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1、江蘇省南通市2012屆高三第一次調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)試題a必做題部分一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分1已知全集u=1,2,3,4,5,6,7,集合,則集合= 2 已知函數(shù),則的最小正周期是 3 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),且與直線平行的直線方程為 4 若復(fù)數(shù)滿足則 5 程序如下:t1i2while i4ttiii1end whileprint t以上程序輸出的結(jié)果是 6 若的方差為3,則的方差為 7 正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為,則四面體的外接球的體積為 8 以橢圓的左焦點(diǎn)為圓心,c為半徑的圓與橢圓的左準(zhǔn)線交于不同的兩點(diǎn),則該橢圓的離心率的取值范圍是 9 設(shè)a0,集合a=(x,y)
2、|,b=(x,y)|若點(diǎn)p(x,y)a是點(diǎn)p(x,y)b的必要不充分條件,則a的取值范圍是 10在閉區(qū)間 1,1上任取兩個(gè)實(shí)數(shù),則它們的和不大于1的概率是 11數(shù)列中,且(,),則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 12根據(jù)下面一組等式:可得 13在abc中,d是bc邊上任意一點(diǎn)(d與b、c不重合),且,則等于 14設(shè)函數(shù),記,若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 答案:16,7 2 3 4 524 627 7 8 90a 10 11 12 1314b1a1abcc1d二、解答題:本大題共6小題,共90分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15(本小題14分)如圖,在正三棱柱abca1b1c1中,點(diǎn)
3、d在邊bc上,adc1d(1)求證:ad平面bc c1 b1;(2)設(shè)e是b1c1上的一點(diǎn),當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí),a1e平面adc1?請(qǐng)給出證明解: (1)在正三棱柱中,c c1平面abc,ad平面abc, adc c12分又adc1d,c c1交c1d于c1,且c c1和c1d都在面bc c1 b1內(nèi), ad面bc c1 b1 5分(2)由(1),得adbc在正三角形abc中,d是bc的中點(diǎn)7分當(dāng),即e為b1c1的中點(diǎn)時(shí),a1e平面adc18分事實(shí)上,正三棱柱abca1b1c1中,四邊形bc c1 b1是矩形,且d、e分別是bc、b1c1的中點(diǎn),所以b1bde,b1b= de 10分又b1baa1
4、,且b1b=aa1,deaa1,且de=aa1 12分所以四邊形ade a1為平行四邊形,所以e a1ad而e a1面ad c1內(nèi),故a1e平面ad c1 14分16(本小題14分)如圖,在四邊形abcd中,ad=8,cd=6,ab=13,adc=90,且(1)求sinbad的值;(2)設(shè)abd的面積為sabd,bcd的面積為sbcd,求的值acdb解 (1)在rtadc中,ad=8,cd=6,則ac=10,2分又,ab=13, 4分, 5分8分(2), 11分則,14分17(本小題15分)某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了12月1日至
5、12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:日 期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差(c)101113128發(fā)芽數(shù)(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率; (2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線性
6、回歸方程是否可靠?解:(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件,因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的,其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種, 2分所以 4分答:略 5分(2)由數(shù)據(jù),求得7分由公式,求得, 9分所以y關(guān)于x的線性回歸方程為 10分(3)當(dāng)x=10時(shí),|2223|2;12分同樣,當(dāng)x=8時(shí),|1716|214分所以,該研究所得到的線性回歸方程是可靠的 15分18(本小題15分)拋物線的焦點(diǎn)為f,在拋物線上,且存在實(shí)數(shù),使0,(1)求直線ab的方程;(2)求aob的外接圓的方程解:(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為,a,b,f三點(diǎn)共線由拋物線的定義,得|= 1分設(shè)直線ab
7、:,而由得 3分|= 6分 從而,故直線ab的方程為,即8分(2)由 求得a(4,4),b(,1)10分設(shè)aob的外接圓方程為,則 解得 14分故aob的外接圓的方程為15分19(本小題16分)已知函數(shù)在1,)上為增函數(shù),且(0,),mr(1)求的值;(2)若在1,)上為單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍;(3)設(shè),若在1,e上至少存在一個(gè),使得成立,求的取值范圍解:(1)由題意,0在上恒成立,即1分 (0,),故在上恒成立,2分 只須,即,只有結(jié)合(0,),得4分(2)由(1),得5分在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),或者在1,)恒成立6分 等價(jià)于,即, 而 ,()max=1, 8分等價(jià)于,即在1,)恒成立,而
8、(0,1,綜上,m的取值范圍是 10分(3)構(gòu)造,當(dāng)時(shí),所以在1,e上不存在一個(gè),使得成立 12分當(dāng)時(shí),14分因?yàn)?,所以,所以在恒成立故在上單調(diào)遞增,只要,解得故的取值范圍是16分20(本小題16分)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,公差為b,等比數(shù)列的首項(xiàng)為b,公比為a,其中a,b都是大于1的正整數(shù),且(1)求a的值; (2)若對(duì)于任意的,總存在,使得成立,求b的值; (3)令,問(wèn)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:(1)由已知,得由,得因a,b都為大于1的正整數(shù),故a2又,故b3 2分再由,得由,故,即由b3,故,解得 4分于是,根據(jù),可得
9、6分(2)由,對(duì)于任意的,均存在,使得,則又,由數(shù)的整除性,得b是5的約數(shù)故,b=5所以b=5時(shí),存在正自然數(shù)滿足題意9分(3)設(shè)數(shù)列中,成等比數(shù)列,由,得化簡(jiǎn),得 () 11分當(dāng)時(shí),時(shí),等式()成立,而,不成立 12分當(dāng)時(shí),時(shí),等式()成立13分當(dāng)時(shí),這與b3矛盾這時(shí)等式()不成立14分綜上所述,當(dāng)時(shí),不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列;當(dāng)時(shí),數(shù)列中的第二、三、四項(xiàng)成等比數(shù)列,這三項(xiàng)依次是18,30,5016分b附加題部分dabceo21(選做題)從a,b,c,d四個(gè)中選做2個(gè),每題10分,共20分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟a選修41(幾何證明選講)如圖,ab是半圓的直徑,c是ab延長(zhǎng)線
10、上一點(diǎn),cd切半圓于點(diǎn)d,cd=2,deab,垂足為e,且e是ob的中點(diǎn),求bc的長(zhǎng)解:連接od,則oddc在rtoed中,oe=ob=od,ode=30 3分在rtodc中,dco=30, 5分由dc=2,則ob=od=dctan30=,9分所以bc=ocob= 10分b選修42(矩陣與變換)將曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45,求所得曲線的方程解:由題意,得旋轉(zhuǎn)變換矩陣, 3分設(shè)上的任意點(diǎn)在變換矩陣m作用下為, 7分得將曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45,所得曲線的方程為10分c選修44(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求直線(t為參數(shù))被圓(為參數(shù))截得的弦長(zhǎng)解:把直線方程化為普通方程為3分將圓化為普
11、通方程為6分圓心o到直線的距離,弦長(zhǎng)所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為10分d選修45(不等式選講)已知x,y均為正數(shù),且xy,求證:解:因?yàn)閤0,y0,xy0,3分=6分, 9分所以 10分22(必做題)已知等式,其中ai(i=0,1,2,10)為實(shí)常數(shù)求:(1)的值;(2)的值解:(1)在中,令,得2分令,得 4分所以 5分(2)等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得7分在中,令x=0,整理,得10分abcdabcd23(必做題)先閱讀:如圖,設(shè)梯形abcd的上、下底邊的長(zhǎng)分別是a,b(ab),高為h,求梯形的面積dacb方法一:延長(zhǎng)da、cb交于點(diǎn)o,過(guò)點(diǎn)o作cd的垂線分別交ab、cd于e,f,則設(shè)即 方法二:作ab的平行線mn分別交ad、bc于m、n,過(guò)點(diǎn)a作bc的平行線aq分別交mn、dc于p、q,則設(shè)梯形amnb的高為,再解下面的問(wèn)題: 已知四棱臺(tái)abcdabcd的上、下
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