人教版高二數(shù)學(xué)必修5全套教案(全冊)

1、111正弦定理教學(xué)目標知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)重點正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。教學(xué)難點已知兩邊和其中

2、一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。教學(xué)過程一.課題導(dǎo)入bca如圖11-1，固定abc的邊cb及b，使邊ac繞著頂點c轉(zhuǎn)動。 思考：c的大小與它的對邊ab的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊ab的長度隨著其對角c的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 二.講授新課探索研究 在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖，在rtabc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，cab有，又, 則 從而在直角三角形abc中， 思考1：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角

3、三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，（1）當(dāng)abc是銳角三角形時，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有cd=,則， c同理可得， b a從而 a c b（2）當(dāng)abc是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）思考2：還有其方法嗎？ 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。（證法二）：過點a作單位向量， 由向量的加法可得 則 cabj ，即同理，過點c作，可得 從而從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使

4、，；（2）等價于，思考：正弦定理的基本作用是什么？已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理， ；根據(jù)正弦定理， 評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。練習(xí)：在中，已知下列條件解三角形。（1）， （2），例2 在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理， 因為，所以，或 當(dāng)時， ， 當(dāng)時，應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的

5、情形。課堂練習(xí)第4頁練習(xí)第2題。思考題：在abc中，這個k與abc有什么關(guān)系？三.課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。四.課后作業(yè)：p10面1、2題。1.2解三角形應(yīng)用舉例 第一課時一、教學(xué)目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力二、教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐

6、個解決三角形，得到實際問題的解教學(xué)難點：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖三、教學(xué)設(shè)想1、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設(shè)置情境請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不

7、能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。3、 新課講授（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解(2)例1、如圖，設(shè)a、b兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在a的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點c，測出ac的距離是55m，bac=，acb=。求a、b兩點的距離(精確到0.1m)提問1：abc中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？提問2：

8、運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊ab的對角，ac為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出ac的對角，應(yīng)用正弦定理算出ab邊。解：根據(jù)正弦定理，得 = ab = = = = 65.7(m)答:a、b兩點間的距離為65.7米變式練習(xí)：兩燈塔a、b與海洋觀察站c的距離都等于a km,燈塔a在觀察站c的北偏東30，燈塔b在觀察站c南偏東60，則a、b之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。 解略：a km例2、如圖，a、b兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量a、b兩

9、點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定c、d兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出ac和bc，再利用余弦定理可以計算出ab的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點c、d，測得cd=a，并且在c、d兩點分別測得bca=，acd=，cdb=，bda =，在adc和bdc中，應(yīng)用正弦定理得 ac = = bc = = 計算出ac和bc后，再在abc中，應(yīng)用余弦定理計算出ab兩點間的距離 ab = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓(xùn)練：若在河岸選取相

10、距40米的c、d兩點，測得bca=60，acd=30，cdb=45，bda =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得ab=20評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。4、 學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。5、 課堂練習(xí)：課本第14頁練習(xí)第1、2題6、 歸納總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個

11、解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解四、課后作業(yè)1、 課本第22頁第1、2、3題2、 思考題：某人在m汽車站的北偏西20的方向上的a處，觀察到點c處有一輛汽車沿公路向m站行駛。公路的走向是m站的北偏東40。開始時，汽車到a的距離為31千米，汽車前進20千米后，到a的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達m汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達b處。在abc中，ac=31，bc=20，ab=21，由余弦定理得cosc=,則sinc =1- cosc =

12、, sinc =,所以 sinmac = sin（120-c）= sin120cosc - cos120sinc =在mac中，由正弦定理得 mc =35從而有mb= mc-bc=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達m汽車站。作業(yè)：習(xí)案作業(yè)三1.2 解三角形應(yīng)用舉例 第二課時一、教學(xué)目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達的物體高度測量的問題2、鞏固深化解三角形實際問題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。3、進一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力二、教學(xué)重點、難點重點：結(jié)合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題難點：能觀察較復(fù)雜的

13、圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件三、教學(xué)過程.課題導(dǎo)入提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題.講授新課范例講解例1、ab是底部b不可到達的一個建筑物，a為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度ab的方法。分析：求ab長的關(guān)鍵是先求ae，在ace中，如能求出c點到建筑物頂部a的距離ca，再測出由c點觀察a的仰角，就可以計算出ae的長。解：選擇一條水平基線hg，使h、g、b三點在同一條直線上。由在h、g兩點用測角儀器測得a的仰角分別是、，cd = a，測角儀器的高是h，那么，在acd中，根據(jù)

14、正弦定理可得ac = ab = ae + h=ac+ h= + h例2、如圖，在山頂鐵塔上b處測得地面上一點a的俯角=54，在塔底c處測得a處的俯角=50。已知鐵塔bc部分的高為27.3 m,求出山高cd(精確到1 m)師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計出解題方案嗎？若在abd中求cd，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出bd邊。師：那如何求bd邊呢？生：可首先求出ab邊，再根據(jù)bad=求得。解:在abc中, bca=90+,abc =90-,bac=- ,bad =.根據(jù)正弦定理, = 所以 ab = 在rtabd中,得 bd =absinbad=將測量數(shù)據(jù)代入上式,得bd = =177 (m)cd

15、 =bd -bc177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.思考：有沒有別的解法呢？若在acd中求cd，可先求出ac。思考如何求出ac？例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到a處時測得公路南側(cè)遠處一山頂d在東偏南15的方向上,行駛5km后到達b處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度cd.思考1：欲求出cd，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ （在bcd中）思考2：在bcd中，已知bd或bc都可求出cd,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？ （bc邊）解:在abc中, a=15,c= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , bc = 7.4524(k

16、m) cd=bctandbcbctan81047(m)答:山的高度約為1047米.課堂練習(xí)：課本第17頁練習(xí)第1、2、3題.課時小結(jié)利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學(xué)會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當(dāng)?shù)暮喕?課后作業(yè)1、 作業(yè)：習(xí)案作業(yè)五1.2解三角形應(yīng)用舉例 第三課時一、教學(xué)目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題2、通過綜合訓(xùn)練強化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。3、培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精

17、神。二、教學(xué)重點、難點重點：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系難點：靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題三、教學(xué)過程.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。.講授新課范例講解例1、如圖，一艘海輪從a出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島b,然后從b出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島c.如果下次航行直接從

18、a出發(fā)到達c,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)學(xué)生看圖思考并講述解題思路分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ac邊所對的角abc，即可用余弦定理算出ac邊，再根據(jù)正弦定理算出ac邊和ab邊的夾角cab。解：在abc中，abc=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，ac= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sincab = = 0.3255, 所以 cab =19.0, 75- cab =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某點b處測得建筑物ae的頂端a的仰角為，沿be方

19、向前進30m，至點c處測得頂端a的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至d點，測得頂端a的仰角為4，求的大小和建筑物ae的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在acd中， ac=bc=30， ad=dc=10， adc =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30 =15， 在rtade中，ae=adsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)de= x，ae=h 在 rtace中,(10+ x) + h=30 在 rtade中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 rtace中,tan2=2=30,=15 答：所

20、求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為ae=8，由題意，得bac=， cad=2， ac = bc =30m , ad = cd =10m在rtace中，sin2=- 在rtade中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，ae=adsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例3、某巡邏艇在a處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的c處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖

21、建立數(shù)學(xué)模型分析：這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿ab方向經(jīng)過x小時后在b處追上走私船，則cb=10x, ab=14x,ac=9,acb=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以bc = 10x =15,ab =14x =21,又因為sinbac =bac =38,或bac =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用

22、題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.課堂練習(xí)課本第16頁練習(xí).課時小結(jié)解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。.課后作業(yè) 習(xí)案作業(yè)六1.2解三角形應(yīng)用舉例 第四課時一、教學(xué)目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用2、本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具

23、體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識的生動運用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。3、讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗二、教學(xué)重點、難點重點：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題三、教學(xué)過程.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。在abc中，邊

24、bc、ca、ab上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎?？生：h=bsinc=csinb h=csina=asinc h=asinb=bsinaa師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式s=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinc代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，s=absinc，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，s=bcsina, s=acsinb.講授新課范例講解例1、在abc中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積s（精確到0.1cm）（1）已知a=14 cm, c=24 cm, b=150;（2）已知b=60, c=45, b=4 cm;（3）已知三邊的長分別為a=3 c

25、m,b=4 cm, c=6 cm分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：略例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？思考：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosb= =0.7

26、532sinb=0.6578 應(yīng)用s=acsinb s 681270.65782840.38(m)答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。變式練習(xí)1：已知在abc中，b=30,b=6,c=6,求a及abc的面積s提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,s=9;a=12,s=18例3、在abc中，求證：（1）（2）+=2（bccosa+cacosb+abcosc）分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，用正弦定理來證明證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k 顯然 k0，所以 左邊=右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊

27、=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊變式練習(xí)2：判斷滿足sinc =條件的三角形形狀提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊” （解略）直角三角形.課堂練習(xí) 課本第18頁練習(xí)第1、2、3題.課時小結(jié)利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。.課后作業(yè) 習(xí)案作業(yè)七21數(shù)列的概念與簡單表示法（一）一、教學(xué)要求：理解數(shù)列及其有關(guān)概念；了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項

28、公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項的特征寫出它的一個通項公式.二、教學(xué)重點、教學(xué)難點：重點：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用.難點：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項，抽象、歸納出數(shù)列的通項公式.三、教學(xué)過程：導(dǎo)入新課 “有人說，大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”“樹木的，?！保?（一）、復(fù)習(xí)準備：1. 在必修課本中，我們在講利用二分法求方程的近似解時，曾跟大家說過這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即如果將初始量看成“1”，取其一半?！啊?，再取一半還?！啊保?、，如此下去，即得到1，、2. 生活中的三角形數(shù)、正方形數(shù). 閱讀教材提問：這些數(shù)有什么規(guī)律？與它所表示的圖形的序號有什么關(guān)系？（

29、二）、講授新課：1. 教學(xué)數(shù)列及其有關(guān)概念：（1）三角形數(shù)：1，3，6，10，（2）正方形數(shù)：1，4，9，16，（2）1，2，3，4的倒數(shù)排列成的一列數(shù)：（3）-1的1次冪，2次冪，3次冪，排列成一列數(shù)：-1，1，-1，1，-1，。（4）無窮多個1排列成的一列數(shù)：1，1，1，1，。有什么共同特點？ 1. 都是一列數(shù)；2. 都有一定的順序 數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.辯析數(shù)列的概念：（1）“1，2，3，4，5”與“5，4，3，2，1”是同一個數(shù)列嗎？與“1，3，2，4，5”呢？ -數(shù)列的有序性（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)嗎？（3）數(shù)列與集合有什么

30、區(qū)別？集合講究：無序性、互異性、確定性，數(shù)列講究：有序性、可重復(fù)性、確定性。 數(shù)列中每一個數(shù)叫數(shù)列的項，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（或首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項、排在第位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項. 數(shù)列的一般形式可以寫成，簡記為. 數(shù)列的分類：(1)按項數(shù)分：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，(2)按項之間的大小關(guān)系：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動數(shù)列. 數(shù)列中的數(shù)與它的序號有怎樣的關(guān)系？ 序號可以看作自變量，數(shù)列中的數(shù)可以看作隨著變動的量。把數(shù)列看作函數(shù)。 即：數(shù)列可看作一個定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)，如果有意義

31、，可以得到一個數(shù)列： 如果數(shù)列的第n項與項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。函數(shù)數(shù)列（特殊的函數(shù)）定義域r或r的子集或它的子集解析式圖象點的集合一些離散的點的集合2應(yīng)用舉例例1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： （1） （2） 2，0，2，0練習(xí)：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,； (2) , , , , , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 18, 54, 162, .例2. 寫

32、出數(shù)列的一個通項公式，并判斷它的增減性。思考：是不是所有的數(shù)列都存在通項公式？根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出的通項公式是唯一的嗎？例3根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，寫出前五項：（1） （2）例4求數(shù)列中的最大項。例5已知數(shù)列的通項公式為，求是這個數(shù)列的第幾項？三. 小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項公式及其應(yīng)用.四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：p31面1、2、題、2. 作業(yè)：習(xí)案九。2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法（二）教學(xué)要求：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與的關(guān)系.教學(xué)重點：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.教學(xué)難點：理解遞推公式與通項公

33、式的關(guān)系.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：1).以下四個數(shù)中,是數(shù)列中的一項的是 ( a )a.380 b.39 c.32 d.182).設(shè)數(shù)列為則是該數(shù)列的 ( c )a.第9項 b. 第10項 c. 第11項 d. 第12項 3).數(shù)列的一個通項公式為4）、圖2.1-5中的三角形稱為希爾賓斯基（sierpinski）三角形。在下圖4個三角形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，請寫出這個數(shù)列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象。二、探究新知（一）、觀察以下數(shù)列，并寫出其通項公式： 思 考： 除了用通項公式外，還有什么辦法可以確定這些數(shù)列的每一項？（二）定義：已知數(shù)列的第一項（或前幾項）

34、，且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.練習(xí): 運用遞推公式確定一個數(shù)列的通項： 例1:已知數(shù)列的第一項是1,以后的各項由公式給出,寫出這個數(shù)列的前五項解:練習(xí): 已知數(shù)列的前n項和為:求數(shù)列的通項公式.例2.已知,求.解法一: - 觀察法解法二: -累加法例3:已知,求.解法一: 解法二: -迭乘法 三、課堂小結(jié)： 1.遞推公式的概念；2.遞推公式與數(shù)列的通項公式的區(qū)別是：(1)通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相臨兩項(或n項)之間的關(guān)系.(2)對于通項公式,只要將公式中的n依次取即可得到相應(yīng)的項，而遞推公式則要

35、已知首項（或前n項），才可依次求出其他項.3用遞推公式求通項公式的方法：觀察法、累加法、迭乘法.四、作業(yè)1.閱讀教材p30-33面2. 習(xí)案作業(yè)十22 等差數(shù)列(一)一、教學(xué)目標1知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題； 2. 過程與方法:讓學(xué)生對日常生活中實際問題分析，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應(yīng)用的實踐操作并在操作過程中二、教學(xué)重、難點重點：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項公

36、式； 難點：概括通項公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。三、教學(xué)設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識來解決。今天我們先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。探索研究 由學(xué)生觀察分析并得出答案：（放投影片）1、在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，_,_,_,_,2、2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設(shè)置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。3、水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有

37、良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.54、我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010

38、 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看這些數(shù)列有什么共同特點呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項間的關(guān)系， 由學(xué)生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）。 等差數(shù)列的概念等差數(shù)列：一般

39、地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。注意：公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數(shù)列 ,若 =d (d是與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nn ，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差；(3)若d=0, 則該數(shù)列為常數(shù)列提問：（1）你能舉一些生活中的等差數(shù)列的例子嗎？（2）如果在與中間插入一個數(shù)a，使，a，成等差數(shù)列數(shù)列，那么a應(yīng)滿足什么條件？由學(xué)生回答：因為a，a，b組成了一個等差數(shù)列，那么由定義可以知道：a-a=

40、b-a 所以就有 由三個數(shù)a，a，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，a叫做a與b的等差中項。不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13中 ，5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項?？磥?，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q 則 等差數(shù)列的通項公式提問：對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？ 、我們是通過研究數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公

41、式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項公式： 猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 猜想得到這個數(shù)列的通項公式是、那么，如果任意給了一個等差數(shù)列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？ 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進行歸納： （n-1）個等式 所以 思考：那么通項公式到底如何表達呢？ 得出通項公式：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為： 也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項和公差d，那么這個等差數(shù)列的通項就可以表示出來了。選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：（迭加法）： 是等差數(shù)列， （迭代法）：是等差數(shù)列，則有 所以 兩邊分

42、別相加得 所以 所以 例題分析例1、求等差數(shù)列8，5，2，的第20項.-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項？如果是，是第幾項？解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得 由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。 解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例2：（1）在等差數(shù)列中，已知，求首項與公差d；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，求的值.解：(1)解法一：，則 所以，這個等差數(shù)列的首項是2，公差是3 解法二：, 由 得所以，這個等差數(shù)列的首項是2，公差是3例3：梯子最高一級寬

43、33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度解：設(shè)表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知：=33, =110，n=12,即10=33+11 解得： 因此，答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例4：三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為18,它們的平方和為116,求這三個數(shù).解：設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d則解得這三個數(shù)依次為4，6，8或8，6，4注（1）設(shè)未知數(shù)時盡量減少未知數(shù)的個數(shù).（2）結(jié)果應(yīng)給出由大到小和由小到大兩種情況.例5：已知

44、四個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為28,中間兩項的積為40,求這四個數(shù).解：設(shè)這個數(shù)為a-3d, a-d, a+d,a+3d則解得: 或這四個數(shù)依次為-2,4,10,16或16,10,4,-2.例6某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費. 令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時，n=11，

45、此時需要支付車費 答：需要支付車費23.2元。隨堂練習(xí) 課本39頁“練習(xí)”第1、2題； 課堂小結(jié)等差數(shù)列定義：即(n2)等差數(shù)列通項公式：(n1)推導(dǎo)出公式：四、作業(yè)習(xí)案作業(yè)十一。2.2等差數(shù)列（二）一、教學(xué)目標1、掌握判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列常用的方法；2、進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及應(yīng)用3、進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及應(yīng)用二、教學(xué)重點、難點重點：等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及應(yīng)用難點：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題三、教學(xué)過程（一）、復(fù)習(xí)1等差數(shù)列的定義2等差數(shù)列的通項公式： (或 =pn+q (p、q是常數(shù))3有幾種方法可以計算公差d: d= d= d=4

46、. an是首項a1=1, 公差d=3的等差數(shù)列, 若an =2005,則n =( ) a. 667 b. 668 c. 669 d. 6705. 在3與27之間插入7個數(shù), 使它們成為等差數(shù)列,則插入的7個數(shù)的第四個數(shù)是( ) a. 18 b. 9 c. 12 d. 15 二、新課1性質(zhì)：在等差數(shù)列an中,若m + n=p + q, 則am + an = ap + aq 特別地,若m+n=2p, 則am+an=2ap例1. 在等差數(shù)列an中 (1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1

47、+a2+a5=30, a6+a7+a10=80,求a11+a12+a15.解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , a15=2ba;(2) 5+6=3+8=11,a5+a6=a3+a=m(3) a8=a5+(83)d, 即15=6+3d, d=3，從而a14=a5+(14-5)d=6+93=33 2判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法：（1） 定義法: 證明an-an-1=d (常數(shù))例2. 已知數(shù)列an的前n項和為sn=3n2-2n, 求證數(shù)列an成等差數(shù)列,并求其首項、公差、通項公式.解: 當(dāng)n=1時,a1=s1=32=1; 當(dāng)n2時,an=snsn1=3n22n 3(n1

48、)22(n1)=6n5; n=1時a1滿足an=6n5,an=6n5 首項a1=1,anan1=6(常數(shù)) 數(shù)列an成等差數(shù)列且公差為6.（2）中項法: 利用中項公式, 若2b=a+c,則a, b, c成等差數(shù)列.（3）通項公式法: 等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).例3. 已知數(shù)列的通項公式為其中p、q為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項（n1），求差得 它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？這個數(shù)列的首項。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.如果一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。探究引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標系中，畫出通項公式為的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，時，對應(yīng)的可以利用通項公式求出。經(jīng)過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直