柯西不等式的證明推廣及應(yīng)用

1、柯西不等式的證明、推廣及應(yīng)用1柯西不等式的證明對(duì)柯西不等式本身的證明涉及有關(guān)不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟練掌握此不 等式的證明對(duì)提髙我們解決一些不等式問題和證明其它不等式有很大幫助。本文所說的柯西不等式是指工也 0B2,得證。1-2向量法證明令 & = (cw) B = Qdb“ 、b) 則對(duì)向量 有 f _ =cos(7kl，由-一殲網(wǎng)dp = a+a2b2+- +anbn/=| /=|當(dāng)且僅當(dāng)cos()=l即平行時(shí)等號(hào)成立。13數(shù)學(xué)歸納法證明i)當(dāng)n=l時(shí)，有()2 =|2/?22不等式成立。當(dāng) n=2時(shí)，(a# + a2b2 )2 = djb： + 仇 + 2alba2b2(ct

2、2 +(1 +叨=%】+“2 苛 +4遲 +0因?yàn)?方2? +。2迓 2afya2b2,故有（砧 + a2b2）2 0（a G R）可得柯四不等式成立。以上給岀了柯西不等式的幾種證法。不難看出柯四不等式的重要性。它的對(duì)稱和諧的結(jié) 構(gòu)、廣泛的應(yīng)用、簡潔明快的解題方法等特點(diǎn)深受人們的喜愛。所以，若將此泄理作進(jìn)一步 剖析，歸納它的各類變形，將會(huì)有更多收獲。2柯西不等式的推廣2.1命題1若級(jí)數(shù)與f k收斂，則有不等式1$也土Xi】i-1/-) I1 l-i證明：&,土分收斂，05工4&1-1f-l 1=1 、筲茲2 丫左討.弓訕攵斂,且塑孕也S塑孕2半2/-1=17/=1/=1從而有不等式$心成立。

3、r-1 丿 J-12.2命題2【3】 、2若級(jí)數(shù)與f/才收斂，且對(duì)5已N有f 吶Sa：b；,則對(duì)定義在a,b.,】11/1i】 jl證明：因?yàn)楹瘮?shù)/(Qg(x)在區(qū)間匕閏上連續(xù)，所以函數(shù)f(x)g(x f2(x g2(x)在“小上可積，將匕對(duì)區(qū)間n等分，取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為舟，由圧積分的肚義得：f f(x)djc = Jim 土冷, g(x)dx = lim g 冷 f f2 (x)dx = lim f2 G 曲 f g $ (xx = lini g2 ()心Z-lr-1令打=嚴(yán)(捫,葉=(捫,則與收斂，由柯四不等式得1-1j(f/G)gG)Ax嚴(yán)(為冷g備冷/=,丿 嚴(yán)人1=1丿從而有不等

4、式(塑步缺僥剛生爭2(加輒傘2(呂冷)( /G)g(訛) f /2(加 g2(訕。2.3赫爾德不等式設(shè) a】0,勺0( = 12“),p0,g0, 滿 足 丄+丄=1, 則p q1=1刃叮，等號(hào)成立的充分必要條件是q=W = 12小；兄0=1 證明：首先證明丄+丄=1時(shí)，對(duì)任何正數(shù)A及B,有丄Ap+-B(lAB.p qp q對(duì)凹函數(shù)/(x)=Inx,有:ln| 丄 Ap+-B(l 丄 In A + 丄 In Bq =n AB 03柯西不等式的應(yīng)用我們知道，柯西不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支里都有著極英廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域有 著不同的表現(xiàn)形式，對(duì)它的應(yīng)用可謂靈活多樣?？挛鞑坏仁皆诔醯葦?shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)

5、中有著不 菲的價(jià)值，它的應(yīng)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性。3.1在不等式的證明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接運(yùn)用到其他不等式的證明中，運(yùn)用柯四不等式證明其他不等式的關(guān) 鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并按照柯西不等式的形式進(jìn)行探索。例1：設(shè)定義在R上的函數(shù)/=lg !2 +_+( - 1 .若oSGjiN、且11心 2,求證：/(2x)2/(x).分析：要證明/(2x)n2/(x),即證:|2x + 2“ + + ( _ 1尸 + an2x 小.V + 2 + + (n-1) + anxgN 2 lgnn只需證:l2r + 22x + + (/? - 1)2a + an2x ? l

6、v + 2* + +(“ -1/ + anxnn證明：nl2x +2 +(n 一 1 )2n2 2n + an2x= (l2 +12+- + 12 )l2x 4- 22x + - + (” -l)2v + an2x rl +2“ + +(n-i)v+亦討又因 0 a即尸 +肺,n21gll +2X + + (/?-l)v + anxn11證明：由柯西不等式得: +例2：已知,為互不相等的正整數(shù)，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n,有不等式4an 1+ + + 55因普+尹+斧（嗨+f 1 11 + + + 2Hi 1 r+11 1 + + + 1 2n丿】+丨1.4.a a25所以有1+丄+丄v 2 n

7、I11“11 1+ +12n1 + + + 2 H i +aa2所以有屮務(wù)+斧1+”+n / n A例3：設(shè)q no(j = i,2曲),則證明：工J工-a, n厶-1仏+ “2 +勺)證明：由柯西不等式，對(duì)于任意的】個(gè)實(shí)數(shù)有（襯+才+1?+卩+12)丄+吃+ )22?- (X + X. + + Xn )2即冊+%+ + N =n于是口-q 心-1）I”飛肓（-1）號(hào)=如弘+勺+%）。3.2利用柯西不等式求最值例已知實(shí)數(shù)abc,d滿足a+b+c+d=3, a1+ Ur +3c2 +6J2 =5試求a的最值解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2即 2b2+3c2+6cl2(b + c +

8、 ciy 由條件可得，5-a2(3-)2解得，1S&S2當(dāng)且僅當(dāng)血-辰一血時(shí)等號(hào)成立,代入b = c= d=時(shí)，6/max = 23 o21h = i c=_ J=_ 時(shí)，mln = 13.3求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛的應(yīng)用于求函數(shù)的極值或最值。事實(shí)上，由”1勺4- a2b2 + anb, +亦+ 4：加 + bj ),如將上式左邊當(dāng)作一個(gè)函數(shù)，而右邊值確定時(shí)，則可知5勺+6$+5乞的最大值與最小值分別是 +a2+b2 + + bn)與+Ct2 +b2 + + bn且取最大值與最小值的充要條件是 =學(xué)=4 2 bn反過來，如果把柯四不等式右邊的一個(gè)因式或兩個(gè)的積當(dāng)作函數(shù)，而苴他的因式已知

9、時(shí), 則可求出此函數(shù)的最小值。例1：求函數(shù)y=4VT + j9-3x的最大值。解：函數(shù)y = 4VT + j9_3x的泄義域?yàn)椋?,3y = 4A/r2 + V9-3x=45/x-2+V3-A/3xA/42-(V3)2當(dāng)且僅當(dāng)4 匸=V3匸即x = e 2,3時(shí)等號(hào)成立。所以 ymax = 例2：求函數(shù)y = asmx + bcosx的極值，英中a.b是常數(shù)。解：由柯四不等式：y2 =(dsinx + /?cosx)，(6/2 +Z?2)(sin2 x + cos2 x)=/ +b2故有 _ +歹 y yla1 +b2 o當(dāng)且僅當(dāng)蘭上=時(shí),即x = arc tan+ (/: wZ)時(shí)， a b

10、b函數(shù) y = sin x + bcosx 有極小值 一la2 +b ,極大值 y/a2 +b2。例 3：已知 a.b,c,R 為常數(shù)，當(dāng) a-2 +y2 + z2 = R2 時(shí)，求函數(shù) f (x, y, Z)= cix + by + cz 的最大值與最小值。解：由柯四不等式：f2(x, y,z) = (ax + by + cz)2 (2 +b2 + c2)(x2 + y2 +?)=(/ +b2 +c2)R2故 |/(x, y, z y = bt,z = ct 代入 x2+y2+z2 =疋得(g2 +b2+c22 = R2則 t = ； 、 、即當(dāng)(X, y,z) = , , = (d,b,c

11、)時(shí), 、lc廣 +b +cy/cr +Zr +rfyyz) = Ra2+h2+c2分別為所求的最大值與最小值。3.4求參數(shù)范圍例：已知對(duì)于滿足等式x2+3y2=3的任意實(shí)數(shù)，對(duì)(x,y)恒ax+y2,求實(shí)數(shù)a的取值解： . ax+ y =ax + =-4= y3y J/ +* J/ +3y2 = J3a，+1/.要使對(duì)(兀y)恒有|ax+ y 2|ov+兒 ,2 即V32 + l -lt/z-2+b2+c2 證明：由柯西不等式得看+ =+ 厲亠 + 何丄 S Jor+by + cz J丄+ 丄 + 丄ylbJcV a b c 記SABC的而積，則2曙二等y/x + yfy +4z 43S中a

12、, b, c為三角形的三邊長，S為三角形的而積。證明：由海倫一一秦九韶而積公式：S2=5(5-4-y-4其中S=“ + + .2于是16S2 = (a + b + cb + c-ac + a -ba + b-c)= 2(lrc2 +c2a2 +a2b2)-a4 -b4 -c4由柯西不等式：(b2c2 + c2a2 + crb4(/?2c2 +c2a2 +a2b2)o變形得：a4 +b4 +c4 + 2b2c2 4-2c2a2 +2a2b2 3(2b2c2 + 2c2a2 + 2ct2b2 -a4 -b4 -c4)即(,+滬+可 3x165故有“2 +b2 +c2 4y/3S,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c

13、時(shí)等號(hào)成立。例 3：在三角形 ABC 中，證明一 sin nA + srn nB + sin nC 2 2證明：由柯西不等式：(sin nA + sin nB + sin nCf = (1 - sin nA +1 sin ”3 +1 sin nC)2 (l2 +12 + l2)(sin2 nA + sin2 nB + shv nC)即(sin nA + sin nB + sin nC)2 3(sin2 nA + sin2 nB + sin2 nC) (1)因?yàn)? sin nA + sin /?B + sin nC = 1-cos nA +l-cos2/?B2l-cos2nC2=2-cos2 M

14、-*(cos2“B + cos2”C)=2-cos2 nAconB + nCjcoriB - nC) 2-cos2 nA + |cos(7iB + nC)cos(nB-nC 2-cos2 nA + |coS(nB + nC)|故 sin ziA + sin2 z/B + sin2 7?C2-cos2 M + |cos(/z3 + C)|(2)又因?yàn)? 一 cos2 /?A + |cos(/?B + Cj = 2 + |cos /zA|(l - |cos 內(nèi))S 2 +|cos /z/l| + (1 - |cos /zA|)-,19因而 2-cos- nA + |c osnA 2 + - = -

15、(3)將(3)代入(2)得sin2 nA +sin2 nB + sin2 nC -(4)4將(4)代入(1)得(sinnA + sinnB + sinnC)2 (-8x + 6y-24 z)2(1)(x2 + y2 + z2)(- 8)2 + 6, + (- 24)2 = 2 x(64 + 36 + 576)= 39?4又(-8x+6y-24)2=392 即( + 尸 + 盤(_8+62+(_24)2=(_8% + 6丁-24“2 即（1）式取等號(hào)。由柯西不等式取等號(hào)的條件有 （2） -86-24（2）式與一8x + 6y-24z = 39聯(lián)立，則有x = - = ,z = 1326133.7

16、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在槪率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)-13- （兀-秋兀-刃J,并指出且I越接近于1,相關(guān)程度越大；I越接近于 r-1r-10,則相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。記4=兀一工，勺=x_y,則廠= j =,由柯四不等式有|r| 1“nnv _ 卞 b當(dāng)im=i時(shí)，工鬧:此時(shí)，-j-=-L=k. k為常數(shù)。（.1/./-1齊一x q點(diǎn)（齊，x） j = l,2,均在直線y-y = k（x-x）.,當(dāng)|t1 時(shí)，Mab即乞（柿右質(zhì) * r-1/-Ir-1j-Ir-1r-1而f （也-ixi?;=- z（吶-幻勺fr-l/-I/-

17、i15/S j0= atb： - a ,/, P 為常數(shù)。= = k, k 為常ai兀一壬 a,數(shù)點(diǎn)（兀.,切均在直線y-亍=乩丫一壬）附近，所以|M越接近于1,相關(guān)程度越大；當(dāng)|M 0 時(shí)，仏0）不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)k使點(diǎn)（心片）都在直線y-y = -J） 附近。所以I越接近于0,則相關(guān)程度越小。4中學(xué)數(shù)學(xué)中柯西不等式的應(yīng)用技巧在上文柯西不等式的應(yīng)用中可以看出，柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的 不等式，而且它對(duì)初等數(shù)學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用，利用它能方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān) 問題。下而我們特別以柯西不等式證明不等式為例，談?wù)劥祟悊栴}的解題技巧。4.1巧拆常數(shù)222 Q例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：二一+ 二+ 二一a + b b + c c + a a + h + c分析：因?yàn)閍、b、c均為正 所以為證結(jié)論正確只需證2(G + b + dj 丄 + 丄+ ! 9 a + b b + c c + a J而2G + + c) = (d + )+(b + c)+(c + d)又9 = (1 + 1 + 1)24.2重新安排某些項(xiàng)得次序例：a b 為非負(fù)數(shù)，a+b=l x.x2 e /?+ 求證：(6/x)+ bx2