專題10 基本初等函數（知識梳理）（理）（原卷版）

1、專題10 基本初等函數（知識梳理）一、指數與指數函數(一)指數式的化簡與求值1、化簡原則：化根式為分數指數冪；化負指數冪為正指數冪；化小數為分數；注意運算的先后順序。提醒：有理數指數冪的運算性質中,其底數都大于零,否則不能用性質來運算。2、結果要求：題目以根式形式給出,則結果用根式表示；題目以分數指數冪形式給出,則結果用分數指數冪形式表示；結果不能同時含有根式和分數指數冪,也不能既有分母又有負分數指數冪。例1-1已知,則化簡的結果是( )。A、 B、 C、 D、變式1-1化簡的結果是( )。A、 B、 C、 D、變式1-2已知,求下列各式的值：(1)；(2)；(3)。(二)指數函數的圖像和性質

2、1、定義：一般地,函數(且)叫做指數函數,其中是自變量。2、圖象和性質：圖象共性必過第一、二象限及軸正半軸 必過點,漸近線為軸圖形都是下凹的,都是無界函數 定義域為,值域為異性在上是增函數在上是減函數(1)單調性是指數函數的重要性質,特別是函數圖像的無限伸展性,軸是函數圖像的漸近線。當時,； 的值越小,圖像越靠近軸,遞減的速度越快。當時,； 的值越大,圖像越靠近軸,遞增的速度越快。(2)畫指數函數(且)的圖像,應抓住三個關鍵點：、。注意：與指數函數有關的函數的圖象問題的研究,往往利用相應指數函數的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象。一些指數方程、不等式問題的求解,往往結合相應的指數型函數圖象利

3、用數形結合求解。(3)熟記指數函數、在同一坐標系中圖像的相對位置,由此掌握指數函數圖像的位置與底數大小的關系。(4)在有關根式、分數指數冪的變形、求值過程中,要注意運用方程的觀點處理問題,通過解方程(組)來求值,或用換元法轉化為方程來求解。(5)比較指數冪值的大小時,要注意區(qū)分底數相同還是指數相等。是用指數函數的單調性,還是用冪函數的單調性。要注意指數函數圖象和冪函數的圖象的應用,指數函數的圖象在第一象限內“底大圖高(逆時針方向底數依次變大)”。還應注意中間量、等的運用。注意：(1)指數函數的定義域為所有實數的集合,值域為大于的實數集合,這里的前提是大于,對于不大于的情況,則必然使得函數的定義

4、域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。(2)可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當從趨向于無窮大的過程中(當然不能等于),函數的曲線從分別接近于軸與軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近于軸的正半軸與軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線是從遞減到遞增的一個過渡位置。例1-2函數(且)的圖象可能是( )。A、 B、 C、 D、例1-3函數(且)必過 點。變式1-3函數(且)必過 點。變式1-4函數(且)必過 點。例1-4函數的單調遞增區(qū)間是( )。A、 B、 C、 D、例1-5求下列函數的定義域、值域：(1)； (2)； (3)； (4)(且)。(三)指數函數的綜合應用例1-6設,則、的大

5、小關系為( )。A、 B、 C、 D、例1-7已知,那么、的大小關系是( )。A、 B、 C、 D、無法確定例1-8設函數(且),則( )。A、 B、 C、 D、例1-9當時,證明函數是奇函數。二、對數與對數函數(一)對數及其運算1、一般地,對于指數式,我們把“以為底的對數”記作(且)。其中叫做對數的底數,叫做真數。對數函數的一般形式為(且),它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對于的規(guī)定,同樣適用于對數函數。注意：(且)的關系是解決有關指數、對數問題的有效方法,在運算中要注意靈活運用。下圖給出對于不同大小所表示的指數函數和對數函數的圖形：圖像指數函數：與對數函數：與可以看到對數函數的

6、圖形只不過是指數函數的圖形關于直線的對稱圖形,因為它們互為反函數。2、對數的運算規(guī)律： (且,)(1),；(2),；(3),；(4)；推廣。注意：在運用時,在無的條件下應為(且為偶數)。3、幾種常見對數對數形式特點記法一般對數底數為(且)常用對數底數為自然對數底數為4、對數式的化簡與求值對數運算法則是在化為同底的情況下進行的,因此,經常會用到換底公式及其推論；在對含有字母的對數式化簡時,必須保證恒等變形。利用對數運算法則,在真數的積、商、冪與對數的和、差、倍之間進行轉化。例2-1求值：(1)； (2)； (3)。例2-2求值：(1)若,求的值；(2)若,求的值。變式2-1關于的方程的解為 。變

7、式2-2已知函數,若,則 。 (二)對數函數的圖像及其性質1、對數函數的圖像圖像共性必過第一、四象限及軸正半軸 必過點,漸近線為軸都是無界函數 定義域為,值域為異性在上是增函數,圖形都是上凸的在上是減函數,圖形都是下凹的2、對數函數比較大小對數函數值大小的比較一般有三種方法：單調性法,在同底的情況下直接得到大小關系,若不同底,先化為同底。中間值過渡法,即尋找中間數聯系要比較的兩個數,一般是用“”、“”或其他特殊值進行“比較傳遞”。圖像法,根據圖像觀察得出大小關系。作差或作商法。3、對數函數與指數函數的關系指數函數互為反函數對數函數(且),(且)若指數函數轉化成對數函數,但這么寫不符合函數形式,

8、就把命名為 指數函數的圖像與對數函數的圖像關于直線軸對稱,即互為反函數的圖像關于直線軸對稱例2-3設,則( )。A、B、C、D、變式2-3設,則( )。A、B、C、D、4、對數函數的圖像與性質及應用研究對數型函數的圖像時,一般從最基本的對數函數的圖像入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到對數型函數的圖像。例2-4作出下列函數的圖像：,； ；。例2-5已知函數(且),若當時,則在定義域上是()。A、減函數B、增函數C、常數函數D、不單調的函數例2-6求下列函數的定義域、值域及單調區(qū)間：(1)； (2)； (3)； (4)。變式2-4求函數的定義域。變式2-5已知,(且),若,則與在同一坐標系內的圖像

9、可能是()。A、 B、 C、 D、變式2-6已知(且),求的定義域并判斷的單調性。三、冪函數(一)冪函數的定義：一般地,形如()的函數稱為冪函數,其中為常數。1、判斷冪函數需：系數為,底數為變量,指數為一常數,后面不加任何項。例如：,均不是冪函數,再者注意與指數函數的區(qū)別,例如：是冪函數,是指數函數。2、由于冪函數的解析式中只含有一個參數,因此只需一個獨立的條件即可確定其解析式,當已知冪函數經過某一點時,可采用待定系數法求出解析式。例3-1已知點在冪函數的圖像上,求的解析式。變式3-1已知函數是冪函數,求的解析式。例3-2已知冪函數在上是增函數,則()。A、B、C、或D、變式3-2已知函數,當

10、為何值時,：是冪函數；是冪函數,且在上的減函數；是正比例函數；是反比例函數；是二次函數。(二)冪函數的圖像和性質1、圖像分類：直線型：或；拋物線型：或；雙曲線型：。2、冪函數的圖像特征：、都是奇數是奇數、是偶數是偶數、是奇數共性必經過點,必經過第一象限,必不經過第四象限。除原點外,任何冪函數圖像與坐標軸都不相交。任何兩個冪函數最多有三個大眾點。異性和的冪函數在區(qū)間上的性質：的冪函數在區(qū)間上的性質：必經過點；都是遞減函數；圖像向上與軸正向無限接近,向右與軸正向無限接近。必經過兩個點和；都是遞增函數；冪函數與直線有如下關系：在的下方在的上方在的上方在的下方3、冪函數規(guī)律總結(1)在研究冪函數的性質

11、時,通常將分式指數冪化為根式形式,負整指數冪化為分式形式再去進行討論；(2)對于冪函數,我們首先應該分析函數的定義域、值域和奇偶性,由此確定圖像的位置,即所在象限,其次確定曲線的類型,即,和三種情況下曲線的基本形狀,還要注意,三個曲線的形狀；對于冪函數在第一象限的圖像的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負雙,大豎小橫”,即()時圖像是拋物線型；時圖像是雙曲線型；時圖像是豎直拋物線型；時圖像是橫臥拋物線型。(3)曲線在第一象限的凹凸性：時,曲線下凸；時,曲線上凸；時,曲線下凸。例3-3已知冪函數()的圖像與軸、軸都無交點,且關于原點對稱,則()。A、或B、或C、或D、變式3-3已知函數,當為何值時,在第一象限內的圖像是上升曲線。例3-4請把相應的冪函數圖像代號填入表格。；。例3-5分別畫出：,的大致圖像。變式3-4分別畫出：；,的大致圖像。變式3-5作函數的大致圖像,求的定義域、值域、單調區(qū)間,并求當時,函數的值域。三、冪函數的大小比較1、在比較冪值的大小時,必須結合冪值的特點,選擇適當的函數。借助其單調性進行比較,準確掌握各個冪函數的圖像和性質是解題的關鍵。2、比較兩個冪值的大?。?1)若指數相同(或能化為同指數),則利用冪函數的單調性；(2)若底數相同(或能化為同底數),則利用指