關于汽車保險費用的研究

1、關于汽車保險費用的研究摘要本文就政府實行“安全帶”法規(guī)后，因事故死亡率降低，而引起的汽車保險費用變化問題進行研究。結合汽車保險的相關知識，我們從保險公司的角度，分析其所需賠償費受法規(guī)影響后的變化，計算人均所需賠償費用，如果其降低，意味著人均風險的下降，保險公司所需要的支出也將下降，本著公平考慮保險公司和投保人的利益互惠，汽車保險的費用也將存在降低的可能性。在建模過程中，通過查閱書籍，我們對模型進行合理的假設使問題簡單化，通過對基本保險費變化與死亡率下降的關系來分析討論，回答題目的保險費變化的問題。關鍵字：基本保險費 泊松分布目錄摘要11.問題重述32.問題分析33.合理假設34.變量聲明45.

2、模型建立45.1未頒布法規(guī)情況下次年基本保險費估算45.2頒布法規(guī)情況下次年基本保險費估算76.模型求解及結果分析77.模型評價9參考書目91.問題重述某公司只提供一年期的綜合保險單，這一年里，若沒有要求賠償，則給予額外補助。顧家（即參加保險的人）被分為0、1、2、3四類。類別越高，從保險中得到的折扣越多。計算保險費時，新顧客通常屬于0類，在顧客延續(xù)其保險單時，若上一年沒有要求賠償，則提高一個類別；若在上一年內(nèi)要求過賠償，如有可能則降低兩個類別，否則為0類。顧家退出保險，不論是自然的還是事故死亡引起的，將退還給保險的適當?shù)牟糠帧．斍?，公眾觀眾的關注的熱點問題市政府提出實行“安全帶”法規(guī)，這種法

3、規(guī)施行，雖然每年的事故數(shù)量不會減少，但事故中的受傷司機和隨乘人員肯定會減少，從而醫(yī)療費會減少,這是政府預計會出現(xiàn)的結果，從而期望減少保險費的數(shù)額。這樣的結果果真會出現(xiàn)嗎？而這也正是保險公司及顧家共同關心的問題。對于采用安全帶的法規(guī)結果數(shù)據(jù)統(tǒng)計結果表明：死亡的司機減少40%，我們所要研究的就是在這樣的前提下，基本保費是否可以降低，以便照顧到公司及顧家雙方的利益不受損。2.問題分析由于政府實施安全帶法規(guī)，死亡的司機會減少40%。如果該保險公司的基本保險費保持不變，那么由于死亡人數(shù)減少，從而導致索賠支出明顯減少，那么該保險公司的盈利就會明顯增加，所以政府期望減少保險費的數(shù)額，我們只要建立一個模型估算

4、出下一年的事故賠償費總額和總投保人數(shù)，最后通過得到的各類的凈保費以及已知的該類的無賠償保險費優(yōu)惠率（折扣率）就可計算得到基本保險費。3.合理假設1) 保險公司只提供一年期的保險單,保險公司下一年的保險費預算只與基本險有關，而與附加險無關。2) 若客戶在這一年內(nèi)沒有提出賠償要求，則給予額外補助。3) 客戶被分成0，1，2，3 類，新客戶屬于0 類。4) 當客戶續(xù)保時，若上一年沒有要求賠償，則提高一個類別，若上一年中要求過賠償，則降低兩個類別或0 類。5) 客戶注銷時保險公司將退還保險金的適當部分。6) 每一類別中總投保人數(shù)等于續(xù)保人數(shù)與新投保人數(shù)之和。7) 注銷人數(shù)等于自動終止保險人數(shù)與死亡人數(shù)

5、之和。8) 每一類別的沒有索賠補比例（所交保險費的折扣率）不變。9) 自動終止保險人數(shù)與總投保人數(shù)比例不變。10) 死亡司機人數(shù)與索賠人數(shù)比例不變。11) 新車使用三年后報銷，即三年后的自動退保人數(shù)等于三年前的新投保人數(shù)。且每年的新投保人數(shù)按等比例增長。12) 下一年的平均死亡賠償費不變。13) 下一年的平均修理費不變。14) 下一年的平均醫(yī)療費不變。15) 下一年的平均償還退回的保險金額不變。16) 頒布了法規(guī)的情況下，每個類別的死亡司機比沒有頒布法規(guī)時都減少40。17) 注銷人平均所得到的償還退回金金額不變。4.變量聲明1) n：本年投保人數(shù)2) m：未頒布法規(guī)情況下次年投保人數(shù)3) bm

6、: 頒布法規(guī)情況下次年投保人數(shù)4) q：法規(guī)未頒布情況下的次年費用5) bq：頒布法規(guī)情況下的次年費用6) ：法規(guī)未頒布情況下的次年費用7) ：法規(guī)頒布情況下的次年費用8) y：未頒布法規(guī)情況下每年基本保險費9) by：頒布法規(guī)情況下每年基本保險費10) : 新投保人數(shù)的增長比例。11) c：未頒布法規(guī)情況下投保人所承擔的平均事故賠償費（即凈保費）12) bc：頒布法規(guī)情況下投保人所承擔的平均事故賠償費（即凈保費）13) r：未頒布法規(guī)情況下投保人中沒有要求索賠的人所占的比例（即所交基本保險費的折扣率）14) br：頒布法規(guī)情況下投保人中沒有要求索賠的人所占的比例（即所交基本保險費的折扣率）1

7、5) i：取0,1,2,3，代表0,1,2,3類其中上述符號可以有下標。下標“m”表示總投保人數(shù)或總索賠費用，“xi”表示第i類續(xù)保人數(shù)，“n”表示新投保人數(shù)，“z”表示注銷人數(shù)，“s”表示索賠人數(shù)，“w”表示死亡人數(shù)或者死亡賠償費，“x”表示修理費，“y”表示醫(yī)療費，“t”表示自動退保人中索賠過的人數(shù)。5.模型建立5.1未頒布法規(guī)情況下次年基本保險費估算根據(jù)假設次年3類總投保人數(shù)為：3 類總投保人數(shù)=3 類續(xù)保人數(shù)3 類注銷人數(shù)3 類降為1 類的人數(shù)（索賠人數(shù)）+3 類注銷人中索賠過的人數(shù)（包括3 類死亡人數(shù)和3 類自動退保人中索賠過的人數(shù)）（因為索賠人數(shù)和注銷人數(shù)中都包括這部份人）+2 類

8、升為3 類的人數(shù)。而2 類升為3類的人數(shù)=2 類續(xù)保人數(shù)2 類注銷人數(shù)2 類索賠人數(shù)+2 類死亡人數(shù)，即：mm3 = nx3 nz3 ns3 + nw3 + nt3 + nx2 nz2 ns2 + nw2次年2類總投保人數(shù)為：2 類總投保人數(shù)=1 類升為2 類的人數(shù)=1 類續(xù)保人數(shù)1 類注銷人數(shù)1 類降為0類的人數(shù)（即索賠人數(shù)）+1 類死亡人數(shù)+1 類自動退保人中索賠過的人數(shù)，即：mm2 = nx1 nz1 ns1 + nw1 + nt1次年1類總投保人數(shù)為：1 類總投保人數(shù)=0 類升為1 類的人數(shù)=0 類總投保人數(shù)0 類注銷人數(shù)0 類索賠人數(shù)+0 類死亡人數(shù)+0 類自動退保人中索賠過的人數(shù)+

9、3 類降為1 類的人數(shù)（3 類索賠人數(shù)3類死亡人數(shù)3 類自動退保人中索賠過的人數(shù)），即：mm1 = nm0 nz0 ns0 + nw0 + nt0 + ns3 nw3 nt3次年0類總投保人數(shù)為：0 類總投保人數(shù)=0 類索賠人數(shù)0 類死亡人數(shù)0 類自動退保人中索賠過的人數(shù)+1 類降為0 類的人數(shù)（1 類索賠人數(shù)1 類死亡人數(shù)1 類自動退保人中索賠過的人數(shù)）+2類降為1 類的人數(shù)（2 類索賠人數(shù)2 類死亡人數(shù)2 類自動退保人中索賠過的人數(shù)）+下一年的新投保人數(shù)，即：mm0 = ns0 nw0 nt0 + ns1 nw1 nt1 + ns2 ns0 nt2 + mn由假設得下一年的死亡人數(shù)與索賠人

10、數(shù)成比例，即：mwi=msikwi由假設可得：下一年的自動退保人數(shù)與總投保人數(shù)成比例；再由假設可得：注銷人數(shù)等于自動退保人數(shù)與死亡人數(shù)之和。即：mzi=mmikzi+mwi對于i類總投保人數(shù)中的每一個人，因為它服從泊松分布，所以它索賠k次的概率p為： 所以，它至少索賠一次的概率為：所以在個人中有x個人向保險公司索賠的概率為：索賠人數(shù)用它的期望來表示，為：所以：由上所述可得到次年第i類索賠人數(shù)與總投保人數(shù)的關系為：由假設可得：次年的新投保人數(shù)等于這一年的新投保人數(shù)與等比例系數(shù)之積為： 所以，第i類總的死亡賠償費可表示為：總的修理費用可表示為：總的醫(yī)療費可表示為：總賠償費=總死亡賠償費+總修理費+

11、總醫(yī)療費，即：總的償還退回金額等于人均退回金額與自動退出保險人數(shù)之積，即：根據(jù)以上各式，可得各類投保人人均所承擔的事故賠償費=（該類總賠償費+該類總償還退回金額）該類總投保人數(shù)，即：次年基本保險費y，可用各類人均事故賠償費（即各類的凈保費）和各類的保險費折扣率表示為： 所以，y為：5.2頒布法規(guī)情況下次年基本保險費估算根據(jù)假設，法規(guī)頒布前后有下列因素不變：新投保人數(shù)，各類別總的投保人數(shù)，平均修理費，平均醫(yī)療費，平均死亡賠償費，所以有：bmn = mn，bmmi = mmi，=，= ，=法規(guī)頒布后變動的因素有：死亡人數(shù)，索賠人數(shù)，注銷人數(shù)，他們的變動情況可用下列三個式子所示：頒布了法規(guī)后，每個類

12、別的死亡司機數(shù)都比法規(guī)頒布前減少了40%。可得：bmwi = mwi60%由假設，死亡人數(shù)和索賠人數(shù)比例不變，可得：bmsi = bmwikwi =（mwi60%）kwi = msi60%因為注銷人數(shù)等于自動退出人數(shù)和死亡人數(shù)之和，在死亡人數(shù)百年東的情況下，注銷人數(shù)可表示為：bmzi = mzi - mwi40%由假設得下一年的死亡人數(shù)與索賠人數(shù)成比例，即：mwi=msikwi由假設可得：下一年的自動退保人數(shù)與總投保人數(shù)成比例；再由假設可得：注銷人數(shù)等于自動退保人數(shù)與死亡人數(shù)之和。即：mzi=mmikzi+mwi次年基本保險費y，可用各類人均事故賠償費（即各類的凈保費）和各類的保險費折扣率表示

13、為： 所以，y為：6.模型求解及結果分析根據(jù)題目所提供的表的數(shù)據(jù)，代入模型進行求解。首先，求解。根據(jù)假設可得：1996年新投保人數(shù)等于2000年的自動退保人數(shù)，為：索賠人數(shù)死亡人數(shù)=340221。1997到2000年的新投保人數(shù)按等比例增長，因此有：3402214=384620。所以等比例=103.1。其次，求解自動退保中的索賠人數(shù)，解法如下所示：設第i類中某人在該年的第k天自動退出,則該人在前k天中索賠過的概率為：pri (k) = ki365因k 是隨機變量，且1 k 365 ，設pr (k=k)= ,易知 =1/365 。從而，第k類中自動退出的某一個人索賠過的概率在這一年中的期望為：q

14、i=(pri(k)b)=(bkmi365)=mi/2與前面計算索賠人數(shù)的期望同樣的方法可求得該年中在第i 類的自動退出的人群中向保險公司索賠過的人數(shù)期望值是：nt= （n si nwi）(1 - e- li )/2類別沒有索賠補貼比例（%）續(xù)保人數(shù)新投保人數(shù)總投保人數(shù)索賠人數(shù)死亡司機人數(shù)平均索賠費（元）001241266396543162780957312411460255601251758291017582915802742322731088240117832301178323118252233923528350878237208782372702658703118568根據(jù)模型求解，我們得

15、到在沒有頒布法規(guī)的情況下次年數(shù)據(jù)：2001年總死亡人數(shù)44057，總注銷人數(shù)為394825.償還退回金總額=人均退回金的金額總注銷人數(shù)，即為574.865百萬元總索賠費=），即為48517.79百萬元。最后得到頒布法規(guī)前的基本保險費為：6096元。類別沒有索賠補貼比例（%）續(xù)保人數(shù)新投保人數(shù)總投保人數(shù)索賠人數(shù)死亡司機人數(shù)平均索賠費（元）00124126639654316278093438746876255601251758291017582913481641393631088240117832301178323709511403235283508782372087823724215954219

16、18568總死亡人數(shù)：26434，總注銷人數(shù)：377202，償還退回總金額：329.38百萬元，總索賠費：29110.65百萬元。最后得出法規(guī)頒布后的基本保險費為3656元。結論：一句體重所給的2000年的保險數(shù)據(jù)估算出次年中頒布法規(guī)前后兩種情況下的基本保險費，他們分別為：6096元，3656元。由此可見，通過計算，我們得到的基本保險費在理論上是降低的，因此我們可以回答題目的問題，保險公司在法規(guī)頒布之后，保費應該下調(diào)，雖然說我們只用了一年的數(shù)據(jù)來計算，可能具有一定的偶然性，但是也能從一方面反映一段時間內(nèi)由法規(guī)的影響而造成的保費下降趨勢。7.模型評價本模型的誤差來源主要是從假設中產(chǎn)生，現(xiàn)實情況之中我們知道，保險公司的報價以及聲譽將會影響投保的人數(shù)，同時，不同時間死亡人數(shù)，修理費用，索賠費用等都會產(chǎn)生變化，而我們是假設其不變的，而且，所求得的一些重要的、所設概率分布的參數(shù)只由一