理論力學簡明教程復習題題庫(物理專業(yè)用)要點

1、理論力學復習題計算題題庫第一章質點力學點沿空間曲線運動，在點m處其速度為v = 4i + 3i，加速度a與速度v夾角p=300,且a=10m/s2。求軌跡在該點密切面內的曲率半徑p和切向加速度ayo 答：由已知條件v = 41+ 3j-得v=d42 +32 =5m/s法向加速度 an = asin300 = 5m/s22則曲率半徑p = t=5m切向加速度a, = acos300 =8.66m/s2an一點向由靜止開始作勻加速圓周運動，試證明點的全加速度和切向加速度的夾角a與其經過的那段圓弧對應的圓心角p之間有如下關系tan . =2證明：設點m沿半徑為r的圓作圓周運動，t時刻走過的路程為am

2、=s速度為v,對應的2an v tan：二二a圓心角為p。由題設條件知atr%dv dva = 一 = v一 = cbdt dsc為常數 積分(b)式得jvdv= jas所以v2 =2ag-將(c)式代入(a),并考慮s = rp ,所以tana = 2p質點m的運動方程為x=3t(m),y = 2t2(m)求t=1秒時，質點速度、切向加速度、法向加速度的大小解：由于 x=3(ms),y=4t=4(ms)所以有 v=，鏟k = z96=5(mp又：v = 爐再2=、9+16t2貝u-1at = v = 9 16t2 232t =1 = 3.2 m2n ,s2 9 16t2 2x = 0, y

3、=4(ms )a =x+ y2 = 4(ms)an -a2 -at2 *16 3.22 = 2.4ms點m沿半徑為r的圓周運動。如果a = -k(k為已知常數)，以初 a始位置為原點，原點初速度為求點的弧坐標形式的運動方程及點的速度減少一半時所經歷的時間解：設點的初始位置為advanv2=a = 一 = 一dtkkr積分上式:dv1krt0dtv0 v kr依題意rkv0kr v0t則弧坐標形式的運動方程為s”鬲wr#kr當丫=回時t =kr 2v0一質點沿圓滾線s=4asin日的弧線運動，如日為常數，則其加速度亦為一常數，試證明之。式中日為圓滾線某點p上的切線與水平線(x軸)所成的角度，s為

4、p點與曲線最低點之間的曲線弧長。解：因 s=4asin 故丫 =生=4a8 cos日=4aco cos日 dt式中口 = .=常量（題設）v2ds而p =4a cos日pd1所以an2222 v 16a cos 二4acos9=4a，2 cos?又a = dv = -4a 1 2sin - a dt故a =a 2 + a2 =4ao2 vsin28+ cos2日=4ao 2 =常數結論得證設質點沿螺旋線x=2sin4t,y =2cos4t,z = 4t運動,試求質點的速度、加速度和軌道的曲率半徑。解：因 x = 2 sin 4t, y = 2 cos4t, z = 4t故 x = 8cos4t

5、 = 4y, y = -8sin 4t = -4x, z = 4所以 v = . x2y2z2 = 4 x2 , y2 1=4.5又 x = 4y =16x,y = -4x = -16y, z = 0所以 a = .x2 y2 z2 =16 , x2 y2 =32又a 二型二412xx2yy=4 4xy-4xy=0dt2x2y2 1 x2 y2 1所以 an =a =16. x2 , y2 =322而。上an80=2.532小環(huán)的質量為mi套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為x2 =4ay ,試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度及小環(huán)在此時所受到的約束反作用力。解：小環(huán)受力如圖示，重

6、力 mg豎直向下，約束力r的方向沿著拋物線的法線小環(huán)在任意位置p處的運動微分方程為一 dvm- = mgsin 1 (1)2vm = rp一 mgcos?(2)因dv=dv ds=vdv而tane 曰=_可= _dy(s增大而y減小故為dt ds dt dsdx ds負值)(1)式變?yōu)?mv-dv = -mg 即 vdv = -gdy(3)ds dsn2積分vdv = -f gdy得 v = y12ag (因 x=2a,y = - = a)此即小環(huán)自x=2a0a4a處自由滑至拋物線頂點時的速度又x2=4ay 則 y, = dy=工，y.=嗎=工 dx 2a dx 2a在拋物線頂點處x=0,y=

7、0,y，=0,y:工2a3所以在拋物線頂點處p=(1+f =2a y“(因在頂點處由(2)式知 r = m二 十 mgcos = mag + mg = 2mg p2a0 =0, cos 9 =1 )小環(huán)在頂點處所受到的約束反作用力為2mg。質點所受的力如恒通過一定點，則質點必在一平面上運動，試證明之。 證明：取力通過的定點為坐標原點，則質點的位矢 f與力f共線，則 有 m =r f =0所以質點的動量矩守恒，即j=cjx =m yz -zy = c1(1)其分量式為 jy =mzx-xz = c2(2)jz =mxy - yx)=c3(3)由 x m (1) + y m (2) + z m (

8、3)得至lj cix +c?y +c3z = 0由解析幾何知識知上式為一平面方程，故質點只能在這個平面上運動。一物體質量 m=10kg，在變力f =10(1 t)n作用下運動。設物體初速度v0=0.2m/s,開始時力的方向與速度方向相同。問經過多長時間后物體速度為零，此前走了多少路程？(知識要點)質點運動學微分方程，質點運動學第二類問題解答：由mdv = f 得fdv = f 10(1 -t)dt積分得dt%0_ 2_ ,、v - -5t 10t 0.2(m/s)st再積分 gds=(5t2+10t+0.2)dt 得s = t3+5t2+0.2t(m)003由 v = 5t2 +10t+0.2

9、 = 0 解得 t=2.02s 再代入前式得 s=7.07 m質點作平面運動，其速率保持為常數，試證明速度矢量v與加速度矢量a正交。證明：采用自然坐標系，由題意知 v=c c為常量中日右 dv d , dcdd于ze侶 a=一(c ) = - c二c dtdt dtdtdt又在自然坐標系中d.=：；ndtdv d , 、 dc d d所以 a = = (c.)=. c = c = c n dt dt dt dtdt由于w_ln 故a_lv得證動點m以勻速v =5(m/s)沿軌跡y =1x2運動，求當x=2m時動點m的速3度沿x和y分量的大小，以及m的加速度解：由 v2 =x2 y2 =25根據

10、y =1 x2求導數得y = xx而x = 2m時y = x(2)333(2)代入(1)得 x2+16x2=25.9整理得 x =3(m/s)代入(2)得 y=4(m./s)又2 =dv=0 貝 ua2=a2+an2 =/即2 = % dt3又由數學知識知p =(1：y)2而根據y=1x2微分得y=2x,y“ = 2yj333x=2m 時 y = 4,y*=233所以有二3(1 y 2)216 325 3(1 -)2(-)29 二 92 -23 3125五=宣2 - 183.2 cl=3.6(m/s2)故a =a =v_ -25_ a an _n ：12518某力場的力矢為 f =(2xy+

11、z3)i +x2 j+3xz2k其中i,j,k分別為 x,y,z軸的單位矢,試證明該力場是否為保守力場,若為保守力場，求出其勢能函數。if =-二 x 2xy-y2 xk：z3xz2=i | (：(3xz2) _ ：:(x2)二 y二 z. j 2xy：zz3)”3xz2):x-1 ； (x2)：:(2xy z3) i22-y+ k 1-(-)-(y) =i(0-0)+ j(3z2-3z2)+k(2x-2x) = 0故力場為保守力場fx:u一 x=2xy z3(1)2(2)fz =- * =3xz2(3)；z(1)式積分得：u =-x2y-z3x + f(y,z)(4)對(4)式求偏導數得：u

12、 =_x2 + f(y,z)lx2即 加(y,z)lo二 y二 y二 y上式得：f(y,z) = g(z)代入(4)式得：u =-x2y-z3x + g(z)對(5)式求偏導數得：且= _3xz2+當如=_3xz2即封但】=0積分 :zcz: z得：g(z)=c代入(5)式得：u = -x2y - z3x +c 取 x = q y = 0,u =0 貝c = 0所以勢能函數為 u =-x2y-z3x某力場的力矢為 fx =6abz3y _ 20bx3y2 ,fy =6abxz3 -10bx4y,fz =18abxyz2試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數。kmf=excyf

13、xfyf =際臣 ycyfz22223333= (18abxz -18abxz )i -18abz y -18abz y j -6abz 140bx y-6abz 40bx y k故力場為保守力場fxfyfz,:u .x :u-y.:u.:z=6abz3 y -20bx3y2=6abxz3 -10bx4y2=18abxyz(3)(1)(2)(1)式積分得：u - -6abz3yx 5bx4y2f(y,z)(4)(4)式求偏導數得:-6abz3x 10bx4y；:1f (y,z)l-:y-fy = -6abxz3 10bx4y即8f(y,z)=0上式得：:yf(y,z)=g(z)代入(4 )式得

14、：u = -6abz3 yx 5bx4 y2 g(z)(5)對(5)式求偏導數得：u 二18abz2xy + * g(z) = fz = 18abxyz fzfz即由切=0積分得：g(z)=c代入(5)式得： ：z 342u - -6abz yx 5bx y c(6)取 x=0,y =0,z=0,u =0 貝|c = 0所以勢能函數為u =5bx4y2 -6abxyz3fx =a1x a12y am已知作用于質點上的力為 fy = a21x+ a22 y+ a23zfz =a31x a32y a33z式上系數aj(i,j=1,2,3)都是常數，問這些aj滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿

15、足，試計算其勢能。解：要滿足勢能存在須使力場為保守力場，既力場的旋度為零，所以,1 f =0即玉二 y：fy一 a12 一- a21二 x=a31千z.:z=a13 =fx干y于z=a23 = a32z:y即勢能存在a。滿足條件是：a12 = a2ia13 = a31a23 - a32vfx = aiixa12 y ai3z 二 一一(1):xv 田 fy =a21xa22y a23z 二 一一(2)二 yvfz =a31x a32ya33z = (3)：z1(1)式積分倚 v =1aiix - ai2yx - azx f (y,z)(4)(4)式對y偏微分=(2)式得nf(y,z)二 一ai

16、2x ；- -a12x - a22y - a23z:y二 y即 f (y, z) - -a22y -a23z(5)：y1 c(5)式積分得 f (y, z) a22y -a23zy g(z)(6)2(6)式代入(4)式得、，1212,、，、v = -aux -a12yx azx 一一 a22y -a23zy g(z)(7)22(7)式對z偏微分=(3)式得v：:g(z)二-a13x 一 a23 y 二 ax - a23 y 一 a33z:zcz即冬1 = .(8)-z(8)式積分得 g(z) = -1a33z2 c2(9)式代入(4)式得1v = an x22 a12 yx 一 a13zx12

17、2 a22 y -a23zy-a33z 2c(10)取 x =0,y= 0,z=0,v=0貝uc = 0彳導勢能為、，1v = - -a11x22 -a12yx -a13zx -1a22y2 -a23zy -1a33z221 ,222二-(a11xa22ya33z2a12xy 2a23zy 2a31zx)2某力場的力矢為f = xi yj zk解：由于 r.xfx-yfy.:zfz.y試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數。故力場為保守力場fx =:v二x.由tfy.x :v二y-y(2)fzv =z.,z(3)積分(1)式得vy偏微分=(2 )式得:v;:f y,zli.y

18、二 y=-y 積分得f (y,z)=g z 5代(5)入(4)得v =-g z 62積分得gz 一;c(6)式對z偏微分=(3)式得=如=-z:z二 z代(7)入(6)得v =取x=qy =0,z=0,v =0則c=0得勢能函數為v =有一質點在xy平面上運動，質點受到的力為f =(x + y)十(xy) j,質點在平面上由點a (1,0)沿直線運動到點b (1,1 ),求力f所作的功解法1:由功的定義計算w = f dr = (fxdx fydy)= aab(x y)dx (x- y)dya又 x = 1, dx = 0所以w = ：a f dr 二八(fxdx fydy) = a(x y)

19、dx (x - y)dy =；0(1 - y)dy aaa0/12=(y -2y)解法2:由功的定義計算bw= af dba(fxdx fydy)=a(1,0)(1,1)121(x + y)dx + 11,0) (x-y)dy =(-x - xy)(1,0) * /12(1,0) * (xy -二 y )2(1,1)(1,0)二1b -w = f dr =-abb(1,1)1 2(fxdxfydy) = (x y)dx (x - y)dy d(-x xy -aa(1,0)212、2y )j 21=(2x xy-2y2)(1,1)(1,0)111二(1) 一222解法3:由保守力性質計算故力場f

20、為保守力場:xfx-yfy-zfz(0 -0)i (0 -0)j (1 -1)k =0.(3)v .x4fyfv=x -y:y:v-=0.:z2積分(1)式得v = -xy f y 2(4)式對y偏微分=(2)式得以=_x+山 =_x+y y：y積分得 f ( y ) = 1 y 2 - c j：522代(5)入(4)得v=二十匕xy + c (6)2222取 x=0, y=0,z = 0,v =0 貝j c = 0 得勢能函數為 v = - 十 xy22則由保守力與功的關系可知121212121111w =-(v2 -vi) =vi -v2 =(-x -y -xy)(,0)-(-x -y -

21、 xy)。# =二 -(-1 二 -1)二22222222fx = x 2y z 5設作用于質點上的力場的力矢為fy = 2x y zfz = x y z 6求此質點沿螺旋線x =cosb, y =sinh,z =7日運行，自8=0至8= 2n時力場所作的功解：由保守力性質計算故力場f為保守力場fxfyfz_ (1 -1)i (1 -1) j (2 -2)k -0fx =，fyfz 二二 v 一2=x 2y z 5.x-v = 2x y z. :y.(1)(3)2積分(1)式得v二一土2xy _xz _5x f y,z im2(4)式對y偏微分=(2)式得史= -2x+fy)= -2x . y

22、 . z：:y2 y積分得 f(y,z)=.；y2 -zy g(z) 522代(5)入(4)得 v =-二一匕2xy - xz 5x - yz 十 g (z) (6)22(6)式對 z 偏微分=(3)式得生=-x-y + g(z)=-x-y-z + 6 fzfz2積分得 g z = - 6z c 7222代(7)入(6)得 v =-匕- z2 -2xy-xz-5x - yz + 6z+c(6)222取x =q y =0,z=0,v =0貝uc=0得勢能函數為x221v = -z2 -2xy-xz_5x yz 6z222又由 x =cos9, y =sinh,z=7日知當日=0 時 x = 1,

23、y = 0,z = 0;2 = 2冗時 x =1, y = 0,z =14冗則由保守力與功的關系可知w = -(v2 -vi) =vi -v2,1 212= (-tx - y22二(-2-5)-12121212-2z -2xyxz5xyz 6z)(1,0,0) 一(-3 x - y - z -2xy xz - 5xyz 6z)(iq,i4二)1 11197(14二)2 14星 5 84二 = - -598二2 14二 5 84蹙=98二 2 70二2 222有一劃平面曲線的點，其速度在y軸上的投影于任何時刻均為常數 c,(1)式求導得 vdv=x，x = axdt(因 y = c, y = 0

24、 ,故 x= a)3試證明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a喙(1)證明1：由v2由此得出dv=ax=a v2-c2y2dt vp 2 dv :;22又a = 7-a 一品(2) = (3)得222、a (v -c )22 v 2 =a -()p整理得a=vc；結論得證證明2:如圖設v與y軸夾角為,則由y = c,y=o,故有 a 二axi由圖示幾何關系知a2 v = acos：=p：cos 二又 vy =vcos： =c則有cos:代入（1）c：結論得證33、船得一初速v0,在運動中受到水的阻力，阻力的大小與船速的平方成正比，而比例系數為km,其中m為船的質量。問經歷多長時間船速減為其初

25、速的一半。（15分）解：由題意知 阻力為f=kmv則船的運動方程為m5 = _kmv2即dtdv 一kdtvv0t而t=0時v=v0設船經歷時間為t時，v=h 積分上式得（2ldv = kidt2vo- 0即 一 r1=一kt0 vo 一從而得t二工kvo質點m在力x =psincot的作用下沿 x軸作直線運動，在初瞬時t=0,v=v, x=x。 求質點的運動方程。解： 由 mv = f = x = ps i ent積分 j mdv= psinmtdt, 得v00，ppm(vv0) = -(1 c ost)即 x=v=v0+(1 -coswt) 積分x tpx0 dx = 00v0工m p p

26、(1 -cost) dt 但 x = x0+(v0 + )t -2 sin 6 tm m 已知點的運動方程，求其軌跡方程，并自起始位置計算弧長求出點沿軌跡的運動規(guī)律.(1) x=4t-2t 2 , y=3t - 1.5t 2(2) x=5cos5t 2 , y=5sin5t 2(3) x=4cos2t, y=3sin2t解(1)由 x=4t-2t 2 , y=3t - 1.5t2 .(1)兩式相除得x = y=j =y 3 -1.5t6 -3t 3(2-t) 3所以軌跡方程為y = 3x是一直線方程4x = 4 -4t =4(1 -t), y = 3 -3t =3(1 -t)(2)寸 x=4.

27、y；3(3)所以速度為 v = . x2y2 = .16(1 1t)29(1 1t)2 =5(1 -t)全加速度為 a = . x2 y2 - . 16 9 = 5而切線加速度為a丁 = dv = 3 ,法線加速度an = va2-a2 =。 dt由此說明質點作勻減速直線運動。(2)由 x=5cos5t2 , y=5sin5t 2 (1)得軌跡方程為x2+y2=25是一圓的方程，其半徑r=522由(1)式得 x = -50tsin5t2, y =50tcos5t2(2)所以速度為 v =；/x2 - y2 = j2500t 2(sin25t2 cos2 5t2) -50t切線加速度為a/羽=5

28、0說明質點作勻加速圓周運動 dt22法線加速度為an =-=空”=500t2n ：5全加速度為 a = jx2y2 = l2500 250000t4 =50- 1 100t4(3)由 x=4cos2t, y=3sin2t (1)22得軌跡方程為 二十工=1為一橢圓方程169由(1)式得 x = -8sin2t,y：6cos2t.x - t6cos2t,y - -12sin 2t(3)所以速度為v= x2 y2 = 64sin2 2t 36cos22t =2,16sin2 2t 9cos2 2t全加速度為a = x2-y2 =(1 16cos2t)2一(1 12sin2t)2 = 4、16cos

29、22t 9sin2 2t.(4)如圖6 -1所示，半徑為r的車輪在直線軌道上滾動而不滑動，已知輪心c的速度是常量u ,求輪緣上一點m的軌跡，速度和加速度及軌跡的曲率半徑.圖6-1解 將城與地面的接觸時的位置作為直角坐標系的 原點o ,并建立直角坐標系如圖所示，經過時間t, m點的坐標為：x = ut - rsin (|)y = r - rcos (|)因輪純滾動，線段o d與弧長d m相等,dm ut9 =r r整理后得運動方程為x = ut - rsin里ry = r - cos更 r從運動方程中消去時間t后，得軌跡方程為：x y2r-y =r arccos yr.即m點的軌跡為旋輪線（或擺

30、線），速度在x , y軸上的投影、大小utvx = x = u - u cos rut v = y = usin yr及方向余弦分別為v =,；v2 +vj =2usinut2r vx utcos： = = sin 2r.*=sin 一 2cos=cosu2r二 cos一2m點的加速度在x , y 軸上的投影、大小及方向余弦分別為utax = vx = x sin - r r2.uutay = vy = y = 一cos一 rr22a ax - ayax. ut=sin = sinr=cos ut = cosr即各點加速度指向輪心又 a =/a2 +a2r,an*,而由此可求得：p = 4rs

31、i畔證明題證明：質量為m的質量從圓的最高點。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時間相同。證明：考慮質點在任意一條與過圓心的鉛垂線夾角為的弦上的運動，則在任意位置的受力如圖所示。沿弦的方向用質點動力學基本方 程得 質點加速度a=gcos日，即質點作勻加速運動。考慮到初始條件，不難求得其運動方程為1.21.2-s = - at = 一gt cos-22又弦長（從圓頂點滑到圓周上的路程）為s = 2r cos 二質量為m的質量從圓的最高點。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時間t 隹 廬巨 ，與g無關,故質量為m的質 .agcosug量從圓的最高點 o由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓

32、周上所需的時間相同。證畢。重為p的小球位于半徑為r的光滑球面頂點，小球從靜止開始下滑，求小球脫離球面的位置。解：小球運動過程中受力為重力和支持力，只有重力作功，機械能守恒。設球面頂點處為零勢能面由機械能守恒定律有0 = 1 p v2 -p(r -r cose)2 g故 v2 =2gr(1 -cosu)(1)2小球在法向方向運動微分方程為 p2=pcos一 n g r小球脫離球面時n=0,所以有v2 =grcosu(1)代入(2)式有 gr cos6 =2gr(1 -cos6)整理有 cos - 2 - , - - arccos2 = 4801 1 .3 3又由幾何關系知cose =lh = 2

33、(h為自球面頂點起下降高度)得r 3h 二 r3討論：由以上結論知小球脫離球面位置與小球(質量)無關，當球 面不光滑時與小球(質量)有關?？傻玫竭\動軌道方程是r=acose,此為圓的極坐標方程，所以質點 的運動軌道為以a為半徑的圓。第二章質點系力學一門大炮停在鐵軌上，炮彈質量為m,炮身及炮車質量和等于m 炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度 ,炮彈對 炮身的相對速度為v,試求炮彈離炮身時對地面的速度 v及炮車反沖 的速度u。解：由于在水平方向(x方向)無外力作用，火藥爆炸力為內力，故水平方向動量守恒即 mvx mu =0(1)又由相對運動關系知 vcosot +u =vx,vsi

34、n豆=vy(2)m .、vx =v cosa八、 /曰 m +m(2)代入(1)得vy =vsince (3) m -u = -v cosam + mm、m + m2v2cos2 ：v2(1 -2、cos -)所以v =白2 + vy = jm i1 v2 cos2 a +v2 sin2 u x ym +mjm(2m m) 2=v 1 -2 cos 1(4)(m m)2如設v與水平面夾角為8,則n e=vl= vs a =mmn a.vx mmxo -m m討論：由(4)式知炮車反沖時v-v ,由(5)式知日標口重g的物體a帶動單位長度的質量為q的軟鏈，以速度心向上拋出, 如圖示。假定軟鏈有足

35、夠的長度，求重物所能達到的最大高度。解：取oz軸鉛直向上，o點位于地面。將在空中運動的鏈條的物體a視為主體。則并入主體的質量元(原先靜止于地面)的絕對速度u = 0于是密歇爾斯基方程為d -mz = f 1dt因 m = g + qz,f = (g + qz g(_ k )z = zk ,代入(1)式得二【g qz z1=g qg g dt用(g +qg dz乘上式兩端得 g +qz)zd g +qzz】= -g(g + qzf dz已知初始條件為z=0時，z=% 所以積分上式得1(g +qz f z2 =(g +qz ) +1 g2v02 + g3 當 z = 0 時，上升高度 z 正好就是

36、最大值h即h=g 3：h痘 q 小 2gg23q2 3q-1)某質量為m的質點，其運動方程用矢量式可表達為r=x(t)i +y(t)j +zk ,式中：r為質點的矢徑,i,j,k分別為x,y,z的單位矢。試求：(1)質點的動能、動量及對坐標原點o的動量矩。(2)質點對點a (a,b,c )的動量矩。(3)作用在質點上的力及力的功率。解：(1)動能 t = mv2 =1 m(x2 + y2 + z2) 22動量 p = mv = m(xi yj zk)動量矩 lo 二 m (yz - zy)i (zx - xz) j (xy - yx)k1(4)動量矩la =m (yb)z(zc)y i (zc

37、)x(x 一 a)z j 用(x 一a)y 一(y 一 b)xk(5)f = ma = mr = m(xi + yj + zk)功率 p=f .v=f r =mr r = m(x x y y z z)一人在水平臺上走動，此臺可通過其中心的鉛直軸而旋轉，人走的軌跡是以平臺中心為圓心，r為半徑的圓周，假定人重為p,平臺重也為p,其半徑也為r,試 求當人在平臺上走完一周時平臺轉過的角度。解：以作平臺為質點系，受力為重力，方向均向下，與轉軸平行，力矩為零。假 設平臺與轉軸接觸面光滑無摩擦，故質點系動量矩守恒。在質點系起始時，t = as = 0在某時刻人相對于平臺的速度為u,平臺的角gi=r(u+m)

38、方向沿轉 g速度為則人的絕對速度為v = u+(or人的動量矩為:軸方向。平臺動量矩為：g2 =，=-r2o方向也沿轉軸方向2g由動量矩守恒定律得：g1 +g2 =_pr(u +cor) +-pr26 =0 二切=一-u又“哼,u琮即d12 dsdt - 3r dtg2g3rd8 = -ds積分得：/d =r-zds 3r00 3r故上 332、一均質木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個人。在某一時刻，人以不變的速度u向x軸正向運動。設板的質量為 m,人的質量為m。試求t秒鐘后，人的絕對速度v與位移以及板的絕對速度vi與位移。解：以人和板為研究對象。系統(tǒng)受力：人的重力 巳板的重力 w光滑的

39、水平面對板的正壓力fn。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動量守在初始時刻t=0 ,人和板都靜止，動量pax=0,任意時刻t ,設板的絕對速度v1沿x軸正向，則由點的合成運動可知，人的絕對速度為v=vi + u。由動量守恒定律得：mwi+m(v i+u)=0解此方程得 w=-u負號表示板的運動方向與x軸正向相反。 m2 mi由此得人的絕對速度為 v=vi+u=u- m2 u= m1 u正號表示人的運動方 m2 m1m1 m2向與x軸正向相同因u與v都是常量，故人和板的位移分別為ax = vt= m1 ut0xi=vit = - m2 utm m2mi m2設矢量在笛卡兒坐標系中的投

40、影為(x,y,z)，證明div= 3, rotf = 0并求使f = grad 的函數*解：(1) divf = v，f=|i + j + k (xi +yj +zk)=x +型+ cz = 3 i ex y zz ,ex ty czr 二 xi yj zk, r 二(3 ) 由r ro=ct可知勢函數中 必存在，由grad :i j k二xcycz方巾一 =x?x(1)2故j = y 積分(1)式得=+f(y,z)為i 42/一 二z z2代（4）入（2）得fydy積分得f=l + g-（5） 2y2 -22代（5）入（4）得* = x+y+ g（z）（6）22代（6）入（3）得史=0 =

41、z積分得g（z）=i + c.（7） ；z ；z2222代（7）入（6）得4 = x +y +z +c222質量為mi及m2的兩自由質點互相以引力吸引，引力與其質量成正比, 與距離的平方成反比，比例常數為k,開始時兩質點皆處于靜止狀態(tài),mi其間距離為a,試求兩質點間的距離為j 時兩質點的速度。解法1:用機械能守恒定律求解令質量為舊自由質點的速度為vi ,質量為m2的自由質點速度為v2 ,則因兩質點互相吸引，故v1v2方向相反，取vi方向為正方向如圖示由于兩質點無外力作用，故動量守恒有 mw - m2v2 = 0(i)兩質點間的相互吸引力為萬有引力是保守力由保守力性質得勢能為v = hf.d=-

42、kmim2dr=-kmim2式中r是兩 r2r質點間的距離。由機械能守恒定律- km&=1mivi2 1m2v2 -她迎2 a 22a21 一 2 1 一 2kmm2m1vlm2 v2 = (2)2 2aii解 (1) (2) 式得 v1 m m2 - v2 = m1 -:a(m1 m2): a(m1 m2)解法2:用動能定理求解令質量為m,自由質點的速度為v1 ,質量為m2的自由質點速度為v2 ,則因兩質點互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向為正方向如圖示 由 dtjw 得 dgm- 2m2r22) = f dr =一乎 dr積分上式得 im1v12 1m2v2 = km1m2(1)22

43、a由于兩質點無外力作用，故動量守恒有m1v1 - m2v2 = 0解(1) (2) 式得 v1 = m2 j2k-v2 =mj2k:;a(m1 m2); a(m1 m2)解法3:用兩體問題方法求解由于兩質點無外力作用可視為兩體問題 由兩體問題運動方程m空一得.2(1)d r12dv12m1m2 dv12km1m2-=-l - = = f =22dt dtm1 m2 dtr12t7 dv12dv12 dr12dv12乂 二二 v12 dtdr12dtdr121k(1) 工v12dv12 = 一-2 dr12m m2r12a積分 rv”-di 得(2)由于兩質點無外力作用，質心作慣性運動，原來質心

44、靜止，故由mivi m2v2vc =0傳 m1v1 + m2v2 =0(3)mi m2又根據速度合成方法知v12=v1.v2.解 (2) (3) (4) 式得 v1 =-m2 1 2k v2 =m1 1 2k 二 1 a(m1 m2), a(mi m2)v1為負值表明與v2方向相反如圖示，一長為l的均質鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為 p,某人持鏈條一端以勻速v將其提高，試證：當他的手離開水平面的高22、度為x時(x 7 ),鏈條對手的作用力大小為f = x + pg g)解法1:用質心運動定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時刻，整體所受的外力有重力p = plg,拉力f和水平面對靜止的那

45、部分鏈條的支 持力f = -p(l -xg。由質心運動定理可得mac = f +plgp(l xg式中a。為質心的力口速度。上式在x軸上的投影式為 mxc = f - p|g+ p(l - x)gx x，pl -x 02由于鏈條的質心坐標為xc2 =x：l2l2貝 u 有 xc = v - , xc =22代入投影式得 m v f -：-lg ：l-xg,mv-=f - ：,xg2 f 2、所以 f = pxg +m = x + pg l m 故0 180。=7200光滑球a與另一靜止的光滑球b發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體,且兩球質量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：設兩球質

46、量為m ,光滑球a碰前速度矢量為vi,光滑球b碰前速度矢量為0,a和b碰撞后的速度白速度矢量為vt,v；由于兩球碰撞過程中動量守恒有 mvi = mv! + mv2.又兩球為完全彈性體動能守恒有1 mv? = 1 mv? + 1 mv?.222(1)式代入(2)式有“0)2 =v?2+v22整理上式得2v?v2=0,由于vi0,v20所以欲使兩矢量的乘積為零，只有兩矢量互相垂直即立0結論得證有三個完全彈性的小球，質量分別為m、m2、及m,靜止于一直線上， 今于第一球上加上vi的速度，其方向沿此直線，設m、m及vi為已知， 求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設第一、第

47、二球碰撞后第一球的速度為 v；,第二球的速度為v2則由速度公式得vi =vi -1 em2 v1-v2m； m2d mi vi -v2v2 = v21 emi m2mi vi -v2 八 c mivi2mivi叫v2 = 0, e = 1 型 v2 = v2 + (1 + e) = 0 + 2 父=mi m2mi m2 mi m2又設第三、第二球碰撞后第三球的速度為 v3已知v3=0,e = 1則由速度公式得v3 i ema二上班二一4一m2 m3m2 m3 mi m? m? m3欲使第三球的速度最大，須有也=0dm2生:4midm2(m1 m2)(m2 m3) - m2 (m2 m3 m1 m2)22(mi m2) (m2 m3)2mim3 - m2v1 = 4m122 : 0mim2m2m3所以有m2 =imim3時第三球的速度最大。一條柔軟、無彈性、質量均勻的繩子，豎直的自高處墜落至地板上，如繩子的長度為1,每單位長度的質量等于仃，求當繩子剩在空中的 長度為