第03北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽

1、第03屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽試題1.根據(jù)國(guó)家版權(quán)局書(shū)籍稿酬暫行規(guī)定，書(shū)籍稿酬由基本稿酬和印數(shù)稿酬組成 基本稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）著作稿酬每千字10至30元，確有學(xué)術(shù)價(jià)值的，可適當(dāng)提高，但每千字不超過(guò)40元；（2）詞書(shū)稿有兩種計(jì)酬方法：其一是按一般著作稿標(biāo)準(zhǔn)另加15%至20%計(jì)算（詞條書(shū)目）；其二是按每千字20元至30元計(jì)算，另增加20%至30%的基本稿酬（百科全書(shū)詞條）印數(shù)稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）一般書(shū)籍，印數(shù)在一萬(wàn)冊(cè)以內(nèi)的，以一萬(wàn)冊(cè)計(jì)算付基本稿酬的8%印數(shù)超過(guò)一萬(wàn)冊(cè)的，其超過(guò)部分每千冊(cè)付基本稿酬的0.8%（2）確有學(xué)術(shù)價(jià)值而印數(shù)較少的專著，印數(shù)在一萬(wàn)冊(cè)以內(nèi)的，以一萬(wàn)冊(cè)計(jì)算付基本稿酬的30%

2、，印數(shù)超過(guò)一萬(wàn)冊(cè)的，計(jì)算方法同（1）根據(jù)以上內(nèi)容，解答下列問(wèn)題（1） 若印x 千冊(cè)，試寫(xiě)出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函數(shù)關(guān)系式；（2） 若王教授出版了一本25.4萬(wàn)字的書(shū)，印數(shù)1.8萬(wàn)冊(cè)，試計(jì)算他可獲得的最高稿酬和最低稿酬2 小童的父親要到美國(guó)訪問(wèn)，受人之托希望多帶點(diǎn)東西中國(guó)民航的國(guó)際旅客須知中有關(guān)規(guī)定：計(jì)件免費(fèi)行李額中規(guī)定適用中美、中加國(guó)際航線上的行李運(yùn)輸經(jīng)濟(jì)和旅游折扣票價(jià)，免費(fèi)交運(yùn)的行李數(shù)為兩件，每件箱體三邊之和不超過(guò)62英寸（158厘米），但兩件之和不得超過(guò)107英寸（273厘米），每件最大重量不得超過(guò)32公斤試問(wèn)這兩個(gè)箱子的長(zhǎng)、寬、高各為多少可達(dá)最大體積？請(qǐng)到

3、市場(chǎng)上看看，商店出售的行李箱的尺寸與你計(jì)算所得結(jié)果是否近似？為什么？3 今年年初由中國(guó)建設(shè)銀行北京市分行印發(fā)的個(gè)人住房貸款簡(jiǎn)介的小冊(cè)子中介紹了有關(guān)個(gè)人住房貸款的有關(guān)問(wèn)題其中指明貸款額最高為擬購(gòu)買住房費(fèi)用總額的70%；貸款期限最長(zhǎng)為20年個(gè)人住房貸款利率如附表1所示借款人在借款期內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息附表2列出了不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和試給出公式說(shuō)明附表2中后三列數(shù)是如何算出來(lái)的近年來(lái)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，中國(guó)人民銀行決定從1999年9月21日起，延長(zhǎng)個(gè)人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮(zhèn)居民購(gòu)房各商業(yè)銀行個(gè)人住房貸款的最長(zhǎng)期限由現(xiàn)行的20年延長(zhǎng)到30年每筆

4、貸款年限由商業(yè)銀行依據(jù)借款個(gè)人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協(xié)商確定個(gè)人住房款年利率最高水平降為5.88%并根據(jù)貸款期限劃分為兩個(gè)檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31，5年以上為年利率5.88%請(qǐng)你根據(jù)新規(guī)定計(jì)算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和，并與原附表2中的同期貸款的負(fù)擔(dān)情況比較，住房貸款的負(fù)擔(dān)各降低了多少 附表1 中國(guó)建設(shè)銀行北京分行個(gè)人住房貸款利率表貸款期月利率()年利率（%）1年（含）以下5.106.121 3（含）年5.3256.393 5（含）年5.556.665 10（含）年6.007.2010 20（含）年6.307.56附表2 中國(guó)建設(shè)銀行

5、北京分行個(gè)人住房貸款120年月均還款金額表（借款額為壹萬(wàn)元）單位：元貸款期限（年）年利率（%）還款總額利息負(fù)擔(dān)總和月均還款額16.1210612.00612.00一次還本付息56.6611784.601784.60196.41207.5619423.209423.2080.93（本表自1998年12月7日起執(zhí)行） 4 某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬(wàn)元，同時(shí)將受到環(huán)保部門(mén)的處罰，第一個(gè)月罰3萬(wàn)元，以后逐月遞增2萬(wàn)元如果從今年一月起投資500萬(wàn)元增加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本據(jù)測(cè)算投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累

6、計(jì)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間 n（以月為單位）的二次函數(shù)，生產(chǎn)前1、前2、前3個(gè)月的累計(jì)收入分別可達(dá)101萬(wàn)元、204萬(wàn)元和309萬(wàn)元，以后穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平同時(shí)該廠不但不受罰，而且還將得到環(huán)保部門(mén)一次性100萬(wàn)元的獎(jiǎng)勵(lì)問(wèn)經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，投資開(kāi)始見(jiàn)效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入5 據(jù)世界人口組織公布，地球上的人口在公元元年為2.5億，1600年為5億，1830年為10億，1930年為20億，1960年為30億，1974年為40億，1987年為50億，到1999年底，地球上的人口數(shù)達(dá)到了60億請(qǐng)你根據(jù)20世紀(jì)人口增長(zhǎng)規(guī)律推測(cè)，到哪年世界人口將達(dá)到100億？到2100年地球上將會(huì)有多少人口？6

7、 國(guó)慶慶典活動(dòng)的中心廣場(chǎng)有數(shù)萬(wàn)名學(xué)生手持圓花組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺(tái)120米，方陣縱列95人，每列長(zhǎng)度192米，問(wèn)第一、二排間距多大能達(dá)到滿意的觀禮效果？7 在某1000個(gè)人中有10個(gè)人患有一種病，現(xiàn)要通過(guò)驗(yàn)血把這10個(gè)病人查出來(lái)，若采用逐個(gè)人化驗(yàn)的方法需化驗(yàn)999次，（這里所需化驗(yàn)次數(shù)是指在最壞情況下化驗(yàn)次數(shù)，如果碰巧，可能首先化驗(yàn)的10個(gè)人全是病人，10次化驗(yàn)就夠了下面討論的化驗(yàn)次數(shù)均指最壞情況下的化驗(yàn)次數(shù)） 為了減少化驗(yàn)次數(shù)，人們采用分組化驗(yàn)的辦法，即把幾個(gè)人的血樣混在一起，先化驗(yàn)一次，若化驗(yàn)合格，則這幾個(gè)人全部正常，若混合血樣不合格，說(shuō)明這幾個(gè)人中有病人，再對(duì)它們重新化驗(yàn)（逐

8、個(gè)化驗(yàn)，或再分成小組化驗(yàn)）試給出一種分組化驗(yàn)方法使其化驗(yàn)次數(shù)盡可能地小，不超過(guò)100次參考解答1.解(1) （2）此時(shí)x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ，因此此書(shū)25.4萬(wàn)字（254千字），所以最高稿酬為 65.472254=16629.88816629.89（元），最低稿酬為11.44254=2095.76 （元）2解 設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c 顯然a0,b0,c0. 若a+b+c 一定（158）,根據(jù)a+b+c ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立，因此箱子為正方體時(shí)體積最大 設(shè)兩個(gè)正方體箱子的邊長(zhǎng)分別為a,b,(a0,b0). 由條件知 3(a+b)273,，為

9、求最大取等號(hào)，故得 a+b=91設(shè) 代入b=91-a ，則 顯然，當(dāng) 時(shí)， 有最小值，且根據(jù)題意及上述，要在 且a+b=91 ，即 ， 的條件下求f(a) 的最大值，而,于是得 兩個(gè)箱子的邊長(zhǎng)分別為 厘米和 厘米時(shí)，其體積之和為最大即為：市場(chǎng)調(diào)查思考： 商店出售的箱子三邊長(zhǎng)與計(jì)算所得誤差很大，原因：（1） 正方體箱子不易攜帶（2） 正方體箱子容量大，但易超重 很多貨運(yùn)箱的形狀與手提行李箱相比，近似于正方體，因?yàn)樨涍\(yùn)箱可更多地考慮其容積問(wèn)題3解 設(shè)貸款額（本金）為a（元），貨款期限為n（月），月利率為 ，月均還款額為b，令 為第k 個(gè)月末還款后的本利金額，則 根據(jù)題意，當(dāng)k=n 時(shí)， ,于是例如

10、貸款期5年時(shí)，由 元，得 還款總額 60b=11784.60，利息負(fù)擔(dān)總額60b-a=1784.60 ，得到附表2上相應(yīng)的值降低貨款利率后， 月均還款 總還款 60b=11408.4，總利息60b-a=1408.4 ，與原附表2中的同期貨款的負(fù)提相比，每月少交6.27 元一共少負(fù)擔(dān)376.2 元對(duì)于n60（10年），, 同理可得20年，月均還款69.24,總還款16617.6,總利息6617.6,與原來(lái)比，每月省11.69元，共省2805.6元4解 設(shè)不改造設(shè)備，按原條件生產(chǎn)，n 個(gè)月累計(jì)收入為a(n)，改造設(shè)備后生產(chǎn)，n個(gè)月累計(jì)收入為b(n)由已知條件a(n)=70n，且可設(shè)于是 101=b

11、(1)=a+b+c 204=b(2)=4a+2b+c 309=b(3)=9a+3b+c解此方程組，得到a=1, b=100, c=0 于是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，5個(gè)月內(nèi)投資不能見(jiàn)效這是因?yàn)?b(5)-500+100=125a(n)-3n+2n(n-1)/2 ，(n5),即, 化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，經(jīng)過(guò)9個(gè)月投資才可見(jiàn)效5解 題目中的數(shù)據(jù)均為大致時(shí)間，粗略估計(jì)的量，帶有較多的誤差因此尋找人口增長(zhǎng)規(guī)律時(shí)不需要，也不應(yīng)該過(guò)分強(qiáng)調(diào)規(guī)律與數(shù)據(jù)完全吻合數(shù)據(jù)中20世紀(jì)以前的人口資料更加粗略，況且人口的預(yù)報(bào)準(zhǔn)確程度主要受到20世紀(jì)人口增長(zhǎng)規(guī)律的影響，因而組建預(yù)報(bào)模型時(shí)，不必要考慮20世紀(jì)以前的數(shù)據(jù)資料，在20世

12、紀(jì)人口增長(zhǎng)速度是逐漸變快的，因此用直線變化（勻速增長(zhǎng)）建模做預(yù)報(bào)是不恰當(dāng)?shù)模蛔鰹槿丝谠鲩L(zhǎng)的模型，一般可以使用指數(shù)關(guān)系 ，其中n(t) 為t 時(shí)人口數(shù)，a,r 為參數(shù)將 式取對(duì)數(shù)可得 它是關(guān)于t 的線性模型，這里 ln為以e底的對(duì)數(shù)利用19301999年的數(shù)據(jù)可以得到lna=-28.33,r=0.0162,模型為(億)(1930t1999)模型的擬合效果為 （人口單位：億）年代1930 1960197419871999 人口數(shù)2030405060擬合數(shù)19.4931.7039.7849.1156.61擬合效果較好，可用于預(yù)報(bào)令n(t)=100 ，可求出t=2030.84 ，故可知如果照此規(guī)律大約

13、在2031年世界人口將達(dá)到100億，而于2100年世界人口將達(dá)到307億6解 下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的解法，但它是較粗糙的，不過(guò)也實(shí)用所謂滿意，可以認(rèn)為從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分是一樣的設(shè)觀禮者居高a 米，從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分高度為b 米依題意，每列從第一個(gè)人到最后一個(gè)人（第95人）有94個(gè)間空，列長(zhǎng)192米，則每列相鄰二人平均間距約2米為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設(shè)位于192米長(zhǎng)的隊(duì)列中點(diǎn)前后的兩人間隔是2米，則設(shè)第一、二排間距為 x米，則于是， （米）7解我們給出如下的方法：從1000人中任取64人，把他們的血樣混合化驗(yàn)（一般地，n 個(gè)人中有k 個(gè)病人，令s 使，則從n 個(gè)人中任取 個(gè)人一組，當(dāng)n=1000 ，k=10 時(shí)， 若這64人混合血樣合格（化驗(yàn)是陰性），則這64個(gè)人正常，可排除，無(wú)需再化驗(yàn)，再?gòu)氖Ｏ挛椿?yàn)的人中任取64個(gè)人，混合血樣化驗(yàn)若這64人混合血樣不合格（化驗(yàn)呈陽(yáng)性），說(shuō)明這64人中有病人把這64個(gè)人，分為兩組，每組32人任取一組的混合血化驗(yàn)，即可確定有病人的一組（即只需化驗(yàn)一次，若化驗(yàn)的這組血樣成陰性，則病人在另一組若化驗(yàn)的這組血樣成陽(yáng)性，這組有病人，但此時(shí)，另一組也可能有病人）作為最壞的可能情形，我們無(wú)法保證另一組的32人中沒(méi)有病人，故選定有病人的一組后，把另一組人退回到未化驗(yàn)的人群中去把有病人的這組32人，再分為兩組，每組16