利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題

1、利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題莊曉燕一、問題的提出在運動變化中，動點到直線、圓的 距離會發(fā)生變化，在變化過 程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或圓的參數(shù)方 程或設(shè)圓上點的坐標(biāo)，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最 值的方法求解，與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型：二、問題的探源這些與圓有關(guān)的最值問題常常利用平面幾何知識或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點的坐標(biāo)，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的方法求 解三、

2、問題的佐證1. 已知含參數(shù)直線與圓位置關(guān)系，求直線方程中參數(shù)取值范圍問題畫出圓圖像，利用直線過定點，結(jié)合圖像即可確定直線方程中滿足的條件，禾U用直線與圓的位置關(guān)系和點到直線的距離公式，列出關(guān)于參數(shù)的不等 式或方程，即可求出參數(shù)的范圍.例1若直線y=-f+m與曲線y = 1 J|4 x2 |恰有三個公共點，則實數(shù) m的 取值范圍是一思路分析：直線y = -X m與曲線y = 1|4-x2|恰有三個公共點，實數(shù)m2 2的取值范圍，可以轉(zhuǎn)化為直線 y=-m的圖象與曲線y = ； .|4 x2|的圖象有 三個交點時實數(shù)m的取值范圍，作出兩個函數(shù)的圖象，通過圖象觀察臨界直線， 從而求出m的取值范圍；本題

3、曲線y=； . | 4 - x2 |的圖象是易錯點，畫圖時要分類討論，知圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成.解析：由題意知，曲線y=*4xj的圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的 上部分組成，故直線y = _X+m與曲線y=丄4 x2恰有三個公共點的臨界直22 VIXx線有：當(dāng)直線y = - m過點（2,0）時，即0 - -1 m，故m =1 ；當(dāng)直線m與橢圓的上部分相切，即y，即卩-.2，2 時，此時44-22m八2，故實數(shù)m的取值范圍是（1八2）.點評：本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題2. 已知點滿足與圓有關(guān) 的某個條件，求圓中參數(shù)或點的坐標(biāo)的取值范圍問 題作出相應(yīng)的圖

4、形，利用數(shù)形結(jié)合思想找出圓中相關(guān)量，如圓心坐標(biāo)、圓心 到某點距離、圓的半徑、圓的弦長或圓的弦心距等滿足的條件，列出不等式或 方程或函數(shù)關(guān)系，再利用相關(guān)方法求出參數(shù)的范圍例2設(shè)點M x0,1，若在圓O:x2+y2 =1上存在點N，使得.OMN =45，則xo的取值范圍是一思路分析：作出圖像，由圖知，圓心 O到直線ON的距離小于等于1,從 而得出OM蘭72，列出關(guān)于x0的不等式，即可解出x0的范圍.解析：依題意，直線MN與圓O有公共點即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，過O作OA _ MN，垂足為A，在Ft OMA 中，因為 OMA=45，故 OA=OMsin4Om 1 ， 所2om|J

5、2，貝u Jxf+1蘭&，解得一1蘭冷蘭匸點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及 數(shù)形結(jié)合思想，解決本問題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合找出點M滿足的條件.3. 與距離有關(guān)的最值問題在運動變化中，動點到直線、圓的 距離會發(fā)生變化，在變化過 程中，就會 出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值 問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定 點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或圓的參數(shù)方程或 設(shè)圓上點的坐標(biāo)，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的 方法求解,與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型： 圓外一點A到圓上距離最近為|A

6、0 -r，最遠(yuǎn)為AO + r ； 過圓內(nèi)一點的弦最長為圓的直徑，最短為該點為中點的弦； 直線與圓相離，則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離 d r， 最近為d -r ； 過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積. 圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題常轉(zhuǎn)化為圓心與曲線上的 動點距離問題，利用兩點間距離公 式轉(zhuǎn)化二元函數(shù)的最值問題，利用消元法轉(zhuǎn) 化一元函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題求解.例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點P為圓C : (x-2)2 y2=5上的任意 一點，點Q (2a,a 2)，其中a R，貝懺段PQ長度的最小值為.思路分析：由首先要看出Q(2a,a

7、 2)是直線x-2y *4 = 0上的點，要求PQ長度的最小值實質(zhì)上是求圓上的點到直線的距離的最小值為d - r，則翼=墮，PQ長度的最小值為 込鹿出.45555解析：顯然Q(2a,a 2)是直線x-2y *4=0上的點，圓心C(2,0)，半徑為,5，20+4圓心C到直線x-2y 0的距離為d口，所以PQ長度的最小值V55為口一左二空.55點評：本題表面上考查兩點間距離，實質(zhì)上由圓的幾何性質(zhì)知，與圓上的 點有關(guān)的距離的最值問題都要與圓心聯(lián)系起來，直線與圓相離時，圓心到直線 的距離為d，圓半徑為r，則圓上的點到直線的距離的最大值為 d r，最小值 為d -r 另外動點問題，要注意的是動點必在某條

8、曲線上，找到這條曲線后可 借助曲線的性質(zhì)分析、解決問題.4. 與面積相關(guān)的最值問題與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾 何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有 時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解 .例4動圓C經(jīng)過點F(1,0)，并且與直線x = -1相切，若動圓C與直線x 2 2 1總有公共點，則圓C的面積 .思路分析：設(shè)出動圓圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)條件找出半徑與圓心滿足的關(guān)系式，利用動圓C與直線y二x 2 2 1總有公共點，列出某個量的不等式，求出其取值范圍，從而求出圓的半徑的取值范圍，作出正確選擇【解析】設(shè)圓心為(a,b)，半徑

9、為r , r =|CF |=|a 1|，即(a T 2 a)即a =b2，圓心為(b2, b)，r = b2 1，圓心到直線y = x 2、2 1的距離為444b2 b -2(2 .2 3)或b- 2，|-b 2.2 1|b245 J，1 當(dāng) b=2 時，rmin4 1=2， Smin*r2=4二.4點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想是解題的關(guān)鍵5. 圓上點的坐標(biāo)滿足關(guān)系式的最值或取值范圍 問題本類問題有三種解題思路：思路1:充分利用所給式子的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解題；思路2:設(shè)所給式子等于z,代入圓的方程化為一元二次方程，利用判別式即可求

10、出參數(shù)的范圍；思路3:利用圓的參數(shù)方程或消元法化為函數(shù)問題， 利用函數(shù)求最值的方法 求最值,注意留下變量的范圍例5實數(shù)x、y滿足3x2 2y2 =6x，則.x2 y2的最大值為 .思路分析：.x2 y2表示曲線3x2 2y2 =6x上點到坐標(biāo)原點距離，故可 用消元法化為關(guān)于y的函數(shù)，再求最值.解析：由題：y2=：3x-3x2_0，. Ox乞2，因此2x2 y2 = 3x -x2 =（x -3）2 9，所以當(dāng)x = 2時，x2 y2取得最大值4，故2 2 2冷 x2 y2 =2點評：本題考查了消元法及函數(shù)的最值的求法，要掌握本類試題中一些式 子的幾何意義，如（x-a）2 （y-b）2表示曲線上點

11、（x, y）與點（a, b）之間距離的 平方；土逹表示曲線上點（x,y）與點（a, b）連線的斜率；z = AxBy注意將直x a線z = Ax By在坐標(biāo)軸上的截距與z聯(lián)系起來解題.綜上所述，解決與圓相關(guān)的最值問題的關(guān)鍵要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利 用幾何知識求最值，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值 求解.四、問題的解決1、設(shè)點 P（x，y）在圓 x2 + （y1）2= 1 上，求.（x-2）2 y2 的最值.【解析】（x-2）2 y2的幾何意義是圓上的點與定點（2,0）的距離.因為圓心（0,1）與定點的距離是、.、（2二0）2一（0二1）2卻5，圓的半徑是1,所以，、.、（

12、x-2）2 y2的最小值是.5-1，最大值是5+1.（1）化為求斜率問題求工二的最小值.x 1定有解.消去y，【解析】法一：令山=t,則方程組2y tx21x+1|x2+（y-1）2=1整理得(1 + t2)x2 + 2(t2 3t)x+ (t2 6t+ 8) = 0 有解.所以，二4(t2 3t)2 4(1224 y+ 24+1)( t 6t + 8)0，即6t 80，解得t3.故1的最小值是.法二：令口 =k,x+1則k表示圓上任一點與(一1, 2)點連線的斜率,kx一 y + k一 2 0,|0 1 + k 2|y + 24的最小值為4.(2) 化為求圓心到直線距離問題-12 3/2求直

13、線x y 2 0上的點到圓的距離的最值.解析：圓心為(0,1)，到直線x y2=0的距離為邁 2因此直線上的點和圓上的點的最大距離為色2 +1，最小距離為 仝2 _ 12 2(3) 化為求圓心到直線距離問題1若圓上有且只有四個點到直線 3x 4y+ C 0的距離為p求C取值范圍.1【解析】由題意，圓心(0,1)到直線的距離小于勺即可,|4+C1r ；32 + 422,313解得C7.所以C的取值范圍為(-,一).222 2解與圓有關(guān)的最值問題，要明確其幾何意義：(1) k二口 表示圓上的點(x, y)與定點(a, b)連線的斜率，直線方程可與x a圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，利用0求k的最值；也可用圓心 到直線的距離d r，求k的最值.(2) 直線與圓相離時，直線上的點到圓的距離的最大值為d+ r，最小值為 d r.縱觀近幾年高考對