深圳數(shù)學 八年級 勾股定理 能得到直角三角形嗎

1、能得到直角三角形嗎【基礎知識精講】1掌握勾股定理的逆定理。2會用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形?！局攸c難點解析】1勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在ABC中，若，則ABC為Rt。2如何判定一個三角形是否是直角三角形首先求出最大邊（如c）；驗證與是否具有相等關系。若，則ABC是以C90的直角三角形。若，則ABC不是直三角形。A重點、難點提示1掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形，或兩條直線是否相互垂直；2能用勾股定理和勾股定理的逆定理解決一些實際問題B考點指要勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定

2、理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，而且可以判定三角形中哪一個角是直角，從而產生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過計算來證明，這中間體現(xiàn)了一種代數(shù)方法解幾何題的思想（體現(xiàn)數(shù)形結合數(shù)學思想）三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為最大邊，（1）若，則三角形是直角三角形；（2）若，則三角形是銳角三角形；（3）若，則三角形是鈍角三角形，所以使用勾股定理的逆定理時常需要找出三角形的最大邊滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)【例題分析例1：已知ABC的三邊為a、b、c，有下列各組條件，判定ABC的形狀（1）a41，b40，c9；（2）思路分析為判定三角形的形狀，可

3、利用勾股定理的逆定理，判斷三角形的最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和（抓住最大的邊）解：（1），而，（完全平方公式的應用），ABC是直角三角形，并且A是直角（2）mn0，而ABC是直角三角形，并且B是直角點評：利用勾股定理的逆定理不僅能夠判斷出三角形的形狀，而且還能夠知道三角形的哪個角是直角例2：如圖111，有一個棱長為2米的正方體，現(xiàn)有一繩子從A出發(fā)，沿正方體表面到達C處，問繩子最短是多少米？解：將該正方體的右表面翻折至前表面，使得A、C兩點共面，連結AC，此時線段AC的長度即為最短距離，即繩長最短為米點評：沿幾何體表面最短距離的問題通常都是將幾何體表面展開，求展開圖中兩點之間的最短距離，

4、但一定要注意展開圖中點的相應位置例3：如圖112，在四邊形ABCD中，C是直角，AB13，BC4，CD3，AD12，求證：ADBD（可將直線的互相垂直問題轉化成直角三角形的判定）解：在RtBCD中，BC4，CD3，由勾股定理，即BD5，在ABD中，BD5，AD12，AB13，由勾股定理的逆定理，ABD是直角三角形，并且ADB是直角，ADBD例4：若ABC的三邊滿足條件：，試判斷ABC的形狀思路分析若一個方程有多于一個的未知數(shù)，如本題有三個未知數(shù)，想要分別解出這些量只能依靠條件的恒等變形，挖掘隱含條件來處理解：原等式可化為，配方，得：，（配方要準確、熟練）當且僅當才能成立，（非負數(shù)原理）a5，b

5、12，c13，最大邊為c，而，根據勾股定理的逆定理，ABC是直角三角形，且C為直角點評：要學會觀察已知條件的特征，從而尋找解決問題的突破點例5：已知，如圖113，D是ABC邊BC上一點，且，求證：思路分析從邊的平方關系就會聯(lián)想到直角三角形，這是勾股定理逆定理的基本思路證明：在ADC中，（注意已知形式的提示）由勾股定理的逆定理可知：ADC90，ADBC于D，在RtABD和RtACD中，由勾股定理：，兩式相減，得：例6：如圖114，南北向MN為我國的領海線，即MN以西為我國領海，以東為公海上午9時50分，我國反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時13海里的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正在線上

6、巡邏的我國反走私艇B密切注意反走私艇A通知反走私艇B：A和C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里反走私艇B測得距離C艇是12海里，若走私艇C的速度不變，最早會在什么時間進入我國領海？解：設MN與AC相交于E，則BEC90，又，ABC為直角三角形，ABC90，MNCE，走私艇進入我領海的最近距離是CE，（認真審題是解決本題的關鍵）兩式相減得：，9時50分51分10小時41分（將實際問題轉化為數(shù)學模型）答：走私艇C最早在10時41分進入我國領?！局锌济}點評】例1 證明邊長為3(2m3),(m是正整數(shù))的三角形是直角三角形。證明：，3(2m3)，是最長的一條邊。18（）81，所以根據勾股

7、定理的逆定理可知，以此三數(shù)為邊長的三角形是直角三角形。例2 試判斷：三邊長分別為，2n1,(n0)的三角形是否是直角三角形？點悟：先確定最大的邊。解：，為三角形中最大邊。又 。根據勾股定理的逆定理可知，此三角形為直角三角形例3 如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足，判斷ABC的形狀。點悟：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關系，而題目中只有條件，故只有從該條件入手，解決問題。解：由，得，。，。a3，b4，c5，。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。點撥：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關系來研究圖形的位置關系的。例4 在正方形ABCD中（圖118）F為DC的中點，E為BC上一點，且E

8、CBC，求證：EFA90。證明：設正方形ABCD的邊長為4a，則ECa，BE3a，CFDF2a，RtABE中，由勾股定理得：。在RtADF中，由勾股定理得：。在RtECF中，由勾股定理得：。在AFE中，。又，。由勾股定理的逆定理可知：AEF為Rt，且AE為最大邊，AFE90。例5 如圖119，已知ABC中，ACB90，CDAB于D，設ACb，BCa，ABc，CDh，求證：（1）chab；（2）以ab，ch，h為三邊可構成一個直角三角形。證明：（1）在RtABC中，CDAB，即 abch。.(ch)(ab)又在RtABC中，ABc為斜邊，ca，cb。即 (ch)(ab)0。chab。（2）由（1

9、）得 ，。，。以ab，h，ch 為邊的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。點撥 要比較a 與b 的大小，可先求ab，再將結果與0比較。若ab0，則ab；若ab0，則ab，若ab0，則ab。直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半，也等于斜邊與斜邊上的高的乘積的一半。故兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積。常用此來求出斜邊上的高。例6 如圖120，ABC中，C90，M是BC的中點，MDAB于D，求證：點悟：欲證，只須將BD用AD、AC 表示出來即可，這樣有只要證明 即可。即證明就可以了。證明略。例7 已知在ABC中，三條邊長分別為a、b、c，且an，b ，c（n是大于2的偶數(shù)）。求證：AB

10、C是直角三角形。證明：，由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。例8 如圖121，在等腰RtABC中，CAB90，P是ABC內一點，且PA1，PB3，PC。求：CPA的大小 。點悟：已知條件中的PA、PB、PC過于分散，可將其集中到一個或兩個三角形中，再應用三角形的有關知識解決問題。解：在ABC外部作AQCAPB，連結PQ，則AQAP1，CQPB3，QACPAB。PABPAC90，QACPAC90，即 PAQ90。，QPAPQA45。在PQC中，。QPC90。CPACPQQPA9045135。點撥：本例通過在三角形外作APB的全等形，從而將已知的PA、PB、PC集中到一起，為進一步解題創(chuàng)造了

11、條件?！就竭_綱練習】一、選擇題1已知ABC中，ABAC，ADBC于D，那么 （ ）（A）BCAB （B）BCAD90（C）ADBD （D）BBAD2三角形的三邊長為a、b、c，且滿足等式，則此三角形是 （ ）（A）銳角三角形 （B）直角三角形（C）鈍角三角形 （D）等邊三角形3在ABC中，BC邊上的高，AC邊上的高，AB邊上的高，那么a、b、c三邊的比a：b：c為 （ ）（A）1：2：3 （B）2：3：4（C）6：4：3 （D）不確定4下列三角形中，不一定是直角三角形的是 （ ）（A）三角形中有一邊的中線等于這邊的一半（B）三角形的三內角之比為1：2：3（C）三角形有一內角是30，且有一邊是

12、另一邊的一半（D）三角形的三邊長分別為、2mn和5直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長為d，則這個三角形的周長為 （ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題6若一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)的偶數(shù)，則它的周長為_。7周長為2a的等腰直角三角形的斜邊的長為_，它的面積為_.8.在ABC中，如果AB，AC2mn，BC，則ABC是_三角形，其中_90。9如圖122，ABDC90，AD12，ACBC，BAD30，則BC_。10如圖123，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB16cm，CD8cm，AD13cm，則_。11如圖124，在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，EFBC交AC于M，若CM

13、5，則_。三、解答題12如圖125，在RtABC中，A90，M是BC的中點，Q為AC上任意一點，MPMQ，延長QM至N，使MNQM，連QN、BN。求證：。13在RtABC中，ABc，BCa，CAb，且，求證：A：B：C1：2：3。14設P為等邊ABC內一點，如果。求證：BPC150。15如圖126，ABm，CDn，BCDADC90。求證的值。16若ABC的三邊a、b、c滿足條件，判斷ABC的形狀。17已知ABC中，AB17，BC30，BC上的中線AD8，求證：ABC為等腰三角形。18CD是ABC的高，D在邊AB上，且有。求證：ABC為直角三角形?！揪C合能力訓練】1已知a、b、c是ABC的三邊，

14、（1）a0.3，b0.4，c0.5；（2）a4，b5，c6；（3）a7，b24，c25；（4）a15，b20，c25上述四個三角形中，直角三角形有( )個A1B2C3D42下列命題中的假命題是( )A在ABC中，若ACB，則ABC是直角三角形；B在ABC中，若，則ABC是直角三角形；C在ABC中，若A、B、C的度數(shù)比是5：2：3，則ABC是直角三角形；D在ABC中，若三邊長a：b：c2：2：3，則ABC是直角三角形3已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，則第三邊長為_4當n為自然數(shù)時，求證：以，b2n1，為三邊的三角形是直角三角形5如圖115，ACB45，BC1，把ABC沿直線AC折疊過去，點B

15、落在B的位置上，在圖中標出B的位置，并求BB的長6已知：如圖116，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等的四邊形）的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，若AB8cm，BC10cm，求EC的長7如圖117，BEAD，AEBC60，AB4，DE3，求證：ADCD8如圖118，在ABC中，ACB90，CD是AB邊上的中線，E是CD延長線上一點，DECD，求證：BCBE9一段長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面6m，現(xiàn)將梯頂沿墻面下滑1m，則梯子底端與墻面距離是否也增長1m？說明理由，并與同學討論你的結論10如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上

16、方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）參考答案【同步達綱練習】一、1B； 2B； 3B； 4C； 5C。二、624； 7，； 8直角，A； 9； 10。11100。三、12先證MQCMNB。BNCQ且PNPQ。又CMBN，PBNABCMBN90。即。13由得。又，。C90。又由得。A30。又由得，B60。故A：B：C1：2：3。14以BP為邊作等邊PBD，連結CD，則由BPBD，ABPCBD，BABC得ABPBCD。故PADC。在PCD中，由于，故DPC90。BPC6090150。15延長CB、DA交于點E，由BCDADC90得E90。16a5，b12，c13，ABC為直角三角形。17在ABC中，AB17，AD8，BD15。 ABD為直角三角形在RtADC中，AC17。 ABC為等腰三角形。18在RtACD中， 同理ABC是直角三角形。【綜合能力訓練】1C；2D；35或；4略；