長市四模理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2012年長春市高中畢業(yè)生第四次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2 選擇題必須用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第卷（選擇題，共60分）一

2、、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）.1. 設(shè)集合,則為a. b. c. d. 2. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為a. b. c. d. 3. 下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是a. b. c. d.4. 等差數(shù)列的公差為3，若成等比數(shù)列，則=a. 8 b. 10c. 12 d. 165. 某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是a. 4b. 5c. 6d. 76. 二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為a. b. c. d. 7. 函數(shù)的部分圖像如圖，則a. b. c. d. 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，則甲不排在

3、乙之后的概率為a. b. c.d. 9. 已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 a. b. c. d. 10. 在中，點(diǎn)滿足 ，則的取值范圍是 a. b. c. d. 11. 某幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體的內(nèi)切球的體積為 a. b. c. d. 12. 若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為 a. bc d第卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題

4、卡中的橫線上).13. 若函數(shù)，則_.14. 為檢查國家全民健身運(yùn)動(dòng)的落實(shí)情況，在某社區(qū)成年居民中隨機(jī)抽取200名，統(tǒng)計(jì)其平均每天參加體育活動(dòng)時(shí)間()，畫出右邊頻率分布直方圖，已知該社區(qū)共有成年居民1500人，根據(jù)上述信息估計(jì)平均每天參加體育活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)約為_.15. 如圖，測量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)與，測得，米，并在測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔的高度_米.16. 圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過點(diǎn)但不與軸垂直的弦，o為坐標(biāo)原點(diǎn). 則的取值范圍 .三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. （本小題滿分12分） 等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正

5、數(shù)，其前項(xiàng)和為，滿足，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求數(shù)列的最小值項(xiàng).18. （本小題滿分12分） 某學(xué)校為了研究學(xué)情，從高三年級(jí)中抽取了20名學(xué)生三次測試的數(shù)學(xué)成績和物理成績，計(jì)算出了他們?nèi)纬煽兊钠骄稳缦卤恚簩W(xué)生序號(hào)12345678910數(shù) 學(xué)1.312.325.736.750.367.749.052.040.034.3物 理2.39.731.022.340.058.039.060.763.342.7學(xué)生序號(hào)11121314151617181920數(shù) 學(xué)78.350.065.766.368.095.090.787.7103.786.7物 理49.746.783.359.750.0101.3

6、76.786.099.799.0 學(xué)校規(guī)定平均名次小于或等于40.0者為優(yōu)秀，大于40.0者為不優(yōu)秀.對(duì)名次優(yōu)秀者賦分2，對(duì)名次不優(yōu)秀者賦分1，從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，用表示這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)科得分的和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)，是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為物理成績優(yōu)秀 與否和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與否有關(guān)系？(下面的臨界值表和公式可供參考：p(k2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 ，其中)19. （本小題滿分12分） 如圖，棱柱的所有棱長都等于， ，平面平面.

7、證明：；求二面角的余弦值；在直線上是否存在點(diǎn),使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.20. （本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.求橢圓方程；點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)作圓， 的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，問是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù).是否存在實(shí)數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.如果當(dāng)時(shí)，都有恒成立，試求的取值范圍.請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，在中，內(nèi)角為鈍

8、角，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且，.求證：四點(diǎn)共圓；若，求線段的長.23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講已知曲線c的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，).化曲線c的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；若直線經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，求直線被曲線截得的線段的長.24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；在的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍2012年長春市高中畢業(yè)生第四次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分細(xì)則一、 選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)題號(hào)123456789101112答案dbbcdaadd

9、dcc簡答與提示：1. d ，. 故選d.2. b ，其共軛復(fù)數(shù)為. 故選b.3. b 四個(gè)函數(shù)中只有函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù). 故選b.4. c 令首項(xiàng)為，根據(jù)條件有，.故選c.5. d ，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 即該程序輸出的. 故選d.6. a ，令，從而的系數(shù)為 . 故選a.7. a 通過觀察圖像可知函數(shù)圖像過和兩個(gè)固定點(diǎn)，由可知：；由可知：.從而. 故選a.8. d . 故選d.9. d 由于是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，所以為銳角三角形的充要條件是的銳角，即，解得，而，所以. 故選d.10. d 在中，根據(jù)余弦定理得.根據(jù)正弦定理得 從而有 .又，所以的取值范圍是. 故選d.11. c 此

10、幾何體是底面邊長為2，高為的正四棱錐，可算出其體積為，表面積為12. 令內(nèi)切球的半徑為，則，從而內(nèi)切球的體積為 故選c.12. c 函數(shù)的定義域?yàn)椋鞒龊瘮?shù)和的圖像，前者是圓的上半圓，后者是一條折線段，觀察圖像很容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，在上總有實(shí)數(shù)根. 故選c.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分) 13. 14. 960 15. 16. 簡答與提示:13. .14. (人).15. 在中，根據(jù)正弦定理得， . 在中，為所求. 16. 設(shè)直線ab的斜率為，則直線ab的方程為. 設(shè)，則由可以得.從而有.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 由于(當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以但

11、.綜合可知為所求.三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列基本量的求取、等差數(shù)列求和公式以及函數(shù)單調(diào)性等有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用.【試題解析】解：由，可得.又，可得. 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，. (4分)根據(jù)得，.由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.即數(shù)列的最小值項(xiàng)是. (12分)18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法和統(tǒng)計(jì)案例中獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)內(nèi)容.【試題解析】解：根據(jù)條件的取值為2，3，4

12、，而且在20人中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的6人，不優(yōu)秀的14人，所以有，.所以的分布列為234 (6分)數(shù)學(xué)期望. (8分)根據(jù)條件列出列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀426數(shù)學(xué)不優(yōu)秀21214合計(jì)61420所以.又，因此根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下可以認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與否和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與否有關(guān)系. (12分) 19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到直線與直線垂直的判斷、線面的平行關(guān)系的判斷以及二面角的求法等有關(guān)知識(shí).【試題解析】證明：由條件知四邊形是菱形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，又平面，因此. (3分)因?yàn)?/p>

13、，是菱形，所以，而，所以是正三角形. 令，連結(jié)，則兩兩互相垂直.如圖所示，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的法向量為.設(shè)是平面的法向量，則.令，則即.設(shè)二面角的平面角為，則是銳角，并且因此二面角的余弦值為. (8分)設(shè)這樣的點(diǎn)存在，且，而，所以，又，所以，設(shè)是平面的法向量，則.令，則，即.要使平面當(dāng)且僅當(dāng)，所以.這說明題目要求的點(diǎn)存在，實(shí)際上，延長到點(diǎn)，使得即得到所求的點(diǎn).(12分)20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)與圓錐曲線的綜合知識(shí).【試題解析】解：由右焦點(diǎn)為，可知.設(shè)左焦點(diǎn)

14、為，則，又點(diǎn)在橢圓上，則，即橢圓方程為； (4分)設(shè)，則，.連結(jié)，由相切條件知：，顯然，.同理.為定值. (12分)21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)內(nèi)容.【試題解析】解：存在，使得結(jié)論成立. 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，.若，使在上遞增，在上遞減，則，這時(shí)，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減. (5分)令，得 .若，即，則對(duì)恒成立，這時(shí)在上遞減，符合題意.若，則當(dāng)時(shí)，不可能恒小于等于0.若，則，不合題意.若，則，使.時(shí)，這時(shí)遞增，不合題意.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是. (12分)22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明及其運(yùn)算，具體涉及到共圓圖形的判斷和圓的性質(zhì)以及兩個(gè)三角形全等的判斷和應(yīng)用等有關(guān)知識(shí)內(nèi)容.【試題解析】解：連結(jié)，則因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，注意到等腰梯形的?duì)角互補(bǔ)，故，四點(diǎn)共圓，同理，四點(diǎn)也共圓，從而四點(diǎn)，在由三點(diǎn)，所確定的圓上，因此這四點(diǎn)共圓； (5分) 連結(jié)，則由得，五點(diǎn)共圓，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所?由可得，所以三角形和三角形全等，所以為所求. (10分)23. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及有關(guān)距離等知識(shí)內(nèi)容.【試題解析】解：