天津高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第U卷(非選擇題)兩局部，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第U卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試 用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后， 將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷考前須知：1.每題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每題5分，共40分。 參考公式：-如果事件A, B相互獨立，那么 p

2、(ab=p(a)P(B).球的體積公式V = 4二R3.3其中R表示球的半徑.如果事件A, B互斥，那么P(AU B)=P(A)+P(B).棱柱的體積公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高.、選擇題：在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.(1) 設(shè)集合 A 二1,2,6, B 二2,4, C 二x R | 一仁 x 乞5，那么(AUB)nC 二(A) 2( B) 1,2,4 (C) 1,2,4,6 (D) x R |-仁 x 冬 50x + y 0,(2) 設(shè)變量x,y滿足約束條件x 馬-2-0,那么目標(biāo)函數(shù)z = x，y的最大值為x 0,.心，2 3(A)

3、- (B) 1 (C) 3(D) 33 2(3) 閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，假設(shè)輸入 N的值為24,那么輸出N的值為(A) 0 ( B) 1( C) 2( D) 3(4) 設(shè)R，那么“ | 一 -卜上是“ sin -:- 的12 12 2(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 2(5) 雙曲線 篤一每=1(a 0,b 0)的左焦點為F,離心率為-2.假設(shè)經(jīng)過F和P(0, 4)兩a b點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，那么雙曲線的方程為(A)x22 2(B)芻七=1 (C)2=1 (D)(6)奇函數(shù) f (x)在 R 上是增函數(shù)，g(x)

4、=xf(x).假設(shè) a =g(-log25.1)， b=g(2.8)， c=g (3)，那么a，b，c的大小關(guān)系為(A)a :b :c (B)c : b : a(C)b ： a : c(7)設(shè)函數(shù) f (x) =2sin( x J，(D)b ： c ： aX，R，其中 .0，|：二.假設(shè) f()=2， f ()=0，且 f (x)8 8的最小正周期大于2二，那么2(A)=，31224(B)11兀1U-，(C) - J，( D) J，3123243x2 x 3,x -1,(8)函數(shù)f (x)二 2 X + 一，X 1.L x設(shè)R，假設(shè)關(guān)于x的不等式f (x)-a|在R上恒成立,2那么a的取值范圍

5、是(A)一辭(B)-卑冷(C) -2屁(D)噸考前須知：1 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上2 本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.(9) a. R , i為虛數(shù)單位，假設(shè) 1為實數(shù)，那么a的值為2 +i(10) 一個正方體的所有頂點在一個球面上，假設(shè)這個正方體的外表積為18，那么這個 球的體積為(11) 在極坐標(biāo)系中，直線4 2OSC) 1 = 0與圓r = 2 si n的公共點的個數(shù)為6(12) 假設(shè)a,b乏R，ab 0，那么a *4b的最小值為.ab(13) 在厶 ABC 中，/ A=60，AB = 3，AC = 2.假設(shè) 二 2DC，

6、- ABC R)， 且 Ad A? = /，那么九的值為.(14) 用數(shù)字1，2, 3，4, 5, 6, 7, 8, 9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 個.(用數(shù)字作答)三. 解答題：本大題共6小題，共80分解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. (本小題總分值13分)在厶ABC中，內(nèi)角A, B,C所對的邊分別為a,b,c.a b , a=5,c = 6 , si nB=.5(I)求b和si nA的值；(U)求 sin(2A - J 的值.416. (本小題總分值13分)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立， 且在各路口遇到紅

7、燈 的概率分別為丄,1,1.2 3 4(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(U)假設(shè)有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這 2輛車共遇到1個紅燈的概率.(17)(本小題總分值13分)如圖，在三棱錐P-ABC中, PA丄底面ABC上BAC=90點D, E, N分別為棱PA PC, BC 的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4, AB=2.(I)求證：MN/平面BDE(U)求二面角 GEMN的正弦值;(E)點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為丄,求線段AH的長.2118.(本小題總分值13分)an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(N )，bn是首

8、項為2的等比數(shù)列，且公比大于0， b2 b3 = 12 , b3 = a4 -2冃，S11 =11b4.(I)求an和bn的通項公式；(U)求數(shù)列a2nb2nj的前n項和(n n ).(19)(本小題總分值14分)221設(shè)橢圓X2 占=1(a b 0)的左焦點為F，右頂點為A，離心率為一 A是拋物線 ab21y2 = 2 px( p - 0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線I的距離為2(I )求橢圓的方程和拋物線的方程；(II )設(shè)I上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B ( B異于點A )，直線BQ6與x軸相交于點D .假設(shè) APD的面積為6 ,求直線AP的方程2(20)(本小題總分值1

9、4分)設(shè)a Z，定義在 R上的函數(shù)f (x) =2x4 3x3-3x2-6x a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點Xo，g(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)(I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(U)設(shè) m 1,xo)U(Xo,2，函數(shù) h(x) =g(x)(m -Xo) - f (m)，求證：h(m)h(x) ： 0 ;(川)求證：存在大于0的常數(shù)A，使得對于任意的正整數(shù)p,q，且衛(wèi) 1,x)U(X0,2,滿q足丨P -滄丨17 q Aq天津理數(shù)答案1-4BDCA?5-8BCAA 9.?2 10.12.411.2713.3石；14.108015. (I)解：在 ABC中，因為a b，故由sinBI，可得cosB備由

10、及余弦定3.13一 13理，有b2二 a.故 sin(2 A + n) = sin 2Acos + cos2Asin n = c2 -2accos B=13，所以 b = . 13 .a basin B由正弦定理，得sin A =-sin A sin Bb所以，b的值為.13 ,sin A的值為3衛(wèi)13(U)解：由(I)及2cos2A =1 -2sin A =a :： c，得 cos A 二一:，所以 sin 2A 二 2sin Acos A 二一，1313P(XP(X11111111=1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2342342-1111111111=2)

11、= (1 ) (1 ) (1 )-23 4 234 2 344112424P(X所以，隨機變量X的分布列為0123隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0 f f 吧嚼(U)解：設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，那么所求事件的概率為P(Y =1Z ) =P( =Y 0=1 11 11 1 11=x + X= 4 24 24 4 48 所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.48(17)本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等根底知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力 . 總分值13分.如圖，以A為原點，分別以A

12、B，AC，AP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐 標(biāo)系.依題意可得A( 0, 0, 0)，B( 2, 0, 0)，C( 0, 4, 0)，P( 0, 0, 4)，D( 0, 0, 2)，E( 0, 2, 2)，M(0, 0, 1), N (1, 2, 0).(I)證明：DE = (0, 2, 0) , DB= (2, 0, 2 ).設(shè) n= (x,y,z)，為平面 BDE的法向量， 那么 P =0，即 py.不妨設(shè) z=1 ,可得 n= (1,0,1).又 MN =( 1,2,1)，可得 MN n = 0.n DB =0 2x -2z =0因為MN億平面BDE所以MW平面BDE(U)解

13、：易知m =(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量， 那么卜雲(yún)=0，因為EM =(0, 2,1), MN =(1,2,1)，所以嚴(yán)-0 .不妨設(shè)y=1，可得% MN =0x 2y_z=0n1 n&4于是 sin： n1,鹿二二0521業(yè)=(-4,1, -2).因此有 cos： n1, n2|n11| n21V21所以，二面角C-EM-N的正弦值為10521(川)解：依題意，設(shè) AH=h( 0 M 乞4)，那么 H(0, 0, h),進而可得 NH =(-1,-2,h),忑=(-2,2,2).5 2、321由，得g扁訂盤二2二斗，整理得10宀2巾2 ，

14、解得h ，或 h 二丄.52所以，線段AH的長為8或丄.5218【解析】(I )設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q. 由 b2 b3 =12，得 bi(q q212，而 0=2，所以 q2 q -6 =0. 又因為q 0，解得q =2.所以，0 =2n.由 b3 -a2a1，可得 3d =8 .由 1=11b4，可得 a1 5d =16 ，聯(lián)立，解得a-i = 1 ， d = 3，由此可得an = 3n-2.所以，數(shù)列an的通項公式為an =3n-2,數(shù)列bn的通項公式為b 2n.(II )解：設(shè)數(shù)列a2nb2nJ的前n項和為Tn，由 a?n = 6n 2， b2n 二=2 4

15、，有 a2nb2n j = (3n -1) 4 ，故Tn =2 4 5 42 8 43 |)| (3n -1) 4n，4Tn =2 42 5 43 8 44 | (3n -4) 4n (3n -1) 4n 1，上述兩式相減，得-3Tn =2 4 3 42 3 4_|3 4n - (3n-1) 4“得 Tn 二泌2 4n1 8所以，數(shù)列a2nb2n的前n項和為4n 1 8319.解：設(shè)F的坐標(biāo)為(0).依題意，3 衛(wèi)-a2 _a，1 1a_c=1，解得a，P =2，于是 b2 二 a2c2 二-4所以，橢圓的方程為八乎“，拋物線的方程為y2 = 4x.(U)解：設(shè)直線AP的方程為x二my T(m

16、 = 0)，與直線I的方程x = -1聯(lián)立，可得點P(-1,-Z)，故Q(-1,Z).將my 1與x2=1聯(lián)立，消去x，整理得mm33m2 42-3m 4-6 m(3m2 4) y2 6my二0，解得y = 0，或y二一.由點B異于點A，可得點2B(詁,斗).由Q(T,m)，可得直線BQ的方程為(-6 m(2 ；3m 42-3m 43m241)(y 一？)=0，令 y =0，解得m22 3mx廠3m 2，故D(22 -3m3m22,0).所以陽亠紆咲肌.又因為 APD的面積為，故i肥魚冷，整理得3m2 -2、6|m| *2=0，解得| m |-，所以m 6 .3 3所以，直線AP的方程為3x

17、.、6y_3 =0，或3x 、6y3 = 0.20. (I)解：由 f (x) = 2x4 3x3 -3x2 -6x a，可得 g(x) = f (x) = 8x3 9x2 - 6x - 6，1進而可得 g (x24x2 18x -6.令 g(x) =0，解得 x=-1，或 x .4當(dāng)x變化時，g (x), g(x)的變化情況如下表：x+-+/ 1 一 1 所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-1)， (_, ：)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,).4 4(U)證明：由 h(x) = g(x)(m -x) - f (m)，得 h(m)二 g(m)(m - x) - f (m)，h(x) =g(x)(m -x

18、) - f (m).令函數(shù) H,x) =g(x)(x-x。)- f(x)，那么 H,(x) =g (x)(x-x).由(I)知，當(dāng) x 1,2時, g (x) 0，故當(dāng) x 1,x。)時，H1(x) ：0, Hx)單調(diào)遞減；當(dāng) x (x),2時，H；(x) 0，Hx)單調(diào)遞增.因此，當(dāng)x引1,x)U(X0,2時，Hdx)A已(怡)=f(x )= 0可得 H1 (m) - 0 即 h (m )0令函數(shù) H2(x) =g(x)(x -x) - f (x)，那么 H2 (x) =g(x) -g(x).由(I)知，g(x)在1,2 上單調(diào)遞增，故當(dāng)1,x。)時，H2 (x) 0， H2(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X(x0,2時，H2(x) ：0, H2(x)單調(diào)遞減.因此，當(dāng) x 1,x)U(x0,2時