因式分解的所有方法

1、因式分解的多種方法 編者按：很多同學(xué)在做因式分解的題目時(shí)，會(huì)覺得無從入手。而面臨競(jìng)賽題目時(shí)，更加摸不著頭腦。在此介紹幾種因式分解的方法。其實(shí)，因式分解沒有想象中的那么難。 1】提取公因式 這種方法比較常規(guī)、簡(jiǎn)單，必須掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：23x = 0解：x ( 2x 3 ) = 0 =0 , = 這是一類利用因式分解的方程。總結(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律就是：當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=時(shí)，該式分解后必有一個(gè)(x-)因式。這對(duì)我們后面的學(xué)習(xí)有幫助。2】公式法將式子利用公式來分解，也是比較簡(jiǎn)單的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建議先提取公因式。例

2、二： 4 分解因式分析：此題較為簡(jiǎn)單，可以看出4=2 2，適用平方差公式 2解：原式= (x+2)(x-2)3】分組分解法也是比較常規(guī)的方法。一般是把式子里的各個(gè)部分分開分解，再合起來需要可持續(xù)性！例三： + 4x + 4 可以看出，前面三項(xiàng)可以組成平方，結(jié)合后面的負(fù)平方，可以用平方差公式解：原式= =(x+2+y)(x+2-y)總結(jié)：分組分解法需要前面的方法作基礎(chǔ)，可見前面方法的重要性4】十字相乘法 是做競(jìng)賽題的基本方法，做平時(shí)的題目掌握了這個(gè)也會(huì)很輕松。注意：它不難。 這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù),的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù),的積，并使+正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)

3、果例四： 把27x + 3分解因式. 分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù). 分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))： 21221； 分解常數(shù)項(xiàng)： 3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用畫十字交叉線方法表示下列四種情況： 1 1 2 3 13 + 21 =5 1 3 2 1 11 + 23 =7 1 -1 2 -3 1(-3) + 2(-1) =-5 1 -3 2 -1 1(-1)+2(-3) =-7 經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕螅瑑身?xiàng)代數(shù)和恰等于一次

4、項(xiàng)系數(shù)7.解 原式=(x-3)(2x-1).總結(jié)：對(duì)于二次三項(xiàng)式+bx+c(0)，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即 =，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=，把，排列如下： + 按斜線交叉相乘，再相加，得到+，若它正好等于二次三項(xiàng)式+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，即+=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式x+與x+之積，即 +bx+c=(x+)(x+). 這種方法要多實(shí)驗(yàn)，多做，多練。它可以包括前兩者方法。5】換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎(chǔ)上例五：-2(x+y)+1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用代替x+y那么原式= =回代原式=6】主元法這種

5、方法要難一些，多練即可即把一個(gè)字母作為主要的未知數(shù)，另一個(gè)作為常數(shù)例六：因式分解分析：本題尚且屬于簡(jiǎn)單例用，只是稍加難度，以y為主元會(huì)使原式 其煩瑣，而以x為主元的話，原式的難度就大大降低了。 原式=-【主元法】 =-【十字相乘法】可見，十字相乘十分重要。7】雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。用來分解形如bxycdxeyf 的二次六項(xiàng)式 在草稿紙上，將分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式（mxpyj）（nxqyk）要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為0，0乘任何數(shù)

6、得0， 例七：bb2分解因式解：原式01bb2 （0b1）（b2） （b1）（b2）8】待定系數(shù)法 將式子看成方程，將方程的解代入 這時(shí)就要用到1】中提到的知識(shí)點(diǎn)了 當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè)(x-a)因式 例八： + x- 2 該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數(shù)法 我們可以把它當(dāng)方程做，+x-2=0 一眼看出，該方程有一根為x=1 那么必有一因式為(x-1)結(jié)合多項(xiàng)式展開原理，另一因式的常數(shù)必為2（因?yàn)槌?1要為-2）一次項(xiàng)系數(shù)必為1（因?yàn)榕c1相乘要為1）所以另一因式為（x+2）分解為(x-1)(x+2) 9】列豎式法原理和小學(xué)的除法差不多要建立在待定系數(shù)法的方程法上不足的項(xiàng)要用0補(bǔ)除的時(shí)候，一定要讓第一項(xiàng)抵消例九：3+5-2分解因式提示：x=-1可以使該式=0，有因式（x+1）解 原式=（x+1)(3+2x-2)10】解方程法此方法是對(duì)分解的萬能方法，但在學(xué)過解方程后才會(huì)使用設(shè) 解得方程得 例十：-x-1 分解因式設(shè) 解得方程得 考慮到每種方法只有一個(gè)例題，下面提供一些題目，供大家練習(xí)。（1） （2）（3） （4）xy62x3y（5） （6）1229x15（7）(x2)(x3)(x2)(x4) （8）x(y2)xy1（9）44xy4x2y3 （10）（11） （12）（13） （14）+2x-8