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文檔簡介

1、會計學1行列式性質行列式性質第1頁/共27頁111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 1 21 21 12 2()()( 1)nnn ni iij jji ji ji jaaa1 2121 2(.)12.=( 1)nnnj jjjjnjj jja aa1 2121 2(. )12.=( 1)nnni iiiii ni iia aa復習:行列式的定義第2頁/共27頁1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa問題問題: 從理論上說,利用定義可求任一行列式的值從理論上說,利用定義可求任一行列式的值, ,但對但對n階階行列式,要作行列式,要作n!1次加減法,

2、每項要作次加減法,每項要作n1次乘法,次乘法,總共作總共作n!(n1)次乘法次乘法。如如n5,需,需119119次加減法,次加減法,480480次乘法。故高于次乘法。故高于3 3階的階的行列式常利用性質轉化為特殊行列式再計算行列式常利用性質轉化為特殊行列式再計算. .第3頁/共27頁1.2 行列式的性質行列式的性質111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa ,112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 稱為稱為D的轉置行列式的轉置行列式 T turn D中的中的aij在在DT中的位置中的位置: :D與與DT互為轉置行列式,即互為轉置行列式,即: : j行行i列列(

3、DT)T D設第4頁/共27頁性質性質1:1: 行列式與其轉置行列式的值相等行列式與其轉置行列式的值相等. .即即: :注注: :這里行列式的值相等這里行列式的值相等; ; 而而(DT)TD形式也相同形式也相同. .該性質由行列式定義易理解、證明。該性質由行列式定義易理解、證明。 由此,行列式的行和列地位相同,由此,行列式的行和列地位相同,故對故對行行成立的性質對成立的性質對列列也成立。也成立。DDT第5頁/共27頁性質性質2:2:互換行列式的兩行互換行列式的兩行( (列列),),行列式變號行列式變號. .證證: :左一般項左一般項112()12( 1)inssinjjjjjijjnjsjaa

4、aaa 其其n個元素也是右行列式不同行不同列元素個元素也是右行列式不同行不同列元素, ,符號符號: :11(12)()()( 1)( 1)isnisnsinjjjjjjjj 1211121111211122121212iiinsssnsssniiinnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa i行行i行行s行行s行行第6頁/共27頁注注: : 常以常以 ri 表示行列式的第表示行列式的第 i 行行(row),以以 ci 表示行列式的第表示行列式的第 i 列列(column).ijrrijcc記號記號: :推論推論: : 兩行兩行( (列列) )完全相同完全相同, ,

5、行列式值為行列式值為零零. .DD第7頁/共27頁性質性質3:3:111211212niiinnnnnkaaaaaaaakka111211212niiinnnnnaaaaaaaaak 即即: :行列式任一行行列式任一行( (列列) )的公因子可提到行列式之外的公因子可提到行列式之外. 用常數(shù)用常數(shù) k 乘行列式任意一行乘行列式任意一行( (列列) )的諸元素的諸元素, ,等于用等于用 k 乘這個行列式乘這個行列式. . 由行列由行列式定義式定義易證易證記號記號: :()()iiiirk ckrk ck行行列列推論推論: :行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行( (列列) )元素成比例元素成比例

6、, ,則此行則此行 列式等于零列式等于零. .第8頁/共27頁性質性質4:4:11111211222nniinniiinnniababaaaaaaab1112112nnnnnaaaaaa 1112112nnnnnaaaaaa 1ia2iaina1ib2ibinb注注: :性質性質3,3,性質性質4 4又稱為線性性質又稱為線性性質即即: :行列式某行行列式某行( (列列) )所有元素均為兩數(shù)之和,則行列式所有元素均為兩數(shù)之和,則行列式可寫為兩行列式之和可寫為兩行列式之和. . ( (由行列式定義易證由行列式定義易證) )第9頁/共27頁性質性質5:5:行列式中某行行列式中某行( (列列) )元素

7、的元素的k倍加到另一行倍加到另一行( (列列) )的對應元素上去,行列式的值不變的對應元素上去,行列式的值不變. .11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa 1122111211212jiniiinjnninnijnnakaakaakaaaaaaaaaa 記號記號: :jirkr 行行jickc 列列該性質用得較多,它使行列式在等值變形前提下出現(xiàn)零元素,便于計算。該性質用得較多,它使行列式在等值變形前提下出現(xiàn)零元素,便于計算。 (右右 左左)性質性質4 4性質性質3 3推論推論第10頁/共27頁2311451331531201D 2131414,3( 2)120

8、10131105500711rr rrrr 4211020111300550026rr 141201451331532311rr 例例1 1 計計算算2411020111300550117cc432511020111300550008rr 40 第11頁/共27頁1231112311223112321123110nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax 例例2. 2. 解方程解方程 分析分析 n1 1次方程次方程! ! 關鍵是計算左邊的關鍵是計算左邊的 n 階行列式階行列式. .注:該行列式第一列元素均相同,其第一行第一列個注:該行列式第一列元

9、素均相同,其第一行第一列個元素沒有遵循對角線上元素的規(guī)律。元素沒有遵循對角線上元素的規(guī)律。首行乘以首行乘以-1-1加到下面各行,即化為上三角形加到下面各行,即化為上三角形. .第12頁/共27頁123111231122311232112311nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax 解:解:112311()22,210000000000000000innrrinnnaaaaaaxaxaxax 第13頁/共27頁原方程為原方程為: :是原是原n1 1次方程的次方程的n 1 1個根個根. .a1(a1x)(a2x)(an-2x)(an-1x)a1(

10、a1x)(a2x)(an-2x)(an-1x)0故故 x1a1, x2 a2, , xn-2 an-2,xn-1 an-1注:計算含未知量字母的行列式,理解為一個函數(shù)是解題的一個重要方法。計算含未知量字母的行列式,理解為一個函數(shù)是解題的一個重要方法。第14頁/共27頁例例3. 3. 證明:證明:1.(1) ().nnabbbbabbDanb abbbabbbba分析:分析:每行元素之和相同!每行元素之和相同! 將第將第2,3, 2,3, ,n列加至列加至首列首列, ,則首列元素均相同則首列元素均相同, , 轉化為上例題型轉化為上例題型. .第15頁/共27頁證明:證明:11,2(1)(1)(1

11、)(1)irrninanbbbbanbabbDanbbabanbbba1(1) )11(1) 11canbbbbabbanbbabbba第16頁/共27頁1( 1)1,21000(1) 000000irrinbbbabanbabab 1(1) ()nanb ab友情提醒:友情提醒: 該行列式結論請記憶。該行列式結論請記憶。a-b形行列式形行列式第17頁/共27頁例例4 4 計算計算012111100(0,1001,2, )100inaaaDaina 11011()1(2,3,1)21111000000000iiniiccainnaaaDaa 12011()nniia aa aa解解: 有些行列

12、式的計算可利用性質化為有些行列式的計算可利用性質化為“箭形行列式箭形行列式”,然后再化為上三角形行列式,然后再化為上三角形行列式. .( (箭形行列式箭形行列式) )第18頁/共27頁例例5 5計算計算2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 解解: :433221rrrrrr 002320363abcdaababcaababcaababc4332rrrr 0002003abcdaababcaabaab 43rr 0002000abcdaababcaaba ( (注注: :首行乘以首行乘以(-1)(-1)加至下各行,如此下去亦可成功加至下

13、各行,如此下去亦可成功) )a4D第19頁/共27頁1112132122233132331aaaaaaaaa例例6.6.設設, , 求求13111223212233313210625353aaaaaaaaa 1311121112132321222122233331323132331062621053355335aaaaaaaaaaaaaaaaaa解解: 1112132122233132332223 5aaaaaaaaa 11121321222331323315 ( 2)aaaaaaaaa30第20頁/共27頁1333332333333333333Dn例例7.7.計算行列式計算行列式 分析分析

14、n 階數(shù)字行列式階數(shù)字行列式. . 根據(jù)其數(shù)根據(jù)其數(shù)字排列規(guī)律字排列規(guī)律, ,考慮利用第考慮利用第3 3行行所有元素均為所有元素均為3 3這一特點作這一特點作變形變形. . 1323( 1)( 1)20000010000033300003ccccn解解: 3( 1)1,2,4,20000010003333300003irrinDn(n-3)!6由定義亦可得結論由定義亦可得結論第21頁/共27頁 例例8.8.證明:奇數(shù)階反對稱行列式的值為證明:奇數(shù)階反對稱行列式的值為0 0。 注注 對稱行列式:滿足對稱行列式:滿足aijaji ;反對稱行列式:滿足反對稱行列式:滿足 aij-aji 1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa證:設證:設則由行列式性質則由行列式性質1 1及性質及性質3 3,有:,有:aiiaiiaii0 0第22頁/共27頁1213112232132331230000nnTnnnnaaaaaaaaaDDaaa 121311223213233123000( 1)( 1)0nnnnnnnnnaaaaaaaaaDDaaa 奇奇故故 D0.第23頁/共27頁第24頁/共27頁 線性代數(shù)是一種語言,必須線性代數(shù)是一種語言,必須用學習外語的方法每天學習這種用學習外語的方法每天學習這種語言語言 David . C . Lay第25頁/共

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