四邊形的難題

1、矩 形例1 已知：如圖4-26所示，abc中，ab=ac，bac=90，d為bc的中點，p為bc的延長線上一點，pe直線ab于點e，pf直線ac于點f求證：dedf并且相等分析 如圖4-26，由已知adcd并且相等，而求證是dedf并且相等，所以應(yīng)該有adecdf反之，如果證明了這兩個三角形全等，問題也就解決了在ade和cdf中，只要證明了ad=cd，ae=cf及ead=fcd就可以了但這三個相等關(guān)系都容易證明證明 如圖4-26所示，ad=cd由已知條件可知aepf為矩形，所以ae=pf而由于pcf=45，cpf=45，所以pcf=cpf，所以pf=cf，這就有ae=cf最后ead=135=f

2、cd，所以 adecdf于是edf=adc=90，從而有dedf并且相等例2 已知：如圖4-27，abcd為矩形，cebd于點e，bad的平分線與直線ce相交于點f求證：ca=cf分析一 如圖4-27所示，由于ca，cf是caf的兩邊，因此要證明ca=cf，可試證cfa=caf由于cfbd，因此作agbd于點g，則agcf，從而cfa=fag于是問題轉(zhuǎn)化為證明fag=caf但已知af是bad的平分線，因此問題又轉(zhuǎn)化為證明bag=cad但證明這兩個角相等不會有什么困難了證法一 如圖4-27所示，作agbd于點g，bag與abd互余，cad=adb與abd互余，所以cad-bag而af平分bad，

3、所以caf=fag由于agcf，所以cfa=fag，從而cfa=caf所以ca=cf分析二 證明cfa=caf還可以考慮用計算的方法進(jìn)行設(shè)cad=bda=，則ace=90-cod=90-2而caf=daf-cad=45-所以 cfa=45-從而cfa=caf問題解決了證明從略 4 菱形例1 已知：如圖4-44所示，abcd為菱形，通過它的對角線的交點o作ab，bc的垂線，與ab，bc，cd，ad分別相交于點e，f，g，h求證：四邊形efgh為矩形分析 證明四邊形efgh為矩形有幾個方法而已知efgh的對角線都通過ac，bd的交點o，并且各垂直于菱形的兩組對邊，所以考慮通過efgh的對角線的關(guān)系

4、證明efgh為矩形由于oeab，ohad，所以立即看出oe=oh這樣efgh明顯是矩形了證明 如圖4-44所示，由于oa平分a，并且oeab，ohad，由角平分線的性質(zhì)知道oe=oh同理，oe=of，of=og，og=oh所以efgh的對角線eg，fh互相平分并且相等，所以efgh為矩形例2 已知：如圖4-45所示，五邊形abced中，ab=bc=ce=ed =da，并且ced= 2aeb求證：四邊形abcd為菱形分析 在四邊形abcd中，已知ab=bc=ad，因此只要證明abcd是平行四邊形就可以了在abcd中，已知ad=bc，因此只要證明了adbc問題就解決了由于ced=2aeb，從而在a

5、eb內(nèi)部作射線ef，使aef=aed，同時也就有bef=bec而由于ed=da，所以ead=aed，從而aef=ead，這就有adef至此，問題已經(jīng)解決了證明 如圖4-45所示，由于ced=2aeb，所以aeb=aedbec因此可在aeb內(nèi)部作射線ef，使aef=aed，bef=bec而由于ed= da，所以aed=ead從而aef=ead這樣adef同理bcef，從而adbc既然adbc，又已知ad=bc，所以四邊形abcd為平行四邊形而ab=bc，所以abcd為菱形5 正方形 例1 已知：如圖4-55所示，e是正方形abcd內(nèi)一點，且eab=eba=15求證：cde為等邊三角形分析一 在c

6、de中，顯然ce=de，所以只要證明了cd=de問題就解決了但直接證明cd=de有困難，因此可改證da=deda，de是dae的兩條邊，因此可證明dea=dae而證明這兩個角相等也有困難，所以考慮加輔助線利用全等三角形證明由于ade應(yīng)該是30，而dae=75，所以在dae內(nèi)取點f，使fda=fad=15，這就容易證明fdafde，問題得到解決證法一 如圖4-55a，在dae內(nèi)部取點f，使fda=fad=15，連結(jié)線段ef在aef中，fae=60，ae=af（為什么？），所以aef為等邊三角形，所以af=ef又afd=150，efd=360-efa-afd=360-60-150=150，從而af

7、d=efd在fda和fde中，fd=fd，af=ef，afd=efd，所以fdafde從而da=de于是de=da=cd，同理ce=cd，所以cde為等邊三角形分析二 本例也可以用一種間接的方法證明如圖4-55b，先在正方形內(nèi)作一等邊三角形cde，只要證明了cde和cde重合就可以了而要證這兩個三角形重合，只需證明e與e重合，要證明這兩個點重合，只需證明射線ae與射線ae重合，射線be與射線be重合，要證明這兩組射線分別重合，只需證明bae=abe=15但這很容易證法二 如圖4-55b，在正方形abcd內(nèi)作等邊三角形cde，連結(jié)線段ae，be在dae中，eda=90- 60=30bae=90-

8、7515，從而射線ae與射線ae重合同理，射線be與射線be重合，于是e與e重合這樣，cde與cde重合，所以cde是等邊三角形點評 證法二的方法如下：當(dāng)要證明某個圖形具有某種性質(zhì)而又不易直接證明時，可先作出具有該性質(zhì)的圖形，然后證明所作的圖形與原圖形重合，即是同一圖形因而原圖形具有該性質(zhì)這種間接的證明方法叫做同一法例2 已知：如圖4-56a，直線l通過正方形abcd的頂點d平行于對角線ac，e為l上一點，ec=ac，并且ec與邊ad相交于點f求證：ae=af分析 如圖4-56a，ae，af是aef的兩邊，因此要證明ae=af，可考慮證明aef=afe由已知條件ec=ac，如果求出ace的大小

9、顯然問題就解決了在初等幾何中見到的特殊角常是30，45，60的角從直觀上看，ace可能是30角作eh所以l上每個點到ac上引的垂線段都相等，所以題得到解決證明 如圖4-56，作doac于點o，作ehac于點h，則在ace中，ace=30，ec=ac，所以cea=75，cae=75而cad=45，所以eaf=30，所以afe=75這樣，aef=afe（=75），從而ae=af點評 本例中，點e與a位于bd同側(cè)如圖4-56b，點e與a位于bd異側(cè)，直線ec與da的延長線交于點f，這時仍有ae=af請讀者自己證明例3 已知：如圖4-57，e，f分別是正方形abcd的邊bc，cd上的一點，并且eaf=

10、45求證：aef的高線ah=ab分析 如圖4-57，ah，ab分別是ahe和abe的邊，這兩個三角形應(yīng)該全等證明了它們?nèi)?，也就證明了ah=ab這兩個三角形都是直角三角形，并且有一條公共邊，證明它們?nèi)冗€缺少一個條件應(yīng)注意eaf=45恰是直角的一半，所以fadbae=45是直角的一半如果把fad繞頂點a旋轉(zhuǎn)90到kab的位置，那么新得到的aek和aef就各有一個45角，很容易證明這兩個三角形全等，進(jìn)一步就有aheabe，問題得到解決證明 如圖4-57，延長cb到k，令bk=df連結(jié)線段ak，則abkadf，所以bak=daf，從而eakeabbak45eaf在eaf和eak中，ae=ae，af

11、=ak，eaf= eak，所以eafeak，所以aef=aek在ahe和abe中，aeh=aeb，eha= eba=直角，ae為公共邊，所以aheabe，從而ah=ab 6判定正方形為什么不強(qiáng)調(diào)判定定理？答：在“四邊形”這一章里，順次學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)、判定定理，可是學(xué)到正方形時，書上就只有性質(zhì)定理，而沒有判定定理了是遺漏了嗎？不！這是因為正方形的判定方法有多種多樣先看看正方形與其他四邊形的關(guān)系：要判定正方形，可以從平行四邊形出發(fā)，證一組鄰邊相等且夾角為90；可以從矩形出發(fā)，證一組鄰邊相等；可以從菱形出發(fā)，證一角為直角等等；或者干脆從定義出發(fā)，都可進(jìn)行判定只要搞清它們之間的關(guān)系

12、，看清題目中的條件，就不會感到束手無策例1 已知：正方形abcd中，ae=bf=cg=dh 求證：四邊形efgh是正方形分析：這個圖形是一種旋轉(zhuǎn)型的圖形，有四個直角三角形如果能證出其中兩個全等，那么就能證得周邊四個直角三角形全等，從而證得四邊形efgh的四條邊相等，且各個角是直角，即能得到結(jié)論(證明略)例2 求證：矩形各內(nèi)角平分線(對角的平分線不在一直線上)所圍成的四邊形efgh是正方形分析：四邊形abcd是矩形，每個內(nèi)角是90，加上內(nèi)角平分線的條件，可以得到1=2=8=45，那么容易得到h、f、hef和hgf是90，四邊形efgh已經(jīng)是矩形了所以這題證明的最好方法是從證矩形出發(fā)再證一組鄰邊相等，即 可證得結(jié)論(證明略)例3 已知：在四邊形abcd中，ac=bd，acbd，e、f、g、h分別是各邊中點求證：四邊形efgh是正方形分析：若能注意到中位線的