向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

1、向 量組 的 線 性 相 關(guān) 與 線 性 無 關(guān)1. 線性組合設(shè)印赴，,at Rn , ki,k2, ,kr R，稱匕印 k02亠 亠為印忌，,at的一個線 性組合。廣k【備注1】按分塊矩陣的運算規(guī)則，ka,+k2a2十+ktat =(2,at) 。這樣的表百*lkt J示是有好處的。2. 線性表示設(shè)a,atRn，b Rn，如果存在匕匕，,kR，使得則稱b可由a,a2,，at線性表示b = k,a, k2a ktat，寫成矩陣形式，即因此,b可由a,a2,at線性表示即線性方程組(ai , a2，,at )r(a,a2,aj 二 r(ai,a2,ab)。3. 向量組等價設(shè)da,;印，鳥山2,血

2、 Rn，如果印屜，at中每一個向量都可以由Db,bs線性表示，則稱向量組 印,玄2,at可以由向量組bud, ,bs線性表示。如果向量組a,a2, , at和向量組d,b2,bs可以相互線性表示，則稱這兩個向量組是等價的。向量組等價的性質(zhì)：(1) 自反性 任何一個向量組都與自身等價。 對稱性 若向量組I與II等價，則向量組II也與I等價。 傳遞性若向量組I與II等價，向量組II與III等價，則向量組I與III等價。 證明：自反性與對稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡單計算即可得到。設(shè)向量組I為ai,a2,，向量組II為bi,b2,bs，向量組III為sq,q。向量t組II可由III線性表示，假

3、設(shè)bj 一 yqCk，j =1,2, ,s。向量組I可由向量組II線ks性表示，假設(shè)ajXjjbj，i =1,2,r。因此，j4sstt sai = Xjibj = ” Xji 二 ykjck =(二.ykj xji )ck， j = h2，,rj 4j 4k 4k=1 j =1因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述辦法再做一次，同樣 可得出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與III等價。結(jié)論成立！4. 線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)ai,a2,at Rn，如果存在不全為零的數(shù) g, ,kR，使得則稱ai,a2,，at線性相關(guān)，否則，

4、稱ai,a2,目線性無關(guān)。按照線性表示的矩陣記法，ai,a2,at線性相關(guān)即齊次線性方程組有非零解，當且僅當r(a1,a2, ,at) t 0 a1,a2 ,at線性無關(guān)，即只有零解，當且僅當口印42,at)二t。特別的，若t=n，則a1,a2,，aR線性無關(guān)當且僅當佝耳，an)二n，當且僅當(a1,a2, ,an)可逆，當且僅當 佝,氐,a.) = 0。例1.單獨一個向量a Rn線性相關(guān)即a=0，線性無關(guān)即a = 0。因為，若a線性相關(guān)，貝U存在數(shù)k = 0，使得ka =0，于是a = 0。而若a=0，由于1，a = a = 0，1 = 0因 此，a線性相關(guān)。例2.兩個向量a,bRn線性相關(guān)

5、即它們平行，即其對應(yīng)分量成比例。因為，若a,b線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)匕出，使得kia kzb =0。匕也不全為零，不妨假設(shè)K 7，則a 電b，故a,b平行，即對應(yīng)分量成比例。如果 a,b平行，不妨假設(shè)存在 ki，使得a =?；小，則a - b =0，于是a, b線性相關(guān)。例3.(1 )00線性無關(guān)，且任意x= X2 R3都可以由其線性表示，且表示方法唯一。事實上，5. 線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì) (1)若一向量組中含有零向量，則其必然線性相關(guān)。證明:設(shè)aia,aRn，其中有一個為零，不妨假設(shè)a 0，則因此，ai,a2,at線性相關(guān)。(2) 若一向量組線性相關(guān)，則增添任意多個向量所形成的新向量組

6、仍然線性相關(guān)；若 一向量組線性無關(guān)，則其任意部分向量組仍然線性無關(guān)。證明：設(shè)ai,a2,a2,，e Rn，印旦，,令線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù) ki,k2, ,kt，使得這樣，ki, k2, ,kt不全為零，因此，ai,a2,，a(,，一2,，一s線性相關(guān)。后一個結(jié)論是前一個結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3) 若一個向量組線性無關(guān)，在其中每個向量相同位置之間增添元素，所得到的新向 量組仍然線性無關(guān)。證明：設(shè)ai,a2,aRn為一組線性無關(guān)的向量。不妨假設(shè)新的元素都增加在向量最后成為J,，占丿4一個分量之后,db,b是同維的列向量。令則kiai - k2a2亠亠Kat =0。由向量組色畑 ,at

7、線性相關(guān)，可以得到& = k?=K =0。結(jié)論得證!(4) 向量組線性相關(guān)當且僅當其中有一個向量可以由其余向量線性表示。證明：設(shè)ai,a?,at Rn為一組向量。必要性 若ai,a2,at線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù) &*2,K，使得ki,k?, ,kt不全為零，設(shè)kj =0，貝U充分性 若ai,a2,at中某個向量可以表示成其余向量的線性組合，假設(shè)aj可以表示成a“,a,a1,q的線性組合，則存在一組數(shù),kj,kj .仆,，使得 也就是但心,kj丄，-1,kj .1,不全為零，因此，印盤，,可線性無關(guān)。【備注2】請準確理解其意思，是其中某一個向量可以由其余向量線性表示，而不是全部向量都可

8、以。(5) 若ai, ；at Rn線性無關(guān)，b Rn，使得&忌，,ab線性相關(guān)，則b可由ai,a2,at線性表示，且表示方法唯一。證明：ai,a2, ,at,b線性相關(guān)，因此，存在不全為零的數(shù) 燈k?,K彳，使得K i =0，否則kt 1=0，則匕印k?a2如=0。由印忌 g線性無關(guān)，我們就得 到ki =k2 =0，這樣，K,k2,kt, kt 1均為零，與其不全為零矛盾！這樣, 因此，b可由ar,a2,at線性表示。假 b =xiaiX2a2xtat=yiai 丫2玄2 宀“宀ytat，貝U 由ai, a?,色線性無關(guān)，有 捲- yi = x? - y：二二人- yt = 0，即因此，表示法

9、唯一。【備注3】 剛才的證明過程告訴我們，如果向量 b可由線性無關(guān)向量組 知,at線性表 示，則表示法唯一。事實上，向量 b可由線性無關(guān)向量組 知,印線性表示，即線性方 程組（印，,a（）x=b有解。而q，,a線性無關(guān)，即r（a“,aj=t。因此，若有解，當然解唯一，即表示法唯一。 若線性無關(guān)向量組aa?, ：at可由向量組bb?,線性表示，則t_s。證明:xiiX21s，因此，方程組必有非零解，設(shè)為，于是kiai kza2-飛色=0。因此，存在一組不全為零的數(shù)kt丿k1,k2, ,kt，使得 k2a2 丁Tktat = 0。因此，向量組 a1, a2 ,at線性相關(guān)，這與向量組玄勺總，at線

10、性無關(guān)矛盾！因此，t_s。 若兩線性無關(guān)向量組aa2,at和九匕2,bs可以相互線性表示，則t = s。證明：由性質(zhì)，t乞S， S乞t，因此，s = t?！緜渥?】等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)一樣。(8)設(shè)印赴，aRn， P為n階可逆矩陣，則印忌 ,at線性無關(guān)當且僅當Pai,Pa2,Pat線性無關(guān)。b可由知&2,at線性表示，當且僅當Pb可由Pai,Pa2,Pat線性表示。若可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明：由于P可逆，因此如此，結(jié)論得證！6. 極大線性無關(guān)組定義1設(shè)印卍2,aRn，如果存在部分向量組ah, a -,air，使得(1)ah,a air線性無關(guān)；ai,a2,at中每一個向

11、量都可以由ah,ai2,a線性表示；則稱ah,ab,air為a“ a?,可的極大線性無關(guān)組?！緜渥?】 設(shè)ah ,a2, a Rn， a( ai2,a-為其極大線性無關(guān)組。按照定義，ai, a2,at可由ah, ai2,寺線性表示。但另一方面，a旦，,a-也顯然可以由ai,a2,at線性表示。因此，aia?,印與刖，ai2,ar等價。也就是說，任何一個向量 組都與其極大線性無關(guān)組等價。向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一個，但都與原向量組等價，按照向量組等價 的傳遞性，它們彼此之間是等價的，即可以相互線性表示。它們又都是線性無關(guān)的， 因此，由之前的性質(zhì)(7)，向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組含有相同

12、的向量個數(shù)。 這是一個固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無關(guān)組的選取無關(guān)，我們稱其為向量組的秩，即向量組的任何一個極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組ai,a2,at線性無關(guān)，充分必要條件即其秩為t。定義2設(shè)ai,a2,raRn，如果其中有r個線性無關(guān)的向量&兀，,a-，但沒有更多的 線性無關(guān)向量，則稱 印旦，,a-為ag,at的極大線性無關(guān)組，而r為a-i, a2,at 的秩?！緜渥?】定義2生動地體現(xiàn)了極大線性無關(guān)組的意義。一方面，有r個線性無關(guān)的向量，體現(xiàn)了“無關(guān)性”，另一方面，沒有更多的線性無關(guān)向量，又體現(xiàn)了 “極大性”?！緜渥?】兩個定義之間是等價的。一

13、方面，如果 ah,a ,air線性無關(guān)，且ai,a2,at中每一個向量都可以由ai1, ai2, ”,air線性表示，那么，ai,a2,，at就沒有更多 的線性無關(guān)向量，否則，假設(shè)有，設(shè)為bi,d，,bs, s r。b,b2,bs當然可以由ai,ai2,線性表示，且還線性無關(guān)，按照性質(zhì) (6)，sr，這與假設(shè)矛盾！另一方 面，假設(shè)ah, ai2 -,air為aa?, g中r個線性無關(guān)向量，但沒有更多的線性無關(guān)向量， 任取印忌，,at中一個向量，記為b，則a,軌，,a#, b線性相關(guān)。按照性質(zhì)(5)，b可 有ail,ai2-,air線性表示(且表示方法唯一)?！緜渥?】設(shè)向量組a1,a2,at的

14、秩為r，則其極大線性無關(guān)向量組含有r個向量。反過 來，其中任何r個線性無關(guān)向量所成的向量組也是 ai,a2,at的一個極大線性無關(guān)組。 這從定義即可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系稱矩陣A的列向量組的秩為 A的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的秩稱為矩陣A的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩。證明：設(shè)A =6)Rm n， r(A) =r。將其按列分塊為A =佝,a?,a“)。存在m階可逆矩 陣P，使得PA為行最簡形，不妨設(shè)為為PA的極大線性無關(guān)組，其個數(shù)為r，因此，az?,，線性無關(guān),線性無關(guān)，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此,且A中其余列向量均可由其線性表示(且表

15、示的系數(shù)不變)。因此，A的列秩等于A的 秩。將A按行分塊，A=:，則AT =(04,*)，因此，按照前面的結(jié)論， A的行秩為A的秩，而A的秩等于A的秩。至此，結(jié)論證明完畢！【備注10】證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。7. 擴充定理定理2設(shè)ai,a2,aRn，秩為r， 皿，,aik為其中的k個線性無關(guān)的向量， k_r，貝U能在其中加入ai,a2,，at中的(r -k)個向量，使新向量組為 耳赴，,可的極大 線性無關(guān)組。證明：如果k = r，則a, ai2,aik已經(jīng)是aa?,at的一個極大線性無關(guān)組，無須再添加 向量。如果k : r，則刖，軌，,aik不是印,a?,印的一個極大線性

16、無關(guān)組，于是，ai,a2,at必有元素不能由其線性表示，設(shè)為aik 1，由性質(zhì)，向量組科冋2,ak,ak+線性無關(guān)。如果k仁r，則aai2,，aik ,ak 1已經(jīng)是印忌，g的一個極大線性無關(guān)組，無須 再添加向量。如果k 1 ： r，則a”，ai2,aik, aik 不是a!, a?,at的一個極大線性無關(guān)組，于是， ana2,at必有元素不能由其線性表示，設(shè)為a2，由性質(zhì)，向量組 a1 ,ai2 ,，ak，%晉弘#線性無關(guān)。同樣的過程一直進行下去，直到得到r個線性無關(guān)的向量為止。【備注111證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。只是，這方法并不好 實現(xiàn)。8. 求極大線性無關(guān)組并將其余

17、向量由極大線性無關(guān)組線性表示求向量組印2,目 Rn的極大線性無關(guān)組，可以按照下面的辦法來實現(xiàn)。(1) 將ai,a2,at合在一起寫成一個矩陣A = (ai,a2, a);(2) 將A通過初等行變換化成行階梯形或者行最簡形，不妨設(shè)化得的行階形為，Zbn0+b12b22IIIIIIib1rb2rhb1,r + b2,r +IIIIIIb1,n ” b2,nKAt+00+IIIhbrrbr,r 十IIIfbr ,n=B，t 式0,i =1,2,r， r = r(A)0+0III0卜0III0i+00III卜00IIIF0 在上半部分找出r個線性無關(guān)的列向量，設(shè)為ji,j2,jr列，則jl,j2,jr為B列 向量組的極大線性線性無關(guān)組，也是A列向量組的極大線性線性無關(guān)組，也就是ai,a2,at的極大線性無關(guān)組。為了在上半部分尋找r個線性無關(guān)向量，必須且僅須在上半部分尋找 r階的非奇異 子矩陣。r階非奇異子矩陣的列向量組線性無關(guān)。顯而易見，上面矩陣第 1到第r列即向量組的一個極大線性無關(guān)組。其余情形同 理。（4）將其余向量組表示為極大線性無關(guān)組的線性組合。這時候得解方程組。我們將矩陣化為行最簡形，則一步就很容易完成了。不妨設(shè)行最簡形為在B中第1到第r列為列向量組