學(xué)案3不等式選講

1、不等式不等式選講選講(1)理解絕對值的幾何意義理解絕對值的幾何意義,并了解下列不等式并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件成立的幾何意義及取等號的條件:|a+b|a|+|b|(a,br).|a-b|a-c|+|c-b|(a,br). (2)會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.(3)通過一些簡單問題了解證明不等式的基本通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法方法:比較法、綜合法、分析法比較法、綜合法、分析法. 1.以選擇題的形式考查絕對值不等式以選擇題的形式考查絕對值不等式,同時與不

2、等式同時與不等式的性質(zhì)相結(jié)合的性質(zhì)相結(jié)合. 2.以考查絕對值不等式的解法為主以考查絕對值不等式的解法為主,兼顧考查集合的兼顧考查集合的交、并、補運算交、并、補運算. 3.與函數(shù)、數(shù)列等知識綜合考查不等式的證明方法與函數(shù)、數(shù)列等知識綜合考查不等式的證明方法.1.絕對值不等式的性質(zhì)在求最值時有其獨特的作用絕對值不等式的性質(zhì)在求最值時有其獨特的作用,特特別要注意等號成立的條件別要注意等號成立的條件.|a+b|=|a|+|b| ;|a-b|=|a|+|b| .ab0 ab0 2.|ax+b|c ; |ax+b|c ; 解解|x-c|+|x-b|a采用方法采用方法 . 3. 3.證明不等式的常用方法證明

3、不等式的常用方法 (1)比較法比較法:分分 比較法和比較法和 兩種兩種.一般對于多項式類和分式類的用作差比較法一般對于多項式類和分式類的用作差比較法,對于含有對于含有冪指數(shù)類的用作商比較法冪指數(shù)類的用作商比較法. (2)綜合法綜合法:利用已知條件和公式、定理等直接推導(dǎo)利用已知條件和公式、定理等直接推導(dǎo)所要證明的不等式所要證明的不等式.其過程是其過程是“ ”.常用到以常用到以下不等下不等:a20,(ab)20,a2+b22ab(a,br), (a,br+). abab2 2b b+ +a aax+b-c或或ax+bc -cax+bc 零點劃分法零點劃分法 作差作差 作商比較法作商比較法 由因?qū)Ч?/p>

4、由因?qū)Ч?(3)分析法分析法:從求證的不等式出發(fā)從求證的不等式出發(fā),分析使這個不等式分析使這個不等式成立的條件成立的條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題的問題.這是一種這是一種“ ”的方法的方法. (4)放縮法放縮法:依據(jù)不等式的傳遞性依據(jù)不等式的傳遞性,具有一定的技巧性具有一定的技巧性.常用的放縮法有常用的放縮法有:加項或減項、利用比例的性質(zhì)、利用均加項或減項、利用比例的性質(zhì)、利用均值不等式、利用函數(shù)單調(diào)性，一定要把握好值不等式、利用函數(shù)單調(diào)性，一定要把握好“ ”，使其恰到好處使其恰到好處. (5)換元法換元法:注意新元的取值范圍注意新元的

5、取值范圍,保證等價性保證等價性. (6)含有含有“至多至多”“”“至少至少”“”“唯一唯一”“”“不大于不大于”“”“不不小于小于”等詞語的，考慮用反證法等詞語的，考慮用反證法.執(zhí)果索因執(zhí)果索因 度度 解不等式解不等式:(1) |2x-5|8;(2) |2-3x|7.利用絕對值的意義利用絕對值的意義,將絕對符號去掉將絕對符號去掉. (1)由原不等式得由原不等式得 -82x-58. - x . 原不等式的解集為原不等式的解集為x|- x . (2)由原不等式得由原不等式得 3x-27或或3x-23或或x3或或x- .2 213132 23 32 213132 23 33 35 53 35 5含絕

6、對值的不等式的解法，關(guān)鍵是利用絕對值的含絕對值的不等式的解法，關(guān)鍵是利用絕對值的意義去掉絕對值意義去掉絕對值.在變形過程中要特別注意保證同解在變形過程中要特別注意保證同解,同同時還要注意步驟的簡捷與表達的明晰時還要注意步驟的簡捷與表達的明晰 ; 區(qū)別區(qū)別“并并”還還是是“交交”的關(guān)鍵是的關(guān)鍵是“或或”還是還是“且且” ，同時還要分清，同時還要分清端點是否包括在內(nèi)端點是否包括在內(nèi).解不等式解不等式:3|x-2|9.:原不等式等價于原不等式等價于 |x-2|3, |x-2|9. x-23或或x-2-3, x5或或x-1, -9x-29, -7x11.原不等式的解集為原不等式的解集為x|-7x-1或

7、或5x11. 即即 :原不等式的解集是下面兩個不等式組解集原不等式的解集是下面兩個不等式組解集的并集的并集. x-20, x-20, 3x-29, 32-x9. 不等式組（不等式組（1）的解集為）的解集為x|5x11. 不等式組不等式組(2)的解集為的解集為x|-7x-1. 原不等式的解集為原不等式的解集為x|-7x-1或或5x11. (1) (2) ：不等式：不等式3|x-2|9的幾何意義是表示在數(shù)軸的幾何意義是表示在數(shù)軸上到上到2的距離大于或等于的距離大于或等于3且小于且小于9的點的集合的點的集合.如圖所如圖所示示.原不等式的解集為原不等式的解集為x|-7x-1或或5x11.解不等式解不等

8、式:|x-1|+|x+2|5.這是一個含有兩個絕對值符號的不等式這是一個含有兩個絕對值符號的不等式,為了使其轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式為了使其轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式,要對未知數(shù)要對未知數(shù)x進行分類討論進行分類討論,即用即用“零點劃分法零點劃分法”將實數(shù)分成將實數(shù)分成x-2,-2x1和和x1三個部分進行討論三個部分進行討論.解法一解法一:用用“零點劃分法零點劃分法”將實數(shù)分類：將實數(shù)分類：令令x-1=0得得x=1;令令x+2=0得得x=-2.(1)當(dāng)當(dāng)x-2時時,原不等式化為原不等式化為:-x+1-x-2-3.-3x-2. (2)當(dāng)當(dāng)-2x1時時,原不等式化為原不等式化為:-x+1+x+

9、25,即即35恒恒成立成立. -2x1也是原不等式的解集也是原不等式的解集. (3)當(dāng)當(dāng)x1時時,原不等式化為原不等式化為:x-1+x+25,即即x2. 1x2. 綜合綜合(1)(2)(3)可知可知:原不等式的解集為原不等式的解集為:x|-3x2.:不等式不等式|x-1|+|x+2|5表示數(shù)軸上與點表示數(shù)軸上與點a和和點兩點距離之和小于點兩點距離之和小于5的點的集合的點的集合,而而a,b間距離為間距離為3,因此因此,線段線段ab上每一點到上每一點到a,b的距離之和等于的距離之和等于3.如圖如圖12-3-1所示所示.要找到與要找到與a,b距離之和為距離之和為5的點的點,只需由點只需由點b向左向左

10、移移1個單位個單位(此時距離之和增加此時距離之和增加2個單位個單位),即移到點即移到點b1,或或由點由點a向右移向右移1個單位個單位,移到點移到點a1.可以看出可以看出,數(shù)軸上點數(shù)軸上點b1向右和點向右和點a1向左之間的點到向左之間的點到a,b距離之和小于距離之和小于5. 原不等式的解集為原不等式的解集為x|-3x2.:分別作函數(shù)分別作函數(shù)y1=|x-1|+|x+2| -2x-1(x-2) 3(-2x1) 2x+1(x1) 和和y2=5的圖象的圖象,如圖所示如圖所示,不難看出不難看出,要使要使y1y2,只需只需-3x2.原不等式的解集為原不等式的解集為x|-3xb時，時，ambm,anbn;當(dāng)

11、當(dāng)ab時，時，ambm,anbn,ambm.求證求證:x2+53x.:(x2+5)-3x=x2-3x+5=x- + 0,x2+53x.2 2) )2 23 3( (4 411114 41111若若a,b,c均為正數(shù)，求證：均為正數(shù)，求證： .證明時可用分析法，也可用綜合法證明時可用分析法，也可用綜合法.證法一證法一:欲證欲證 只要證只要證 只要證只要證只要證只要證(a+b+c) .2 23 3b b+ +a ac c+ +c c+ +a ab b+ +c c+ +b ba a , ,2 23 3b b+ +a ac c+ +c c+ +a ab b+ +c c+ +b ba a , ,2 29

12、 9+ +b b+ +a ac c+ +1 1+ +c c+ +a ab b+ +1 1+ +c c+ +b ba a 1, ,2 29 9b b+ +a ac c+ +b b+ +a a+ +c c+ +a ac c+ +b b+ +a a+ +c c+ +b bc c+ +b b+ +a a ) )b b+ +a a1 1+ +c c+ +a a1 1+ +c c+ +b b1 1( (2 29 9(a+b+c)= (b+c)+(a+c)+(a+b) = ,故原不等式成立故原不等式成立.) )b b+ +a a1 1+ +c c+ +a a1 1+ +c c+ +b b1 1( () )b

13、 b+ +a a1 1+ +c c+ +a a1 1+ +c c+ +b b1 1( (2 21 12 21 13 33 3b)b)+ +c)(ac)(a+ +c)(ac)(a+ +(b(b1 133b)b)+ +c)(ac)(a+ +c)(ac)(a+ +(b(b3 32 29 9：= (a+b+c) -3= (b+c)+(a+c)+(a+b) -3 -3= , .3 3- -b b+ +a ac c+ +b b+ +a a+ +c c+ +a ac c+ +b b+ +a a+ +c c+ +b bc c+ +b b+ +a ab b+ +a ac c+ +c c+ +a ab b+ +c

14、 c+ +b ba a2 21 1) )b b+ +a a1 1+ +c c+ +a a1 1+ +c c+ +b b1 1( () )b b+ +a a1 1+ +c c+ +a a1 1+ +c c+ +b b1 1( (2 29 92 23 32 23 3b b+ +a ac c+ +c c+ +a ab b+ +c c+ +b ba a (1)本題證法一聯(lián)合使用了綜合法與分析法，實際本題證法一聯(lián)合使用了綜合法與分析法，實際上是以分析法為主，借助綜合法，使證明的問題明朗上是以分析法為主，借助綜合法，使證明的問題明朗化，此種方法稱為分析綜合法化，此種方法稱為分析綜合法.分析綜合法的實質(zhì)是既

15、分析綜合法的實質(zhì)是既充分利用已知條件，又時刻不忘解題目標(biāo)，即不僅要充分利用已知條件，又時刻不忘解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知是什么，還要搞清干什么，瞻前顧后，便于搞清已知是什么，還要搞清干什么，瞻前顧后，便于找到解題途徑找到解題途徑. (2)本題證法二本題證法二 是綜合法是綜合法,運用分析法易于找到思路運用分析法易于找到思路,但書寫較繁但書寫較繁,所以常常用分析法探索證明途徑所以常常用分析法探索證明途徑,用綜合法用綜合法書寫證明過程書寫證明過程.已知已知a,b,c均為正數(shù)均為正數(shù),證明證明:a2+b2+c2+（ ）26 ,并確定并確定a,b,c為何值為何值時，等號成立時，等號成立.c1b1a13【

16、證明】【證明】證法一證法一:因為因為a,b,c均為正數(shù)均為正數(shù),由均值不等式得由均值不等式得a2+b2+c23(abc) , 3(abc) ,所以所以 9(abc) . 故故a2+b2+c2+ 3(abc) +9(abc) .3232c1b1a131c1b1a12c1b1a13232又又3(abc) +9(abc) 2 =6 , 所以原不等式成立所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時時,式和式等號成立式和式等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)3(abc) =9(abc) 時時,式等號成立式等號成立.故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3 時時,原不等式等號成立原不等式等號成立.32322733232

17、41證法二證法二:因為因為a,b,c均為正數(shù)均為正數(shù),由基本不等式得由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以所以a2+b2+c2ab+bc+ac.同理同理 故故 所以原不等式成立所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時時,式和式和式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時，時，式等號成立式等號成立.故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3 時，原不等式等號成立時，原不等式等號成立.ac1bc1ab1c1b1a122236ac3bc3ab3abbcacc1b1a1cba222241 , 2( ).令令k=1,2,3

18、,n，則有，則有 2( -0), 2( -1), 2( - ), 2( - ).以上各式相加得以上各式相加得1+ + + + 2 .證明：不等式證明：不等式1+ + + 1 1- -k k+ +k k1 1= =1 1- -k k- -k kk k1 11 1- -k k- -k k1 11 11 12 21 12 23 31 12 23 3n n1 1n n1 1- -n n2 21 13 31 1n n1 1n n 用放縮法時，放縮要有目標(biāo)，才能放縮適度用放縮法時，放縮要有目標(biāo)，才能放縮適度.用用放縮法證明不等式的過程中放縮法證明不等式的過程中, 往往采用添項或減項的往往采用添項或減項的“

19、添舍添舍”放縮、拆項對比的分項放縮、函數(shù)的放縮、拆項對比的分項放縮、函數(shù)的 單調(diào)性單調(diào)性放縮、重要不等式的放縮等方法，放縮、重要不等式的放縮等方法， 要注意合理使用，要注意合理使用，保證不等式的同向傳遞保證不等式的同向傳遞.已知已知a,b,c均為正數(shù)均為正數(shù),且且a+bc,求證求證: .:a+bc,a+b-c0.由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可得由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可得c c+ +1 1c c b b+ +1 1b b+ +a a+ +1 1a a. .c c+ +1 1c c b b+ +1 1b b+ +a a+ +1 1a a. .b b+ +1 1b b+ +a a+ +1 1a a b b+ +a a

20、+ +1 1b b+ +b b+ +a a+ +1 1a a= =b b+ +a a+ +1 1b b+ +a a= =c c) )- -b b+ +( (a a+ +c c+ +1 1c c) )- -b b+ +( (a a+ +c c 1).(1)證明證明:函數(shù)函數(shù)f(x)在在(-1,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù);(2)證明證明:方程方程f(x)=0沒有負根沒有負根. (1)利用單調(diào)性的定義利用單調(diào)性的定義;(2)用反證法用反證法.1 1+ +x x 2 2- -x x (1)證法一證法一:任取任取x1,x2(-1,+),不妨設(shè)不妨設(shè)x10, 1且且 0, - = ( -1)0.又又x1+10,x2+10,于是于是f(x2)-f(x1)= - + 0.故函數(shù)故函數(shù)f(x)在在(-1,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù).1 12 2x x- -x xa a1 1x xa a1 1x xa a2 2x xa a1 1x xa a1 12 2x x-