短時Fourier變換第二版

1、短時Fourier變換 由于在實際工作中所遇到的信號往往是時變的，即信號的頻率在隨時間變化，而傳統(tǒng)的傅立葉變換，由于其基函數(shù)是復正弦，缺少時域定位的功能，因此傅立葉變換不適用于時變信號。信號分析和處理的一個重要任務，一方面是要了解信號所包含的頻譜信息，另一方面還希望知道不同頻率所出現(xiàn)的時間。 尤金維格納（Eugene Wigner）于1932年基于傳統(tǒng)傅里葉變換的缺陷提出了一種聯(lián)合時頻分析方法，即找到一個二維函數(shù)，它可以把信號的時域分析和頻域分析結合起來，聯(lián)合時頻分析的結果既反映了信號的頻率內容，也反映了頻率內容隨時間變化的規(guī)律。該方法大體可分為兩類：線性聯(lián)合時頻分析方法和非線性聯(lián)合時頻分析方

2、法。線性聯(lián)合時頻分析方法主要包括短時傅里葉變換、Gabor展開及小波變換。對于非線性聯(lián)合時頻分析方法，它包括Wigner-Ville分布和廣義的雙線性時頻分布等2。 在1946年，丹尼斯加博爾（Dennis Gabor）提出了短時傅里葉變換和Gabor 展開的概念。短時傅里葉變換，其基本思想是將信號加窗，將加窗后的信號再進行傅里葉變換。加窗處理使得變換結果為時刻t附近的很小時間段上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)時間t的變化在整個時間軸上平移，即利用窗函數(shù)可以將任意時刻t附近的頻譜實現(xiàn)時間局域化，從而構成信號的二維時頻譜。即使信號s(t)是非平穩(wěn)的或時變的，但加窗處理將它分成許多小段后，可以假定每一小

3、段的信號都是平穩(wěn)的，所以短時傅里葉變換也可以用于非平穩(wěn)信號或時變信號的分析。短時傅里葉變換（STFT，short-time Fourier transform）。其主要思想是將信號加窗，將加窗后的信號再進行傅里葉變換，加窗后使得變換為時間t附近的很小時間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)t的位置變化在整個時間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時間段頻譜實現(xiàn)時間局域化。 但是，短時Fourier變換使用固定大小的時頻分析網絡，視頻網絡在時頻平面上的變化只限于平行移動（時間平移和頻率平移），因此只適用于分析具有固定不變帶寬的非平穩(wěn)信號。彌補這個缺點，后人又研究出了小波變換，但這并不在本次課的討論范

4、圍之內。 下面，我們分成連續(xù)和離散兩種情況，來深入探討一下短時Fourier變換的定義、條件和性質。連續(xù)短時傅立葉變換給定一個時間寬度很短的窗函數(shù)則信號的短時傅立葉變換為： 如果把傳統(tǒng)的Fourier變換看作是Fourier分析的話，那么Fourier反變換則應稱為Fourier綜合，因為Fourier反變換是利用Fourier頻譜來重構或綜合原信號的。類似地，短時Fourier變換也有和綜合之分。為了使真正STFT是一種有實際價值的非平穩(wěn)信號分析工具，那么信號 應該能夠由STFTz(t,f)完全重構出來，設重構公式為：設輸入信號中z(t)是兩個信號之和，即有將重構公式帶入上式，容易證明利用D

5、irac 函數(shù)性質，我們可以得到 顯然，為了實現(xiàn)“完全重構”，即p(u)=z(u)，則必須要滿足下列條件，稱之為短時Fourier變換的完全重構條件。顯然，我們選取的窗函數(shù) 恰好滿足完全重構條件，那么，可將前式寫成： 上式可視為廣義短時Fourier反變換，與維數(shù)相同的正、反Fourier變換形成對照的是，短時Fourier變換STFTz(t,f)具有明顯的物理意義，它可以看作是信號z(t)在分析時間t附近的“局部頻譜”。圖下圖所示：短時Fourier變換的性質：1、根據(jù)短時Fourier變換的基本定義，我們可以在驗證： 這表明，STFT具有頻移不變性，但不具有時移不變性，不過他在一調制范圍相

6、差一相位因子的范圍內還是可以保持時間移位不變的。2、 除此之外，短時Fourier變換還可以理解為通過一定濾波器之后發(fā)生的變化，通過不同的變換，我們發(fā)現(xiàn)可以由帶通和低通兩種濾波器進行變換。窗函數(shù)g(t)的選擇由于時間t的STFT是被窗函數(shù)預加窗后信號的頻譜，所以位于以時間t為中心的局部窗時間寬度內的所有信號特性都會在STFT(t,f)內顯示出來，顯而易見，欲提高STFT的時間分辨率，就要綜合窗 盡可能短。另一方面，有一在頻率f處的STFT本質上是信號z(t)通過帶通濾波器的結果，因此有要求它的時間寬度長，顯然兩者相悖。歸根到底，局部頻譜的正確表示還在于窗函數(shù)g(t)的寬度與信號的局域平穩(wěn)長度相

7、適應。下面討論取g(t)= 即綜合窗與分析窗相同時，如何選取窗函數(shù)g(t)。我們用R代表實數(shù)集合，L2(R)代表可測量的、且模平方可積分的一維函數(shù)空間，即 雖然原則上，我們可以任意選擇窗函數(shù)，但是在實際應用中，還是期待它有很好的時間和頻率的聚集性（即能量在時頻平面時高度集中的），使得STFTz(t,f)能夠有效地對應為信號x(t)在時頻點（t,f）附近的“內容”，也就是前面多次強調過的，g(t)的窗款應該與信號的局部平穩(wěn)長度相適應，常用的一種特殊選擇是下面的高斯窗函數(shù)： 所得到的基函數(shù) 在物理學中叫做“標準相干態(tài)”，而在工程文獻中稱作Gabor基函數(shù)。Gabor基函數(shù)g0t,f在時頻平面上高度

8、聚集在時頻點(t,f)附近，即Gabor基函數(shù)的另一個重要特性是滿足不確定性原理即Heisenberg不等式中的等號關系，即對于一般的基函數(shù)gtf，它應該滿足“恒等分辨”要求。所謂恒等分辨，就是任何一個能量有限的信號z(t)都應該能夠從STFTz(t,f)完全重構出來，容易驗證：這里使用了Fourier變換 ，于是 這滿足前面講到的完全重構條件。顯然，欲實現(xiàn)作為的恒等分辨，即實現(xiàn)則必須對窗函數(shù)施加下列約束條件由此可見，能量歸一化的約束不僅是短時Fourier變換對窗函數(shù)g(t)的一個要求，而且也是Gabor展開對窗函數(shù)g(t)的要求之一。離散短時Fourier變換 以上討論的是連續(xù)短時Fourier變化，對于任何實際應用而言，我們都需要將STFTx(t,f)離散化。為此，我們來考慮STFT在等間隔視頻網格點（mT,nF）處的采樣，其中T0，F(xiàn)0分別是時間變量和頻率變量的采樣周期，而m和n為整數(shù)，為了簡便，我們記為STFT(m,n)。令x(k)為離散信號，于是得到STFT分析公式的離散化形式和ST