數(shù)列與不等式綜合習(xí)題

1、數(shù)列與不等式的題型分類(lèi).解題策略題型一求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問(wèn)題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈,則當(dāng)XD時(shí)，有f(x) M恒成立 f(x) minM f(x) WM恒成立 f(x) maxW M 利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過(guò)解不等式解得【例1】等比數(shù)列an的公比q 1,第17項(xiàng)的平方等于第 24項(xiàng)，求使ai+ a2+ +111 一an + + +恒成立的正整數(shù) n的取值范圍.a1 a2an【分析】利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)公式和及所得的關(guān)系化簡(jiǎn)不

2、等式，進(jìn)而通過(guò)估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】由題意得：(a g16) 2= ag23, Aa = 1.1 11由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列一是以一為首項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)列， 要使不等式成立，ana1q1 11( n 和1 - (-)R1則須 T嚴(yán)1，把 a：= q 18代入上式并整理，得 q 18(q n- 1) q(1 n),q iiq1 -qqnq19,：q 1 ,a n 19,故所求正整數(shù) n的取值范圍是n20.【點(diǎn)評(píng)】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識(shí)都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)，用不等式知識(shí)求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用.【例2 (08 全國(guó)

3、H)設(shè)數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1= a,站=S + 3n, n N*. ( I) 設(shè)bn= Sn 3n,求數(shù)列b n的通項(xiàng)公式；(H)若 時(shí)a n, n N*,求a的取值范圍.【分析第(I)小題利用Sn與an的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第(H)小題將條件an+1an轉(zhuǎn)化為關(guān)于n與a的關(guān)系，再利用af(n)恒成立等價(jià)于 a 1 （3c） n ： n N*;（川）設(shè) Ov cv -,證明：a/+ a?2+ an2n + 1, n N*.31 3c【分析】第（1）小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第（3）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前n

4、項(xiàng)和求和，再 進(jìn)行適當(dāng)放縮.【解】(I)必要性：T a1= 0, a2 = 1 c,又va 2 0 , 1 , OW 1 c 1)成立，則33ak+1 = cak + 1 cw c+ 1 c= 1，且 ak+1= cak + 1 c1 c0, ak+1 0 , 1，這就是說(shuō) n= k + 1 時(shí)，an 0 , 1.由(1 )、(2)知，當(dāng)c 0 , 1時(shí)，知an 0 , 1對(duì)所胡n N*成立.綜上所述，an 0 , 1對(duì)任意n N*成立的充分必要條件是c 0 , 1.1人(n)設(shè)0v cv 3,當(dāng)n= 1時(shí)，a1= 0，結(jié)論成立.當(dāng) n2 時(shí)，由 an = can 1 + 1 c, 1 an

5、= c(1 an 1 )(1 + an 1 + an 1)1 2v 0v cv 3,由(I)知 an 1 0 , 1,所以 1 + an 1 + an 1 w 3,且 1 an 10, -1 anW 3c(1 3an 1),2n 1n 1 I anW3c(1 an 1) w(3c) (1 an 2)(3c)(1 a = (3c), anl n 1(3c), n N*.1 2 2(川)設(shè)Ov c v 3，當(dāng)n= 1時(shí)，ai = O 2 訂壬，結(jié)論成立當(dāng) n2 時(shí)，由(H)知 an 1 (3c) n 1 0,2. 、 n 1、r 2.-，- 、 n 1 . 、 (n 1)“ .，-. 、 n 1a

6、n A(1 (3c)= 1 2(3c)+ (3c) 1 2(3c)2 2 2 2 2 2 n 1a1 + a2 +-+ an = a2 +-+ an n 1 23c + (3c) + (3c)2 n 121 (3c) n2=n 1 21 + 3c + (3c) + (3c) 1 = n+ 1 一 3。 n + 1 3?！军c(diǎn)評(píng)】本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，此類(lèi)試題在高考中點(diǎn)占有一席之地，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意本題的第（I ）小題實(shí)質(zhì)也是不等式的證明，題型三 求數(shù)列中的最大值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變

7、量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值【例5】（08 四川高考）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若S4A10, SW 15,則a4 的最大值為.【分析】根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4的最大值.【解】 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且S4A10, Sw 15,4X3S4= 4a 1 + d A102 a1 + 3d 5即5X4 ，即 a1 + 2d 2+ 3d =2a4= a1 + 3d = (a 1 + 2d) + d w 3+ ddw

8、 1.5+a43+ d，貝U 5 + 3dw6+ 2d,即/a4 3+ d 1|fd1)|當(dāng)n11時(shí), n|f(n)|2|f(n +1)|2002v 1|f(11)| |f(1)|,|f(n)|f(12)| |f(13)| ,/f(11) v 0,f(10) v 0,f(9)0, f(12) 0, f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者.12 1,662002 (一) f(12)f(9)9_12002 (2)32002 9, 1 361 30 2002 3(2)=(于)3 1,當(dāng)n= 12時(shí)，f(n)有最大值為12 , 1 66f(12) = 2002 (?).【點(diǎn)評(píng)】本題解答有兩個(gè)

9、關(guān)鍵:(1)利用商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與f(9)的大小整個(gè)解答過(guò)程還須注意f(n)中各項(xiàng)的符號(hào)變化情況.題型四求解探索性問(wèn)題數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果【例7】 已知an的前n項(xiàng)和為S，且an+ S 4.( I)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(n)S 2成立Sk 2【分析】第(I)小題通過(guò)代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)

10、合定義判斷數(shù)列a n為等比數(shù)列；而第（n）小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成 立的合理性【解】 (I )由題意，S+ an = 4 , Sn+1 + an+1= 4 ,由兩式相減，得(S1+1 + an+l) ( Sn+ an) = 0,即即 2an+i an = 0,1又2ai= S+ ai = 4, ai = 2,數(shù)列an是以首項(xiàng)ai= 2,公比為q=f的等比數(shù)列1 n21 (2)（n）由（I），得$=1= 4 221 -2Sk+1 24 2 221 kk 13又由 S 2 2,得 4 2 k 2 2,整理，得 2 V 1,即 1 V 2 V 2,k N* , 2

11、 1 N*，這與/ 1 （1 , 3）相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立【點(diǎn)評(píng)】本題解答的整個(gè)過(guò)程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“k N* ”，這是在解答數(shù)列問(wèn)題中易忽視的一個(gè)陷阱亠 2【例8】（08 湖北咼考）已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足：a1 =入，an+1 = zan+ n 4, bn=（31）n（an 3n+ 21），其中入為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（I）對(duì)任意實(shí)數(shù) 入，證明數(shù)列an不是等 比數(shù)列；（n）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （川）設(shè)0v a V b,Sn為數(shù) 列bn的前n項(xiàng)和是否存在實(shí)數(shù) 入，使得對(duì)任意正整數(shù) n,都有avSv b?若存在，求 入的 取值范圍

12、；若不存在，說(shuō)明理由 【分析】第（I）小題利用反證法證明；第（n ）小題利用等比數(shù)列的定義證明；第（川）小題屬于存在型問(wèn)題，解答時(shí)就假設(shè)av SnV b成立，由此看是否能推導(dǎo)出存在存在實(shí)數(shù)入.【解】（I）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)入，使an是等比數(shù)列，則有 a22 = a1as,即2 24424 2（3入一3）=入（9入4） 9入4入+ 9 = 9入4入 9= 0，矛盾，所以a n不是等比數(shù)3 999列.(n )解：因?yàn)?bn+1= ( 1)n+1a n+1 3(n +1) + 21n+1222=(1)( 3a n 2n + 14) = 3(a n 3n 2 = 3b n,又bi= (入+ 18)

13、，所以當(dāng)入=18時(shí)，bn = 0(n N*)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列；bn+12當(dāng)入工一18時(shí)，bi = (入+ 18)工0,由上可知bnM0,.p = 云(n N*).bn3故當(dāng)入工一18時(shí)，數(shù)列b n是以一(入+ 18)為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列.3(川)由(H)知，當(dāng) 入=18, bn= 0(n N*), S= 0，不滿(mǎn)足題目要求；2 n 132 n入工一18,故知 bn= (入 + 18) X ( 3)，于是 S n =-(入 + 18) 1 (-)2 2 n要使av SnV b對(duì)任意正整數(shù) n成立，即a v 5(入+ 18) 1 ( 3) b, (n N*)./口 a3b得亍 5(入

14、+ 18) , (n N*)2 n 52 n1 ( 2) 1 ( 2)2 n55令f(n) = 1 ( 3)，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1 f(n) 3，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)9 w f(n) 1;55 f(n)的最大值為f(1) = 3, f(n)的最小值為f(2) = 9,533于是，由式得 9* 5(入+ 18) 5b, b 18入 3a 18,(必須b 3a).當(dāng)a b3a存在實(shí)數(shù) 入，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a SnD.a6a8a6a8a6a8a6a82. 設(shè)a n是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bn= an+l+ an+2, Cn = an + an+3，則（）A. bn CnB. bn V CnC.bn

15、 nD. bnC n3. 已知a n為等差數(shù)列，b n為正項(xiàng)等比數(shù)列，公比 qM 1,若ai= bi, an= bii,則（ ）4.5.6.7.A. a6= b6B.已知數(shù)列a n的前n項(xiàng)和A. 9B.已知等比數(shù)列a n的公比A. Sa5 b62小Sn= n 9n,q 0,其前Sa5 S5a4C. a6 b6 或 a6 b6第k項(xiàng)滿(mǎn)足5 ak8，貝U k =C. 7D. 6n項(xiàng)的和為S,則S4a5與Sa4的大小關(guān)系是C.Sa5= Sa4D.不確定n N*,則函數(shù)f(n)丄30C.S，=(n + 32)Sn+1的最大值為140已知y是x的函數(shù)，且lg3 , lg（sinxlg（1 y）順次成等差

16、數(shù)列，則A. y有最大值1，無(wú)最小值11B. y有最小值12無(wú)最大值D. y有最小值1，最大值111C. y有最小值12，最大值1已知等比數(shù)列an中a2 = 1,則其前3項(xiàng)的和S的取值范圍是A. ( a, 1B. ( a, 1) U (1 ,+1C. 3,+a)D. ( a, 1 U 3,+a)9. 設(shè). 3b是1 a和1 + a的等比中項(xiàng)，貝U a + 3b的最大值為()A. 1B. 2C. 3D. 410. 設(shè)等比數(shù)列a n的首相為a1，公比為q,則a 1 0,且0 q an”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分比要條件D. 既不充分又不必要條件11. an為等差數(shù)列，若V 1，

17、且它的前n項(xiàng)和S有最小值，那么當(dāng)S取得最小正值時(shí)，aion =()A. 11B. 17C. 19D. 2112 .設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y R,都有f(x)f(y) = f(x + y),1若a1= , an= f(n)(n N*)，則數(shù)列a n的前n項(xiàng)和S的取值范圍是()1 1 1 1A.2, 2)B.【2, 2C.2, 1)D.【2, 1 二、填空題Sn13. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且a4 a2= 8, a3+ a5= 26,記Tn=孑，如果存在正整數(shù) M使得對(duì)一切正整數(shù) n, TnW M都成立.則 M的最小值是 .14 .無(wú)窮等比數(shù)列a n中，a1 1

18、, |q| V 1,且除a外其余各項(xiàng)之和不大于 a的一半，則q的取值范圍是.215. 已知x0, y 0, x, a, b, y成等差數(shù)列，x, c, d, y成等比數(shù)列，則的最小值是.A. 0B. 1C. 2D. 416. 等差數(shù)列an的公差d不為零，S是其前n項(xiàng)和，給出下列四個(gè)命題：A.若dV0,且S3= S8,則Sn中，S和S6都是Sn中的最大項(xiàng)；給定 n,對(duì)于一定k N*(k V n)，都有an k+ an+k= 2an;若d 0，則Sn中一定有最小的項(xiàng)；存在 k N*,使 ak ak+1和ak ak 1冋號(hào)其中真命題的序號(hào)是 三、解答題17. 已知an是一個(gè)等差數(shù)列，且 a2 = 1

19、, a5 = - 5. (I)求an的通項(xiàng)an ； (n)求an前n 項(xiàng)和S的最大值.18. 已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，ai= 1,且點(diǎn)(.an,an+i)( n N*)在函數(shù)y= x, 3,+ 1的圖象上.(I)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(n )若列數(shù)bn滿(mǎn)足b1 = 1, bn+1 = bn + 2處，求證：bnbn+2 b2n+13 an 119. 設(shè)數(shù)列a n的首項(xiàng) a1 (0 , 1) , an =2，n = 2, 3, 4,(I)求a n的通項(xiàng)公式；(n)設(shè) 4 = an 3 2an,證明bnVbn+1，其中n為正整數(shù).20. 已知數(shù)列an中 a1= 2, an+1 = ( :2 1

20、)( a n+ 2) , n= 1, 2, 3，.(I)求a n的通項(xiàng)公式；(n)若數(shù)列a n中 b1= 2, bn+1=, n= 1 , 2 , 3，.證明：:2 bn0,且 ql 時(shí)，bnV6,故 bnWc.3. B【解析】因?yàn)?qz 1, b10, bn0，所以 b1b 11,a6=a1 + anb1 + bn2b1bn= b6.4. B【解析】 因數(shù)列為等差數(shù)列，an= Sn Sn 1= 2n10,由5v2k 10v 8,得到k= 8.5. A【解析】Sa5 S5a4=(a 1 + a2+ a3 + a4)a 4q (a 1 + a2+ a3+ a4+ a5)a 4=a1 a4= a1

21、 q v 0 ,S 4a5 v S5a4.7.9.D【解析】由S = n(n + 1),w V=標(biāo)，當(dāng)n = 64即2 64 + 3450n50B【解析】由已知y 1(sinx11最小值12，無(wú)最大值.得 f(n)n1(n + 32)(n + 2)n2+ 34n + 64 =64n + + 34 n1n = 8 時(shí)取等號(hào)，即f(n) max= f(8)=501 2 1)+ 1,且 sinx 2, yv 1,所以當(dāng) sinx = 1 時(shí)，y 有11D 【解】等比數(shù)列an中 a2= 1 ,.S 3= a1 + a2+ a3= a2(_+ 1 + q) = 1 + q + -.當(dāng)公比 qqq丄1 0

22、 時(shí)，S3= 1 + q + 1 + 2 qT(q) ( q) = 1,q q = 3，當(dāng)公比 q v 0 時(shí)，S3 = 1 ( q q) w 1 .S 3 ( 8, 1 U 3,+8).B【解析】：3b是1 a和1 + a的等比中項(xiàng)，貝U 3b2 = 1 a2 a2 + 3b2= 1，令a= cos 0,3b = sin 0,0 (0 , 2 n )，所以 a + 3b = cos 0 + J3in 0= 2sin( 0+ ) w 2.v 610.A【解析】當(dāng) aiv 0,且 0v qv 1 時(shí),數(shù)列為遞增數(shù)列，但當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，還存11.在另一情況ai 0，且 q 1，故選 A.C【解

23、析】,anaw+ an由一v 1,得一 V 0a10a101X 20(a1+ a20)a1 + a202S20-v 0v 0-v 0，則要使a101S192 X 19(a1+ a19)Sn取得最小正值必須滿(mǎn)足S90，且S20V 0,此時(shí)n= 19.12.C【解析】f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y R,都有 f(x)f(y)=f(x + y) , a1= 2, an = f(n)(n N*), an+1= f(n + 1) = f(1)f(n)1=2an,-11 n2【1 -(2)nn =1122 nii1) = 2n2_n,. Tn= 2_，要使得 Tn2即可，故 M的最小

24、值為2,nn答案：21aiq ai114. ( 1,0 U (0 , 3 【解析】iq w - qw 3，但 |q| v 1,且 0,故 q ( 1,0 U (0 ,13 .22J215. 4 【解析】色護(hù)=(xytSL = 4.cdxyxy16. D 【解析】對(duì)于：TS 8 S3= a4+ as + a6+ a7+ a8= 5a6= 0,.S 5= Ss,又 dv 0, S5 = Ss為最大，故A正確；對(duì)于：根據(jù)等差中項(xiàng)知正確；對(duì)于：T d0,點(diǎn)(n , S)分布在開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)， 故Sn中一定有最小的項(xiàng)， 故正確；而ak ak+1 = d, ak ak 1 = d, 且0,故為假命題.三

25、、解答題a1 _l d117. 解 (I)設(shè)an的公差為d,由已知條件，ai+ 4= 5,解出a1= 3, d = 2.所以 an= a1 + (n 1)d = 2n + 5.n(n 1)22(n) S= na1 +d = n+4n= (n 2) + 4，所以 n= 2 時(shí)，S取到最大值 4.18. 【解(I )由已知得 an+1 = an + 1,即卩 an+1 an= 1,又a1= 1,所以數(shù)列 an是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，故 an = 1 + (a 1) xi=n.n1 2n2 + 1= 口 = 2-(n )由(I)知：an= n 從而 bn+1 bn= 2.bn = ( bn

26、 bn 1) + ( bn 1 th 2) +(匕2 b ) + 6= 2“ 1+ 2“1.因?yàn)?bn b n+2 b： 1 = (2n 1)(2 n+2 1) (2n 1 1) 22n+2n+2 n2n+2n+1nnn=(2 2 2 + 1) (2 2 2 1) = 52 + 42 = 2 V 0,所以 bn b +2V b 2 1.13 an 119.【解】(I)由an=2,n= 2, 3, 4,.整理得1 an= 2(1 an 1).又1 - aiM 0,所以1 an是首項(xiàng)為11 a1,公比為一的等比數(shù)列，得an= 1 (1 a(1 n 12),3(H)由(I)可知 0v anV 2,故

27、bn 0 .那么，bn+1 bn = an+1 (3 2玄門(mén)+1) an (3 2an)=(3 an?3 an29a n2 ) (3 2X 2 ) an (3 2an) = 4 (a n 1)2.bnV bn+1,為正整數(shù). 2 2又由(I)知 an 0，且 anM 1，故 bn+1 bn 0,因此20.【解】(I)由題設(shè)：an+1 = (；2 1)(an + 2)=(遼1)(an.2)+ ( .21)(2 + ,=(；2 1)(a n2) +2 ,an+12= (,2 1)(a n2).所以，數(shù)列an ：2a是首項(xiàng)為2 ；2,公比為；2 1)的等比數(shù)列，an ：2 = ,：2( ,：2 n1

28、),即 an的通項(xiàng)公式為 an= .-2( ；2 1)n+ 1 , n= 1, 2, 3, (H)用數(shù)學(xué)歸納法證明.(i)當(dāng)n= 1時(shí)，因農(nóng)V 2, b1= a1= 2,所以匹V Wa1，結(jié)論成立.(ii)假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)，結(jié)論成立，即 2V bka 4k 3,，也即 0V bn -一_ 2Wa4k 32,當(dāng) n = k + 1 時(shí)bk+1 3bk+ 42bk+ 3(3 2 2)bk + (4 2)2bk + 3(3 2 2)(b k 2)2bk+ 311廠(chǎng)又V = 3 2 2,2bk+ 32 2 + 32bk+ 3所以 bk+1 ,;2 = (3 2 j)(b：_，2) v (3 2 ：2)2(bk 2) (2 1)4(a4k 3 ；2) = a4k+1也就是說(shuō)，當(dāng)n = k+ 1時(shí)，結(jié)論成立.根據(jù)(i)和(ii)知 ：2 V bnWa% 3, n= 1 , 2, 3, 2 21.【解】(I)設(shè)這二次函數(shù) f(x) = ax + bx (a 豐 0)，貝U F(x)= 2ax + b,由于 f(x) = 6x-2,2得 a = 3 , b = 2,所以 f(x) = 3x 2x.,又因?yàn)辄c(diǎn)(n , S