頁/共40頁24n 存在性定理 如果消費(fèi)集合 是下有

25、界非空閉子集，并且偏好關(guān)系 連續(xù)，則對任何價格向量 p 0 及任何 xX ，都有 H( p, x) 。因此，理性消費(fèi)者的?？怂剐枨蟊厝淮嬖诶硇韵M(fèi)者的希克斯需求必然存在。 ?？怂剐枨蟮拇嬖谛允且粋€基本問題。如果說?？怂剐枨蠹?H( p, x)是空集，那么支出最小化理論便是空談。證明證明：既然消費(fèi)集合 X 為下有界非空閉集，偏好 連續(xù)且 p 0，那么B = zX : (z x)( pz px)必為非空有界閉集，故存在( z 的)函數(shù) pz 在 B 上的最小值。注意，函數(shù) pz 在 B 上的最小值(點(diǎn))與在 E(x)上的最小值(點(diǎn))一致。這就證明了?？怂剐枨蟠嬖凇X x支出集合支出集合E(x)

26、pBH(p,x)pz=pxz第23頁/共40頁25證明證明：用反證法，假定存在 y, y H( p, x) 使 y y，則 p y = p y = e( p, x) I( p)，故存在 wX 滿足 p w p y ，如右圖所示( y = 0.5(y+ y)。這樣，w x。 的嚴(yán)格凸 y x。 連續(xù) 在連接 w 和 y 的線段上存在 z 滿足：z x 且 p z I( p) p y I( p) (wX )( p w p y)。顯然，w x。偏好 的連續(xù)性保證了在連接 w和 y 的線段上，存在點(diǎn) z 使得 z x。這個點(diǎn) z可寫成：z = t w +(1t)y，其中 0 t 1。注意，zE(x)

27、且 p z = t pw + (1t)py 0”在?？怂剐枨蟠嬖谛灾胁豢缮?； 最低支出條件“e( p, x) I( p)”在希克斯需求唯一性不可少； 這樣，聯(lián)合條件“ p 0 & e( p, x) I( p)”是保證?？怂剐枨笪ㄒ淮_定的必要條件。鑒于此，我們給出如下專門集合。l 價格消費(fèi)集合價格消費(fèi)集合：滿足如上聯(lián)合條件的價格向量與消費(fèi)方案的組合的全體，即l ?？怂剐枨蠹诚？怂剐枨蠹?H：H : X (這是一個對應(yīng)對應(yīng)) )(),(0:),(pIxpepXRxp ),()( : )(),(xppzpyxEzxEyxpH第26頁/共40頁28 根據(jù)希克斯需求的存在性和唯一性定理可知，在假設(shè)

28、HC 和HP下，?？怂剐枨蠹?H 確定了唯一的一個映射 h: X ：( p, x)( H( p, x)=h( p, x)即 h( p, x) 是 H( p, x) 中的那個唯一的方案。l 這個映射 h: X 叫做消費(fèi)者的?？怂剐枨笥成湎？怂剐枨笥成?。l 映射 h: X 的每一個分量函數(shù) hi( p, x) 叫做消費(fèi)者的?？讼？怂剐枨蠛瘮?shù)斯需求函數(shù)( i = 1,2,)。l ?？怂剐枨笥成?h: X 具有下述三條性質(zhì)： 零階齊次性零階齊次性：對任何( p, x) 及實(shí)數(shù) t 0，都有h( t p, x) = h( p, x) 效用不變性效用不變性：對任何( p, x)，都有 h( p, x)

29、x 。 反向變動性反向變動性：在效用水平不變的情況下，需求與價格反向變動，即對任何( p, x), (q, x)，( p q)( h( p, x) h( q, x) 0。第27頁/共40頁29從表面上看，效用最大化沒有考慮支出最小化問題，支出最小化也沒有考慮效用最大化問題。其實(shí)并非如此，效用最大化與支出最小化是互為對偶的問題。 n 對偶定理 設(shè)消費(fèi)集合 X 是 的下有界非空凸閉子集， 是無滿足的連續(xù)凸偏好。則對任何 ( p, r) 和 ( p, x)，都有：u (zD( p, r)( zH( p, z)，即效用最大時支出也最小；v (zH( p, x)( zD( p, e( p, x)，即支出

30、最小時效用也最大；w 如果 嚴(yán)格凸, 則 ( p, r) = h( p, ( p, r)且 h( p, x) = ( p, e( p, x)。R 對偶定理表明，馬歇爾需求與?？怂剐枨笠恢?，消費(fèi)最優(yōu)化問題既可用效用最大化求解，也可用從支出最小化求解。今后就直接從效用最大化來研究消費(fèi)者需求，如無特殊說明，需求均指馬歇爾需求。zx),(xperX(p,r)第28頁/共40頁30消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡是指消費(fèi)者的效用最大化狀態(tài)。因此，也可把馬歇爾需求向量 x*D( p, r) 叫做消費(fèi)者均衡向量均衡向量。問題是：怎樣才能實(shí)現(xiàn)均衡？使用效用函數(shù)，可以對這個問題作出回答。為了回答怎樣實(shí)現(xiàn)均衡的問題，將需要根

31、據(jù)具體情況，使用如下一些假設(shè)中的一個或幾個：l 假定商品的價格體系為 p 0，消費(fèi)者的收入為 r。l 利用效用函數(shù) u(x)，效用最大化問題效用最大化問題可表述為：max u(x) s.t. px rl 在瓦爾拉定律下，可用等式約束“p x = r”來替代不等式約束“p x r” ，從而效用最大化問題效用最大化問題變得更加明確：max u(x) s.t. px = r (X, )是理性消費(fèi)者是理性消費(fèi)者： X 滿足假設(shè)HC， 連續(xù)+凸+無滿足。 偏好偏好 的的效用函數(shù)效用函數(shù) u : X R 滿足假設(shè)滿足假設(shè) HU。 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡 x* 在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)，即 x*D

32、( p, r) X 。第29頁/共40頁31 在瓦爾拉定律的保證下，可用拉格朗日乘數(shù)法求解效用最大化問題：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x, ) = u(x)+(r p x)，設(shè) x*X 是效用最大化問題的解，則存在實(shí)數(shù) 使得L(x, )在(x*, ) 處的各個一階偏導(dǎo)數(shù)全為零，即 (x*, ) 必然是下述方程組的解：這個方程組叫做效用最大化邊際方程邊際方程(marginal equation)，其中實(shí)數(shù) 叫做拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù)，簡稱拉氏乘數(shù)拉氏乘數(shù)。 利用向量，可把邊際方程簡寫為 。 邊際方程的作用在于表達(dá)了消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的一階條件。我們將會看到，這個一階條件不但是必要的，而且是充分的。r

33、xpxpxppxipxuii*22*11*), 2 , 1(*)(rpxpxu*)(第30頁/共40頁32證明證明：根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，必存在實(shí)數(shù) 使得u (x*) = p 且 p x* = r?，F(xiàn)在，我們只需證明拉氏乘數(shù) 0。注意，定理的條件保證了u(x*) 0。x*D( p, r) X 保證了 u(x*) 0。這是因為對任何 xX，若 x 0。結(jié)合 p 0，可知 0。n 定理(必要條件必要條件) 設(shè)理性消費(fèi)者(X, )的效用函數(shù) u: X R 在 X 內(nèi)部可微且(xX )(u (x) 0)。對任何價格向量 p 0、收入r及向量x*X ，若x*D( p, r) (即x*是消費(fèi)者的均衡)，則存

34、在實(shí)數(shù) 0 使得 (x*, ) 滿足邊際方程：rxppxu*)(第31頁/共40頁33 邊際替代率邊際替代率：在消費(fèi)方案 x 處，商品i 對 j 的邊際替代率是指當(dāng) i 的消費(fèi)增加一單位時，在保持效用水平不變的情況下可以減少的 j 的消費(fèi)量，即 MRSi, j = (d xj/d xi) = ui(x) /uj(x)。 市場交換率市場交換率：商品i 對 j 的市場替代率是指市場上一單位 i 所能換得的 j 的數(shù)量，即商品 i 與 j 的價格比 pi /pj。l 替代法則替代法則：均衡時，任何兩種商品之間的邊際替代率都等于市場交換率，即 。), 2 , 1,(*)(*)(jippxuxujiji

35、增加 i 的消費(fèi)，減少 j 的消費(fèi)，方可提高效用。減少 i 的消費(fèi)，增加 j 的消費(fèi)，方可提高效用。jijijijippxuxuppxuxu)()()()(第32頁/共40頁34pxupxupxu*)(*)(*)(2211增加 i 的消費(fèi)，減少 j 的消費(fèi)，方可提高效用。減少 i 的消費(fèi)，增加 j 的消費(fèi)，方可提高效用。jjiijjiipxupxupxupxu)()()()(如果把邊際方程中的效用函數(shù)理解為基數(shù)效用函數(shù)，則邊際方程蘊(yùn)含著更深刻的意義：邊際效用均等法則。l 邊際效用均等法則邊際效用均等法則：均衡時，一單位貨幣收入不論用于購買哪種商品，所增加的效用都一樣；拉格朗日乘數(shù) 正是均衡時貨

36、幣收入的邊際效用。即第33頁/共40頁35n 定理(充分條件充分條件) 設(shè)消費(fèi)集合 X 是 的凸子集，效用函數(shù) u(x) 連續(xù)、擬凹且在 X 內(nèi)部連續(xù)可微。對任何價格向量 p 0、收入 r 及消費(fèi)向量 x*X ，若存在實(shí)數(shù) 0 使得 (x*, ) 滿足邊際方程： u (x*) = p & p x* = r，則x*D( p, r)(即x*是均衡)。 R證明證明：從 u(x) 的連續(xù)性和擬凹性可知， u(x) 弱擬凹。要證明 x*D( p, r)，就是要證明(xX )(u(x) u(x*) (p x r)。為此，我們先證明一個斷言斷言：(xX )( (u(x) u(x*) ( p x r) )。任

37、意給定 xX 使得 u(x) u(x*)。既然 u 的弱擬凹，因此對任何 t(0,1)，都有 u( t x+(1- t) x*) u(x*)。這樣，就有0*)()*)(*)(*)1 (lim1*0pxpxxxxutxuxttxuiiiit結(jié)合 0，即可知 p x p x* = r。斷言得證。第34頁/共40頁36 從 x*X 知，存在 wX 使 w 0，因此 pw px* = r。根據(jù)上面的斷言，可知 u(w) u(x*) u(x)。 u(x)的連續(xù)性保證了存在 t(0, 1) 使得 u(t x + (1t)w) = u(x*)(介值定理)。記 z = t x + (1t)w，則從 u(z) = u(x*) 和上面的斷言可知，p z r。但請注意，pw r 且 px r，故 p z = t pw +(1 t) px u(x*) ( p x r)。用反證法，假定存在 xX 使得 u(x) u(x*) 但 px r。Xwzx*xpx = r第35頁/共40頁37充分條件意味著商品之間的替代法則和邊際效用均等法則可直接用于判斷消費(fèi)者是否實(shí)現(xiàn)了均衡。l 替代法則替代法則：如果在 x* 處，p x* = r，并且任何兩種商品之間的邊際替代率都等于相應(yīng)的價格比，那么 x* 就是消費(fèi)者在價格 p 和收入 r 下的均衡。l 邊際效用均等法則