2022屆高考數(shù)學基礎(chǔ)總復習提升之專題突破詳解專題17創(chuàng)新數(shù)列（含解析）

1、專題17 創(chuàng)新數(shù)列一命題類型1.數(shù)列與函數(shù)的綜合2特殊數(shù)列3.數(shù)列的性質(zhì)4數(shù)學文化與數(shù)列的應(yīng)用5.新定義數(shù)列6.找規(guī)律7.項和互化的綜合問題8.分奇偶數(shù)項的討論問題9.數(shù)列不等式知識要點及方法1遞推數(shù)列的概念如果已知數(shù)列an的第1項(或前k項)，且任一項an與它的前一項(或前若干項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，則這個公式就叫做這個數(shù)列的_；由遞推公式確定的數(shù)列叫做遞推數(shù)列2已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項一般有三種途徑：一是歸納、猜想，二是轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列；三是逐項迭代遞推數(shù)列求通項的特征歸納：(1)累加法：an1anf(n).(2)累乘法：f(n).(3)化歸法：(常見)an1AanB(A

2、0，A1)an1A(an)；an2pan1qanan2an1(p)(an1an)；an1panpn11.(4)歸納法：計算a2，a3，a4呈現(xiàn)關(guān)于項數(shù)2，3，4的規(guī)律特征.(5)迭代法：an1pan或an1a或an1panf(n)等.3.求數(shù)列前n項和的基本方法(1)公式求和法(2)裂項相消求和法數(shù)列an滿足通項能分裂為兩項之差，且分裂后相鄰的項正負抵消從而求得其和(3)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前n項的和公式就是用此法推導的(4)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個

3、等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的(5)分組轉(zhuǎn)化求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學思想(1)用函數(shù)的觀點與思想認識數(shù)列，將數(shù)列的通項公式和求和公式視為定義在正整數(shù)集或其有限子集1，2，n上的函數(shù)(2)用方程的思想處理

4、數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程(3)用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來研究(4)數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想、特殊與一般思想、類比聯(lián)想思想、歸納猜想思想等2解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問題的數(shù)學解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實際問題中3數(shù)學應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等

5、比模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化時，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系二命題類型分析及防陷阱措施1.數(shù)列與函數(shù)的綜合例1. 設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有，已知，若一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項和，則數(shù)列中第18項（ ）A. B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【方法規(guī)律總結(jié)】本題主要考查抽象函數(shù)的解析式以及數(shù)列通項與前項和之間的關(guān)系以及公式的應(yīng)用，屬于難題.已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的

6、表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式練習1. 設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有，已知，若一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項和，則數(shù)列中第18項（ ）A. B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【解析】f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=fan（an+1）函數(shù)f（x）是定義域在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列an各項為正數(shù)Sn=an（an+1）當n=1時，可得a1=1；當n2時，Sn-1=an-1（an-1+1），-可得an= an（an+1）-an-1（an-1+1）（an+an-1）（an-an-1-1）=0an0，an-an-1-1=0即an-a

7、n-1=1數(shù)列an為等差數(shù)列，a1=1，d=1；an=1+（n-1）1=n即an=n所以故選C。練習2.已知是上的奇函數(shù)， ，則數(shù)列的通項公式為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】是奇函數(shù)，令， ，令， ，令，令，同理可得，故選練習3. 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D所以= = =2016，因為f()=1,f()=1,f(x)在R上單調(diào)遞增，所以,即，故選：D.練習4. 數(shù)列是正整數(shù)的任一排列，且同時滿足以下兩個條件：；當時， ().記這樣的數(shù)列個數(shù)為.（I）寫出的值；（II）證明不能被4整除.【答案】(1)詳見解析;(2

8、)詳見解析.【解析】試題分析：（1）依題意，易得： ；（2）把滿足條件的數(shù)列稱為項的首項最小數(shù)列.對于個數(shù)的首項最小數(shù)列，由于，故或3.分成三類情況，利用已知條件逐一進行驗證即可.試題解析：（）解： . （）證明：把滿足條件的數(shù)列稱為項的首項最小數(shù)列.對于個數(shù)的首項最小數(shù)列，由于，故或3.（1）若，則構(gòu)成項的首項最小數(shù)列，其個數(shù)為；（2）若，則必有，故構(gòu)成項的首項最小數(shù)列，其個數(shù)為；（3）若則或. 設(shè)是這數(shù)列中第一個出現(xiàn)的偶數(shù)，則前項應(yīng)該是， 是或，即與是相鄰整數(shù).由條件，這數(shù)列在后的各項要么都小于它，要么都大于它，因為2在之后，故后的各項都小于它.這種情況的數(shù)列只有一個，即先排遞增的奇數(shù)，后

9、排遞減的偶數(shù).綜上，有遞推關(guān)系： ， .由此遞推關(guān)系和（I）可得， 各數(shù)被4除的余數(shù)依次為：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列，又，所以被4除的余數(shù)與被4除的余數(shù)相同，都是1，故不能被4整除. 2特殊數(shù)列例2.已知數(shù)列,則一定是A. 奇數(shù) B. 偶數(shù) C. 小數(shù) D. 無理數(shù)【答案】A【解析】因為,所以,則數(shù)列從第3項開始,每一項均為其前兩項的和,因為前兩項均為1,是奇數(shù),所以從第三項開始,第3n項均為偶數(shù),第3n+1項均為奇數(shù),第3n+2項均為奇數(shù),所以一定是奇數(shù). (2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后

10、的特征；各項的符號特征和絕對值特征；化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用處理.練習1已知數(shù)列滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故選C.練習2. 設(shè)為數(shù)列的前項和， ，且.記 為數(shù)列的前項和，若，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由2anan1=32n1（n2），得， 由2anan1=32n1（n2），且3a1=2a2，可得2a2a1=6，即2a1=6，得a1=3數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則 （2+22+23+2n） 22n21n 對nN*，Tnm，m的最小值為故答

11、案為A?！痉椒偨Y(jié)】：這個題目考查的是數(shù)列求通項的常用方法：配湊法，構(gòu)造新數(shù)列。也考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列和的最值。關(guān)于數(shù)列之和的最值，可以直接觀察，比如這個題目，一般情況下需要研究和的表達式的單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，做差和0比研究單調(diào)性，直接研究表達式的單調(diào)性。3.數(shù)列的性質(zhì)例3. 已知數(shù)列則 （ ）A. B. C. 或1 D. 【答案】B【解析】由條件可知，兩邊去倒數(shù)得 是等差數(shù)列，故 ，故得 故答案選B練習1. 數(shù)列定義為， ， ， （1）若，求的值；（2）當時，定義數(shù)列， ， ，是否存在正整數(shù)，使得.如果存在，求出一組，如果不存在，說明理由.【答案】(1)2；(2)答案見

12、解析【解析】試題分析：(1)由題意可得，裂項求和有的值是2；(2)結(jié)合所給的遞推關(guān)系討論可得存在一組滿足題意.試題解析：(1) 所以故所以（2）由得，兩邊平方所以當時，由知又，數(shù)列遞增，所以類似地， 又所以存在正整數(shù)， 存在一組練習2. 在數(shù)1和2之間插入n個正數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記為，令 (1)數(shù)列的通項公式為=_； (2) =_【答案】 ; 【解析】設(shè)在數(shù)和之間插入個正數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列則，即為此等比數(shù)列的公比故數(shù)列的通項公式為由可得，又, 故答案為練習3. 已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且， ， 為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為【答案】9

13、； 【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得，可得的取值。試題解析：即或或或n,從而n即集合為故為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為4數(shù)學文化與數(shù)列的應(yīng)用例4某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月增加2萬元如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本據(jù)測算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個月中的累計生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時間個月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個月的累計生產(chǎn)凈收入可達309萬，從第6個月開始，每個月的生產(chǎn)凈收入都與第5個月相同同時，

14、該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元（1）求前8個月的累計生產(chǎn)凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入【答案】（1）；（2）經(jīng)過9個月投資開始見效?！窘馕觥吭囶}分析: （1）根據(jù)g（3）得到k，再計算g（5）和g（5）g（4），而g（8）=g（5）+3g（5）g（4），從而得到結(jié)果；（2）求出投資前后前n個月的總收入，列不等式解出n的范圍即可試題解析（1）據(jù)題意，解得， 第5個月的凈收入為 萬元， 所以， 萬元（2）即要想投資開始見效，必須且只需，即 當時， 即不成立；當時， 即， 驗算得， 時， 所以，經(jīng)過9個月投資開始

15、見效。練習1用分期付款的方式購買某家用電器一件，價格為1 150元，購買當天先付150元，以后每月這一天還款一次，每次還款數(shù)額相同，20個月還清，月利率為1%，按復利計算若交付150元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，全部欠款付清后，請問買這件家電實際付款多少元？每月還款多少元？(最后結(jié)果保留4個有效數(shù)字)參考數(shù)據(jù)：(11%)191.208，(11%)201.220，(11%)211.232.【答案】詳見解析.【解析】試題分析: 購買當天先付款后，所欠款數(shù)可求，用20個月還清，月利率為1%，按復利計息，分期付款的總款數(shù)，是等比數(shù)列的前20項和，求出可得買這件家電實際付款數(shù)，以及每個月應(yīng)還款

16、數(shù).試題解析:由題易得x(11%)19x(11%)18x(11%)x1 000(11%)20，即x1 000(11%)20，所以x55.45，即每月還款55.45元所以買這件家電實際付款55.45201501 259(元)，每月還款55.45元練習2.吳敬九章算法比類大全中描述：遠望魏巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？ （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)塔頂 盞燈，則 ，解得 故選C練習3. 某數(shù)學大會會徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的(如圖)，其中，記， ， ， 的長度構(gòu)成的數(shù)列為，則的通項公式_.【答案】練習4. “中國剩余定理”又稱“孫子

17、定理”1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將孫子算經(jīng)中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2016這2016個數(shù)中，能被3除余1且被5整除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為_【答案】【解析】試題分析：將題目轉(zhuǎn)化為即是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，也即是的倍數(shù)即，當， ，當時， ，故，數(shù)列共有項.5.新定義數(shù)列例5. 對于給定的正整數(shù)，如果各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，總成立，那么稱是“數(shù)列”

18、 （1）若是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由； （2）若既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，求證： 是等比數(shù)列【答案】（1）見解析；（2）見解析。試題解析：（1）是“數(shù)列”，理由如下：因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為 當時，有 所以是“數(shù)列” （2）因為既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”， 所以， ， ， 由得， ， ， ， 得， ， 因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以， 所以數(shù)列從第3項起成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為 中，令得， ，所以 中，令得， ，所以 所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列練習1 記 項正項數(shù)列為，其前n項積為 ，定義 為“相對疊乘積”，如果有2013項的正項數(shù)列的“相對疊乘積

19、”為2013，則有2014項的數(shù)列 的“相對疊乘積”為( )A. 2014 B. 2016 C. 3042 D. 4027【答案】D【方法規(guī)律總結(jié)】：本題屬閱讀型試題，考查利用對數(shù)的運算法則解決問題的能力及學生的閱讀理解能力，解題時要認真審題，注意準確理解“疊乘積”的概念，利用對數(shù)的運算法則可得lg10（10T1）（10T2）（10T3）（10Tn）=lg102014+lg（T1T2Tn）即得解.練習2. 已知數(shù)列具有性質(zhì)：對任意， ， 與兩數(shù)至少有一個屬于（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由（）求證： （）求證： 【答案】（1）具有性質(zhì)（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（1）直

20、接根據(jù)定義進行判斷：由于與均不屬于數(shù)集，所以不具有性質(zhì)，而肯定時需全面檢驗：由于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，都屬于數(shù)集，所以具有性質(zhì)（2）取極端位置的數(shù)： 與中至少有一個屬于，而，所以，即證（3）從數(shù)列單調(diào)性上尋找條件： ，所以， ， ， ， ，代入即得結(jié)論試題解析：（）由于與均不屬于數(shù)集，所以該數(shù)集不具有性質(zhì)，由于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，都屬于數(shù)集，所以該數(shù)集具有性質(zhì)（）因為具有性質(zhì)，所以與中至少有一個屬于，由于，所以，故，從而，所以（）因為，所以，故由具有性質(zhì)可知，又因為，所以， ， ， ， ，從而，所以練習3. 用表示不超過的最大整數(shù)，例如，已知數(shù)列滿足，則 【答

21、案】6.找規(guī)律例6. 一同學在電腦中打出如下若干個圈:若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的的個數(shù)是（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】D【解析】試題分析： 由圖像可得圖像所示的圈可以用首項為2，公差為1的等差數(shù)列表示，前120個圈中的的個數(shù)即為，解得，前120個圈中的有個，故選D練習1. 已知等差數(shù)列an中， 將此等差數(shù)列的各項排成如下三角形數(shù)陣：則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個數(shù)是_.【答案】598【解析】等差數(shù)列an中， ， 而第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，依此類推第19行有19個數(shù)則第19行的最后一個數(shù)是數(shù)列的第1+2+19

22、=190項，則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個數(shù)是該數(shù)列的第200項，=1+1993=598故答案為：598點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)等差數(shù)列中的兩項求出數(shù)列的通項，然后弄清數(shù)陣中第20行從左到右的第10個數(shù)是該數(shù)列的第幾項，根據(jù)通項公式即求解.練習2. 觀察如下規(guī)律： ，該組數(shù)據(jù)的前2025項和為_【答案】45【解析】項數(shù)N=1+3+5+2n-1=2025,n=45,相同數(shù)湊成一組和為1，共45個1，所以，填45.練習3. 如圖所示的數(shù)陣中，用表示第行的第個數(shù)，則以此規(guī)律為_【答案】7.項和互化的綜合問題例7. 已知數(shù)列的首項為2，前項的和為，且（）（1）求

23、的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在正整數(shù)，使得為整數(shù)，若存在求出，若不存在說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）令n=1可得；（2）由，得，所以，所以，兩式相減整理可得，即，故得數(shù)列是等差數(shù)列；（3）結(jié)合（2）可求得，則，然后根據(jù)，且為12的約數(shù)可求得。試題解析：（1）易得（2）由，得，所以所以，由-，得因為，所以 所以，即，即，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 因為，所以數(shù)列的通項公式為 （3）由（2）知， ，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列 由，所以則， 注意到，且為12的約數(shù)，所以，由知8.分奇偶數(shù)項的討論問題例8. 已知數(shù)列、，其中， ，數(shù)列滿足,，數(shù)列

24、滿足 （1）求數(shù)列、的通項公式；（2）是否存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）存在， ；（3）【解析】試題分析：（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。試題解析：（1）由，即 又，所以 . 當時，上式成立，因為，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故. (2) 由（1）知，則.假設(shè)存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，即恒成立，由，解得 所以存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，此時， 的最小值為16. （3）當為奇數(shù)時， ；當為偶數(shù)時， . 因此 9.數(shù)列不等式例9. 設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知（p、

25、q為常數(shù)， ），又， ， .（1）求p、q的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在正整數(shù)m、n，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，說明理由.【答案】（1）， ；（2）；（3）存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對： 、.試題解析：（1）由題意，知，解之得（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，當n2時，Sn=Sn1+2，得，an+1=an（n2），又a2=a1，所以數(shù)列an是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以an=（3）由（2）得，=，由，得，即，即，因為2m+10，所以2n（4m）2，所以m4，且22n（4m）2m+1+4，因為mN*，所以m=1或2或3。當m=1時，由得，22n

26、38，所以n=1；當m=2時，由得，22n212，所以n=1或2；當m=3時，由得，22n20，所以n=2或3或4，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）練習1. 記等差數(shù)列的前項和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若 ，對任意，均有是公差為的等差數(shù)列，求使為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合；（3）記，求證： .【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，將，進而得到當時， ，依據(jù)定義可知數(shù)列是等差數(shù)列；（2）依據(jù)題設(shè)條件“任意的都是公差為，的等差數(shù)列”求出，然后建立等式，分析探求出滿

27、足條件，當時不滿足，進而求出正整數(shù)的取值集合為；（3）先依據(jù)題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式。證明時運用了做差比較的方法進行推證，進而證得 ，使得不等式或獲證。（2）因為的任意的都是公差為，的等差數(shù)列，所以是公差為，的等差數(shù)列，又，所以，所以，顯然， 滿足條件，當時，因為，所以，所以不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)的取值集合為.（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，即數(shù)列是公比大于，首項大于的等比數(shù)列，記公比為.以下證明： ，其中為正整數(shù)，且，因為，所以，所以，當時， ，當時，因為為減函數(shù)， ，所以，所以，綜上， ，其中 ，即.例2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的的前項和為，對，有（）求數(shù)列的通項公式；（）令，設(shè)的

28、前項和為，求證： 【答案】（I）;（）證明過程見解析；所以數(shù)列是以1為首相，1為公差的等差數(shù)列， （）練習3. 已知曲線 上有一點列過點在x軸上的射影是 ，且123n2n+1n2. （nN*）（1）求數(shù)列的通項公式（2）設(shè)四邊形 的面積是，求（3）在（2）條件下，求證： .【答案】（1） （2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）當n2時，n用n-1代，與原式作差，可解得n=2n1。(2)由點在曲線上得， ，根據(jù)直角梯形面積公式可求。（3）由（2）得，） 累加可證。試題解析：（1）n=1時， 1=1n2時， 123n-1=（n1）2 又 123n2n+1n2. 得： n=2n1（n=1仍成立）

29、 故n=2n1 （2）， 又， 故四邊形的面積為： （3）三高考真題演練1.已知數(shù)列 的前n項和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項公式；（）令 求數(shù)列的前n項和Tn.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）根據(jù)及等差數(shù)列的通項公式求解；（）根據(jù)（）知數(shù)列的通項公式，再用錯位相減法求其前n項和.試題解析：（）由題意知當時，當時，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以.（）由（）知，又，得，考點：1.等差數(shù)列的通項公式；2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和；3.“錯位相減法”.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是

30、數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等.2【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足， (1) 求的值； (2) 求數(shù)列前項和； (3) 令，證明：數(shù)列的前項和滿足【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】（1）依題， ；（2）依題當時， ，又也適合此式， ， 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故；（3）依題由知， ，【考點定位】前項和關(guān)系求項值及通項公式，等比數(shù)列前項和，不等式放縮【名師點睛】本題主要考查前項和關(guān)系求

31、項值及通項公式，等比數(shù)列前項和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應(yīng)能求得，并由得到，再用構(gòu)造函數(shù)（）結(jié)合不等（）放縮方法或用數(shù)學歸納法證明3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）記.對數(shù)列和的子集T，若,定義;若，定義.例如：時，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè),求證：.【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項，根據(jù)等比數(shù)列通項公式寫出通項公式（2）數(shù)列不等式證明，一般是以算

32、代征，而非特殊數(shù)列一般需轉(zhuǎn)化到特殊數(shù)列，便于求和，本題根據(jù)子集關(guān)系，先進行放縮為一個等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式得（3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)則因此由，因此中最大項必在A中，由（2）得，（2）為（3）搭好臺階，只不過比較隱晦，需明晰其含義.試題解析：（1）由已知得.于是當時，.又，故，即.所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以.因此，.（3）下面分三種情況證明.若是的子集，則.若是的子集，則.若不是的子集，且不是的子集.令，則，.于是，進而由，得.設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則.考點：等比數(shù)列的通項公式、求和【名師點睛】本題三個難點，一是數(shù)列新定義，利用

33、新定義確定等比數(shù)列首項，再代入等比數(shù)列通項公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的，是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列性質(zhì)，以算代征，三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實質(zhì)又是一個新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.4.【2015江蘇高考，20】（本小題滿分16分）設(shè)是各項為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由.【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在【解析】試題分析（1）根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗證每一項與前一項的比值都為同一個不為零的常數(shù)即可（2）本題列式簡單，變形較難

34、，首先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，再分別求解兩個高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，無解，所以不存在（3）同（2）先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，為降次，所以兩邊取對數(shù)，消去n,k得到關(guān)于t的一元方程。，從而將方程的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點情況，這個函數(shù)需要利用二次求導才可確定其在上無零點試題解析：（1）證明：因為（，）是同一個常數(shù)，所以，依次構(gòu)成等比數(shù)列（2）令，則，分別為，（，）假設(shè)存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且令，則，且（，），化簡得（），且將代入（）式，則顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且分

35、別在兩個等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得，且化簡得，且再將這兩式相除，化簡得（）令，則令，則令，則令，則由，知，在和上均單調(diào)故只有唯一零點，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立所以不存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列【考點定位】等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程【名師點晴】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解5. 【2015高考山東，理18

36、】設(shè)數(shù)列的前n項和為.已知.（I）求的通項公式；（II）若數(shù)列滿足，求的前n項和.【答案】（I）; （II）.【解析】（II）因為 ，所以 當 時， 所以 當 時， 所以兩式相減，得 所以經(jīng)檢驗， 時也適合，綜上可得： 【考點定位】1、數(shù)列前 項和 與通項 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題.【名師點睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運算，意在考查學生的邏輯思維能力與運算求解能力，思維的嚴密性和運算的準確性，在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學生的運算能力提出了較高的要求.6 【2016高考天津理數(shù)】已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的是和的等差

37、中項.()設(shè)，求證：是等差數(shù)列；()設(shè) ，求證：【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】試題分析：（）先根據(jù)等比中項定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（） 對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項相消法求和，易得結(jié)論.試題解析：（I）證明：由題意得，有，因此，所以是等差數(shù)列.（II）證明： 所以.考點：等差數(shù)列、等比中項、分組求和、裂項相消求和【名師點睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和7. 【2016高考

38、新課標3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項和，其中（I）證明是等比數(shù)列，并求其通項公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】由，得，所以.因此是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是（）由（）得，由得，即，解得考點：1、數(shù)列通項與前項和為關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項及前項和為【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項法，即證明根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解8. 【2014新課標，理17】（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（）證明：.【解析】：（）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，

39、首項為，公比為3，所以，解得.（）由（）知：，所以，因為當時，所以，于是=，所以.【考點定位】1.等比數(shù)列；2.等比數(shù)列的前n項和公式；3.放縮法.【名師點睛】本題考查了數(shù)列的概念，遞推數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式，放縮法證明不等式，屬于中檔題目，本題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學思想方法，注意放縮的適度.9【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）記數(shù)列的前n項和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）由已知，有，即.從而.又因為成等差數(shù)列，即.所以，解得.所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)

40、列.故.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因為，所以.于是，使成立的n的最小值為10.【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.【名師點睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得滿分.10. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列滿足，（I）證明：，；（II）若，證明：，【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析【解析】試題分析：（I）先利用三角形不等式

41、得，變形為，再用累加法可得，進而可證；（II）由（I）可得，進而可得，再利用的任意性可證試題解析：（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，對于任意，故從而對于任意，均有由的任意性得 考點：1、數(shù)列；2、累加法；3、證明不等式【思路點睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進而可證；（II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得，再利用的任意性可證11.【2015高考新課標1，理17】為數(shù)列的前項和.已知0，=.（）求的通項公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項和.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）先用數(shù)列第項與前項和的關(guān)系求出數(shù)列的遞推公式，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項

42、公式即可寫出數(shù)列的通項公式；（）根據(jù)（）數(shù)列的通項公式，再用拆項消去法求其前項和.試題解析：（）當時，因為，所以=3，當時，=，即，因為，所以=2，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；（）由（）知，=，所以數(shù)列前n項和為= =.【考點定位】數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法【名師點睛】已知數(shù)列前n項和與第n項關(guān)系，求數(shù)列通項公式，常用將所給條件化為關(guān)于前n項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式.12. 【2014課標，理17】已知數(shù)列的前

43、項和為，其中為常數(shù)，（I）證明：；（II）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由.【答案】（I）詳見解析；（II）存在，.【解析】故，由此可得，是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，；是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，所以，因此存在，使得為等差數(shù)列【考點定位】1、遞推公式；2、數(shù)列的通項公式；3、等差數(shù)列【名師點睛】本題考查了遞推公式、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式和概念、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法, 考查了考生運用數(shù)列的有關(guān)知識解題的能力和觀察、分析、歸納、猜想及用數(shù)學歸納法證明的能力，同時考查了考生的推理能力和計算能力、分類討論的思想方法.13. 【2016年高考北京理數(shù)】（本小

44、題13分） 設(shè)數(shù)列A： ， , ().如果對小于()的每個正整數(shù)都有 ，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得，則 ；（3）證明：若數(shù)列A滿足- 1（n=2,3, ,N）,則的元素個數(shù)不小于 -.【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題解析：（1）的元素為和.（2）因為存在使得，所以.記，則，且對任意正整數(shù).因此，從而.（3）當時，結(jié)論成立.以下設(shè).由（）知.設(shè)，記.則.對，記.如果，取，則對任何.從而且.又因為是中的最大元素，所以.從而對任意，特

45、別地，.對.因此.所以.考點：數(shù)列、對新定義的理解.【名師點睛】數(shù)列的實際應(yīng)用題要注意分析題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等.14. 【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；（2）由和得，從而可得，即可得證.【考點定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞