天津市和平區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)查試題（含解析）

1、天津市和平區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)查試題（含解析）溫馨提示：本試卷包括第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.祝同學(xué)們考試順利！第卷選擇題（共45分）注意事項(xiàng)：1.答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上的無效.3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.如果事件，互斥，那么如果事件，相互獨(dú)立，那么.柱體的體積公式球體的體積公式一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)全集，則( )A.

2、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用補(bǔ)集運(yùn)算求出，即可根據(jù)并集運(yùn)算求出【詳解】因，所以，故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集和并集運(yùn)算，以及常用數(shù)集的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題2. “（）”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】分別從充分性和必要性入手進(jìn)行分析，最后作出判斷即可.【詳解】充分性：當(dāng)（）時(shí)，（），所以，充分性成立；必要性：由可得（），即（），必要性成立；所以“（）”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于常考題.3. 已知表示不超過

3、實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，為取整函數(shù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則（ ）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可判斷出零點(diǎn)所在的相鄰整數(shù)區(qū)間，即可由定義求得的值.【詳解】函數(shù)在遞增，且，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，故，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在定理的簡單應(yīng)用，由定義求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于，兩點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程與拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，的面積為，列出方程，由

4、此方程求出的值，可得所求焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程是，又拋物線的準(zhǔn)線方程是，故，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是，又由雙曲線的離心率為2，所以，即，則，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是，又的面積為，可得，得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選： B5. 某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,記這2人成績?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為,則的數(shù)學(xué)期望為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由頻率分布直方圖知，30.006100.01100.05

5、41010x1，解得x0.018，成績不低于80分的學(xué)生有(0.0180.006)105012人，成績?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有0.00610503人的可能取值為0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列為012P E()012.選B.6. 已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）A. 函數(shù)的最小正周期是B. 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C. 函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱D. 函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】B【解析】【分析】先將化簡為，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，則的最小正周期，結(jié)論錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上是減函數(shù)，結(jié)論正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t的圖象不

6、關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)論錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，結(jié)論錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.7. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)，都有，記，則大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)遞減，且，通過自變量的大小和函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)遞減，.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，實(shí)數(shù)比較大小的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8. 國際高峰論壇,組委會(huì)要從6個(gè)國內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)行提問,要求這三個(gè)媒體團(tuán)中既有國內(nèi)媒體團(tuán)又有國

7、外媒體團(tuán),且國內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為（ ）A. 378B. 306C. 268D. 198【答案】D【解析】【分析】分“選兩個(gè)國內(nèi)媒體一個(gè)國外媒體”和“選兩個(gè)外國媒體一個(gè)國內(nèi)媒體”兩種情況討論,分別求出種數(shù)再相加即可.【詳解】解：分兩種情況討論.若選兩個(gè)國內(nèi)媒體一個(gè)國外媒體,有種不同提問方式；若選兩個(gè)外國媒體一個(gè)國內(nèi)媒體,有種不同提問方式.所以共有種提問方式.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用,排列與組合問題要區(qū)分開題目要求元素的順序,則是排列問題要做到不重不漏,有些題目帶有一定的約束條件,解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.9.

8、 已知圓的半徑為2，是圓上任意兩點(diǎn)，且是圓的一條直徑，若點(diǎn)滿足（），則的最小值為（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得到,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?由于圓的半徑為，是圓的一條直徑，所以，又，所以,所以當(dāng)時(shí)，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算法則，以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確化簡是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.第卷非選擇題（共105分）注意事項(xiàng)：1.用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卷上，答在本試卷上的無效.2.本卷

9、共11小題，共105分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卷上.10. 已知為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則_【答案】【解析】【分析】利用純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法及復(fù)數(shù)模的公式即可得到答案.【詳解】解：為純虛數(shù)，且，解得，所以故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11. 若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)_【答案】2【解析】【分析】寫出展開式通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為4，求得的項(xiàng)數(shù)，得其系數(shù)，由系數(shù)為448可得【詳解】由題意展開式通項(xiàng)公式為，令，系數(shù)為，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，解題關(guān)鍵是掌握

10、二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式12. 已知一個(gè)體積為8的正方體內(nèi)接于半球體，即正方體的上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球面上，下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在半球體的底面圓內(nèi)則該半球體的體積為_【答案】【解析】【分析】過正方體對(duì)角面作半球的截面，得半個(gè)大圓，在此平面圖形中求得半球的半徑后可得體積，【詳解】過正方體對(duì)角面作半球的截面，得半個(gè)大圓，矩形是正方體對(duì)角面，是中點(diǎn)，設(shè)正方體棱長為，則，由圖知球半徑為，半球體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求半球的體積，解題關(guān)鍵是過正方體對(duì)角面作半球的截面，得出正方體與半球的關(guān)系13. 函數(shù)的圖象在處的切線被圓截得弦長為，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】或.【解析】【分析】由題可知切線的斜率，又，所以切點(diǎn)

11、坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象在處的切線方程為.圓心到切線的距離，則，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，所以代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)，可知切線的斜率.又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為.又因?yàn)閳A，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到切線的距離.因?yàn)榍芯€被圓截得弦長為，則，解得實(shí)數(shù)的值是或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.14. 若,且,則此時(shí)_,的最小值為_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】(1)由對(duì)數(shù)運(yùn)算和換底公式,求得的關(guān)系為即可.(2)根據(jù)化簡,再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】(1)因?yàn)?所以所以.(2)因?yàn)?故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所

12、以最小值為故答案為：2；【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)換底公式的綜合應(yīng)用,根據(jù)“1”的代換聯(lián)系基本不等式求最值,綜合性強(qiáng),屬于中檔題15. 已知函數(shù)，則_；若方程在區(qū)間有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】 (1). 81 (2). 【解析】【分析】（1）利用分段函數(shù)解析式求出，再根據(jù)對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得. （2）畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)推出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由，則，所以.作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示， 設(shè)，由圖象可知要使方程在區(qū)間有3個(gè)不等實(shí)根，則直線應(yīng)位于與之間或直線的位置，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.所以，或，故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了分段

13、函數(shù)求值、根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16. 在中，內(nèi)角、的對(duì)邊分別為，（1）求角的大?。唬?）若，求：（）邊長；（）的值【答案】（1）； （2）（）；（ii）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，由此求得角的大小.（2）（）已知兩邊和夾角，用余弦定理求得邊；（）由兩角差的正弦公式求得的值.【詳解】解：（1）由已知及正弦定理得， （2）（）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，（）由，因?yàn)闉殇J角，所以，【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，還考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

14、，二倍角公式以及兩角差的正弦公式.17. 如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，（）求證：平面；（）求平面與平面所成銳二面角的大??；（）求直線與平面所成角的余弦值【答案】（）詳見解析；（）；（）【解析】【分析】證明平面，以 為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，（）為平面的一個(gè)法向量，證明平面，只需證明;（）求出平面的一個(gè)法向量、平面一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（）求出平面一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式，即可求直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（）證明：四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，又平面平面，且平面平

15、面，平面以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系根據(jù)題意,得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：， 則，為平面的一個(gè)法向量又平面平面（）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則， 得 平面，平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則因此，平面與平面所成銳二面角的大小為（）根據(jù)（）知平面一個(gè)法向量為 得，設(shè)直線與平面所成角為，則因此，直線與平面所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，線面垂直，二面角及空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力.意在考查考生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.計(jì)算二面角大小的常用方法:分別求出二面角的兩

16、個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小18. 已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交橢圓與兩個(gè)不同的點(diǎn)，記的面積為，的面積為，令，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由離心率可得，再根據(jù)條件求出，即可求出，寫出橢圓方程；（2）設(shè)，直線，則直線，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)弦長公式求出，再求出點(diǎn)到直線的距離，即可表達(dá)出的面積，進(jìn)而求出最大值.【詳解】（1）由題意知，所以，即，又以原點(diǎn)為圓心

17、，橢圓的短半軸長為半徑的圓為，且與直線相切，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，直線，則直線，由，得，. ，因?yàn)?，所以的面積等于的面積，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，也即時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓中的三角形面積最值問題，屬于較難題.19. 數(shù)列是等比數(shù)列，公比大于0，前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，已知，（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，；（）設(shè)的前項(xiàng)和為（）求；（）若，記，求的取值范圍【答案】（）；（）（i）；（ii），【解析】【分析】（）由等比數(shù)列的定義求得公比，得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的定義求得和，得；（）（）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得

18、，由分組求和法求得，（）求得后，用裂項(xiàng)相消法求得，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍【詳解】解：（）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，整理得，解得（舍?，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，即，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為；（）（）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，所以；（）由（）可得，所以的前項(xiàng)和又在上是遞增的，所以的取值范圍為，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查分組求和法與裂項(xiàng)相消法，解題過程只要按照題意計(jì)算即可，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力20. 已知函數(shù)，且.（1）若函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，為導(dǎo)函數(shù).若存在，使成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）調(diào)遞增區(qū)間，；單調(diào)遞減區(qū)間是，；（3）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再由函數(shù)在處取得極值，得，代入求解參數(shù)，（2）由（1）可得，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用令和求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）將代入化簡，