數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)之直線平面及簡單多面體1

1、數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)之直線平面及簡單多面體（一） 1、三個公理和三條推論：（1）公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。（2）公理2、如果兩個平面有兩個公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。（3）公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。公理3和三

2、個推論是確定平面的依據(jù)。比如：在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的_條件（答：充分非必要）；給出命題：若al，a，bl ，b，則 l ；若a，a，b，b，則ab；若l，al，則a若a、b、c，a、b、c，且a、b、c不共線，則與重合。上述命題中，真命題是_（答：）；長方體中abcd-a1b1c1d1中，ab=8，bc=6，在線段bd，a1c1上各有一點(diǎn)p、q，在pq上有一點(diǎn)m，且pm=mq，則m點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_（答：24）2、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時(shí)，要注意：（1）使，所確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸

3、的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半。比如：用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形的形狀是（）（答：a）已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為_（答：）3、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個公共點(diǎn)。（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（3）異面直線不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。比如：空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線eg和fh的位置關(guān)系_（答：相交）；給出下列四個命題：異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；兩異面直線在同一

4、平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線。其中正確的命題是_（答：）4、異面直線的判定：反證法。 比如：（1）“、為異面直線”是指：，但不平行于；面，面且ab；面，面且；面，b面；不存在平面，能使面且面成立。上述結(jié)論中，正確的是_（答：）；（2）在空間四邊形abcd中，m、n分別是ab、cd的中點(diǎn)，設(shè)bc+ad=2a，則mn與a的大小關(guān)系是_（答：mna）；（3）若e、f、g、h順次為空間四邊形abcd四條邊ab、bc、cd、da的中點(diǎn)，且eg=3，fh=4，則ac2+bd2= _（答：50）；（4）如果、是異面直線，p是不在、上的任意一點(diǎn)，下列四個結(jié)論：過點(diǎn)p一定可以作直線與、都相交；過點(diǎn)p一定可以

5、作直線與、都垂直；過點(diǎn)p一定可以作平面與、都平行；過點(diǎn)p一定可以作直線與、都平行。其中正確的結(jié)論是_（答：）；（5）如果兩條異面直線稱作一對，那么正方體的十二條棱中異面直線的對數(shù)為_（答：24）；（6）已知平面求證：b、c是異面直線5、異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。比如：（1）正四棱錐的所有棱長相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于_（答：）；（2）在正方體ac1中，m是側(cè)棱dd

6、1的中點(diǎn)，o是底面abcd的中心，p是棱a1b1上的一點(diǎn)，則op與am所成的角的大小為_（答：90）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50，p為空間一點(diǎn)，則過p且與a、b所成的角都是30的直線有且僅有_條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是_（答：）；6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條，因?yàn)榭臻g中，垂直不一定相交。比如：（1）abcd是矩形，沿對角線ac把a(bǔ)dc折起，使adbc，求證：bd是異面直線ad與bc的公垂線；（2）如圖，在正方體abcd

7、a1b1c1d1中，ef是異面直線ac與a1d的公垂線，則由正方體的八個頂點(diǎn)所連接的直線中，與ef平行的直線有_條（答：1）；7、兩直線平行的判定：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時(shí)與第三個平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。8、兩直線垂直的判定：（1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理。9、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中

8、，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。比如：（1）下列命題中，正確的是 、若直線平行于平面內(nèi)的一條直線b , 則 / 、若直線垂直于平面的斜線b在平面內(nèi)的射影，則b、若直線垂直于平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線、若一個棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐（答：d）；（2）正方體abcd-a1b1c1d1中，點(diǎn)p在側(cè)面bcc1b1及其邊界上運(yùn)動，并且總保持apbd1，則動點(diǎn)p的軌跡是_（答：線段

9、b1c）。10、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行；面面平行的性質(zhì)：若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行。（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時(shí)，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)。比如：（1）、表示平面，a、b表示直線，則a的一個充分不必要條件是a、，ab、b，且abc、ab且b d、且a（答：d）；（2）正方體abcd-abcd中，點(diǎn)n在bd上，點(diǎn)m在b1c上，且cm=dn，求證：

10、mn面aa1b1b。11、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。比如：（1）如果命題“若z，則”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_（答：x、y是直線，z是平面）；（2）已知a，b，c是直線，、是平面，下列條件中能得出直線a平面的是a、ab，其中， b、ab ，c、， d、，（答：d）；（3）ab為o

11、的直徑，c為o上的一點(diǎn)，ad面abc，aebd于e，afcd于f，求證：bd平面aef。12、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（2）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。13、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。（2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。比如：（1）在正

12、三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=1，d在棱bb1上，bd=1，則ad與平面aa1c1c所成的角為_（答：arcsin）；（2）正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是ab、c1d1的中點(diǎn)，則棱 a1b1 與截面a1ecf所成的角的余弦值是_（答：）；（3）是從點(diǎn)引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為_（答：）；（4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角，則sin的值為_（答：）。14、平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行沒有公共點(diǎn)；（2）相交有一條公共直線。15、兩個平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：一個如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則

13、這兩個平面平行。（2）性質(zhì)：如果兩個平行平面同時(shí)與第三個平面相交，那么它們的交線平行。比如：（1）是兩個不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是a、是內(nèi)一個三角形的兩條邊，且b、內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離都相等c、都垂直于同一條直線d、是兩條異面直線，且（答：b）；（2）給出以下六個命題：垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；與同一直線成等角的兩個平面平行；一個平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個平面平行；兩個平面分別與第三個平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個平面平行。其中正確的序號是_（答：）；（3）正方體

14、abcd-abcd中ab=。求證：平面ad1b1平面c1db；求證：a1c平面ad1b1 ；求平面ad1b1與平面c1db間的距離（答：）；16、二面角：（1）平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；（4）二面角的求法：轉(zhuǎn)化為求平面角；面積

15、射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小。對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）。比如：（1）正方形abcd-a1b1c1d1中，二面角b-a1c-a的大小為_（答：）；（2）將a為60的棱形abcd沿對角線bd折疊，使a、c的距離等于bd，則二面角a-bd-c的余弦值是_（答：）；（3）正四棱柱abcda1b1c1d1中對角線bd18，bd1與側(cè)面b1bcc1所成的為30，則二面角c1bd1b1的大小為_（答：）；（4）從點(diǎn)p出發(fā)引三條射線pa、pb、pc，每兩條的夾角都是60，則二面角b-pa-c的余弦值是_（答：）；

16、（5）二面角-的平面角為120，a、b，ac，bd，ac，bd，若ab=ac=bd=1，則cd的長_（答：2）；（6）abcd為菱形，dab60，pd面abcd，且pdad，則面pab與面pcd所成的銳二面角的大小為_（答：）。17、兩個平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。定義法：即證兩個相交平面所成的二面角為直二面角；（2）性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。比如：（1）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)o，p到三個面的距離分別為3、4、5，則op的長為_（答：5）；（2）在四棱

17、錐p-abcd中，pa底面abcd，底面各邊都相等，m是pc上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)m滿足_時(shí)，平面mbd平面pcd（答：）；（3）過s引三條長度相等但不共面的線段sa、sb、sc，且asb=asc=60，bsc90，求證：平面abc平面bsc。特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 如（1）已知直線平面，直線平面，給出下列四個命題：；。其中正確的命題是_（答：）；（2）設(shè)是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出下列四個命題：若則；若，則；若，則或；若則。其中正確的命題是_（答：）18、空間距離的求法：（特別強(qiáng)調(diào)：立體幾何中有關(guān)角和距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)

18、算”的原則）（1）異面直線的距離：直接找公垂線段而求之；轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個平面。如已知正方體abcd- a1b1c1d1的棱長為，則異面直線bd與b1c的距離為_（答：）。（2）點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解。比如：等邊三角形的邊長為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時(shí)點(diǎn)到的距離是_（答：）；點(diǎn)p是120的二面角-內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)p到、的距離分別是3、4，則p到的距離為_（答：）；在正方體abcda1b1c1d1的側(cè)面ab1內(nèi)有一動點(diǎn)p到棱a1b1與棱bc的距離相等，則動點(diǎn)p所在曲線的形狀為_（答：拋物線?。＃?）點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；等價(jià)轉(zhuǎn)移法。比如：長方體的棱，則點(diǎn)到平面的距離等于_（答：）；在棱長為a的正方體abcd-a1b1c1d1中，m是aa1的中點(diǎn)，則a1到平面mbd的距離為_（答：a）。（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行