電磁感應(yīng)問題中焦耳熱求解方法歸類例析

1、電磁感應(yīng)問題中焦耳熱求解方法歸類例析教學(xué)案例 近年來高考試題、各地模擬試題頻頻出現(xiàn)電磁感應(yīng)中求解電熱能即焦耳熱的題型，其解題途徑往往有兩條：一是用公式q=i2rt求解；二是計(jì)算克服安培力做的功w克安，運(yùn)用w克安q來間接計(jì)算。學(xué)生在解題中常常因?yàn)椴荒芎芎玫睦斫夂蛻?yīng)用而陷入迷茫，為了提高學(xué)生的甄別能力，避免解題時(shí)出錯(cuò)，本文將幾種電磁感應(yīng)問題中焦耳熱的求解方法歸類總結(jié)如下：一、用公式q=i2rt計(jì)算的三種情形1、用公式q=i2rt直接計(jì)算q=i2rt直接應(yīng)用的前提是電流恒定或電流i以方波規(guī)律變化，對(duì)于動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)eblv一般指在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中導(dǎo)體棒切割磁感線的速度v不變；而對(duì)于感生電動(dòng)勢(shì)，則要求不變。例1

2、、如圖所示，矩形金屬線圈的質(zhì)量為m，電阻為r，放在傾角為的光滑斜面上，其中ab邊長(zhǎng)度為l，且與斜面底邊平行。mn、pq是斜面上與ab平行的兩水平虛線，間距為d。在t=0時(shí)刻加一變化的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度b大小隨時(shí)間t的變化關(guān)系為b=b0-kt，開始方向垂直斜面向上，kt1b0kt2。在t=0時(shí)刻將線圈由圖中位置靜止釋放，在t=t1時(shí)刻ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)，t=t2時(shí)刻ab邊穿出磁場(chǎng)，穿出磁場(chǎng)前的瞬間線圈加速度為0。（重力加速度為g）求：（1）從t0到tt1運(yùn)動(dòng)過程中線圈產(chǎn)生的熱量q；（2）在tt1時(shí)刻，線圈中電流大?。唬?）線圈的ab邊在穿過磁場(chǎng)過程中克服安培力所做的功w。lnqmpabcd解析：（1）

3、求解的是均勻變化磁場(chǎng)引起的感生電流產(chǎn)生的焦耳熱，在0到t1時(shí)間內(nèi)：是恒定不變的，感應(yīng)電流大小，所以在0到t1時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱qi2rt1， （2）在0到t1時(shí)間內(nèi)，矩形線圈做初速度為0加速度agsin的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，t1時(shí)刻，速度v1gsint1，t1時(shí)刻，線圈中既有感生電動(dòng)勢(shì)，又有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)楞次定律和右手定則，兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)同向，所以e2（b0kt1）lv1ldk， e2（b0kt1）l gsint1ldk，所以 （3）t2時(shí)刻，ab邊穿出磁場(chǎng)瞬間的速度為v2，此時(shí)只有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) e3（kt2b0）l v2， i3，由于t2時(shí)刻加速度為0，根據(jù)牛頓第二定律：mgsin （kt2b0）i

4、3l0，考慮ab邊進(jìn)入mn到ab邊離開pq的過程中，利用動(dòng)能定理： mgdsinw克安mv22mv12 解得：w克安mgdsinmg2sin2t122、用電流i的有效值計(jì)算 當(dāng)導(dǎo)體棒垂直切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)eblv，公式中只要b、l、v任意一個(gè)物理量按正弦（余弦）規(guī)律變化，回路中都會(huì)產(chǎn)生正弦（余弦）交流電，此時(shí)就可以用電流的有效值來計(jì)算焦耳熱。例2、如圖所示，矩形裸導(dǎo)線框長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為2，短邊的長(zhǎng)度為，在兩個(gè)短邊上均接有電阻r，其余部分電阻不計(jì)，導(dǎo)線框一長(zhǎng)邊與軸重合，左邊的坐標(biāo)x=0，線框內(nèi)有一垂直于線框平面的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足關(guān)系。一光滑導(dǎo)體棒ab與短邊平行且與長(zhǎng)邊接觸良

5、好，電阻也是r，開始時(shí)導(dǎo)體棒處于x=0處，從t=0時(shí)刻起，導(dǎo)體棒ab在沿x方向的力f作用下做速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，求：（1）導(dǎo)體棒ab從x=0到x=2的過程中力f隨時(shí)間t變化的規(guī)律；（2）導(dǎo)體棒ab從x=0到x=2的過程中回路產(chǎn)生的熱量。解析：（1）根據(jù)題意，在t時(shí)刻ab棒的坐標(biāo)為 xvt； 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)ebvb0v；而回路總電阻 r總rrr；所以回路總電流因?yàn)榘魟蛩龠\(yùn)動(dòng)，則有ff安bil解得 f （0 t）（2）導(dǎo)體棒ab在切割磁感線過程中產(chǎn)生半個(gè)周期的正弦交流電，電流的有效值為 根據(jù) q=解得： 3、用微元法（或基本積分）來計(jì)算 現(xiàn)在的高三學(xué)生，高中數(shù)學(xué)已經(jīng)教授了導(dǎo)數(shù)和微積分的基本知識(shí)，例如常

6、數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，sinx的導(dǎo)數(shù)為cosx ，cosx的導(dǎo)數(shù)sinx，對(duì)于電磁感應(yīng)問題中，電流i隨時(shí)間有規(guī)律變化的題型，可以嘗試用微元法或積分進(jìn)行計(jì)算。例3、如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的光滑直金屬導(dǎo)軌mn、pq平行固定在傾角=370的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距l(xiāng)=1m，導(dǎo)軌的電阻可忽略。m、p兩點(diǎn)間接有阻值為r的電阻。一根質(zhì)量m=1kg，電阻r=0.2的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好。整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度b=0.5t的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向下，自圖示位置起，桿ab受到大小為f=0.5v+2（式中v為桿ab運(yùn)動(dòng)的速度，力f的單位為n）、方向平行導(dǎo)軌沿斜面向下的拉

7、力作用，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，測(cè)得通過電阻r的電流隨時(shí)間均勻增大。g取10m/s2，sin370=0.6。(1)試判斷金屬桿ab在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做何種運(yùn)動(dòng)，并寫出推理過程；(2)求電阻的阻值r；mrpabfxnqb(3)求金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時(shí)間t和該過程中整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱q；解析：（1）根據(jù)題意，ikt(k為定值)，而，所以： v=at，所以a為恒量，金屬棒ab在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。 （2）根據(jù)閉合電路歐姆定律： ，由牛頓第二定律： fmgsinf安ma f安bil f0.5v2聯(lián)立以上式子，可解得 +8由第（1）題知：加速度a為恒量，與v無關(guān)，所以=

8、0，可解得r=0.3，并且 a=8m/s2。（3）由于f=0.5v+2，f是變力，f與位移x的關(guān)系比較復(fù)雜，在中學(xué)階段，求解金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m做的功對(duì)于一般學(xué)生是比較困難的，而，所以可以用微元法或積分來計(jì)算焦耳熱。由x=，得t=0.5s，t=0.5s內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱微元法：q=i2（r+r）323232簡(jiǎn)單積分：q=32三、用w克安=q間接計(jì)算的三種情形1、用動(dòng)能定律求解w克安 動(dòng)能定理告訴我們，外力對(duì)物體所做的功，等于物體動(dòng)能的變化，w合例4、如圖所示,一根質(zhì)量為m的金屬棒mn水平放置在兩根豎直的光滑平行金屬導(dǎo)軌上,并始終與導(dǎo)軌保持良好接觸,導(dǎo)軌間距為l,導(dǎo)軌下端接一阻值

9、為r的電阻,其余電阻不計(jì).在空間內(nèi)有垂直于導(dǎo)軌平面的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小只隨豎直方向y變化,變化規(guī)律b=ky,k為大于零的常數(shù).質(zhì)量為m=4m的物體靜止在傾角=30的光滑斜面上,并通過輕質(zhì)光滑定滑輪和絕緣細(xì)繩與金屬棒相連接.當(dāng)金屬棒沿y軸方向從y=0位置由靜止開始向上運(yùn)動(dòng)h時(shí),加速度恰好為0.不計(jì)空氣阻力,斜面和磁場(chǎng)區(qū)域足夠大,重力加速度為g.求:（1）金屬棒上升h時(shí)的速度(2)金屬棒上升h的過程中,電阻r上產(chǎn)生的熱量；解析：（1）當(dāng)金屬棒上升h時(shí)，加速度為0，由整體法得： mgsin300=mg+f安金屬棒受到的安培力 f安=bil=khil而 感應(yīng)電流i=， 所以聯(lián)立解得：v=；（2）電阻

10、r上產(chǎn)生的熱量為q，對(duì)整體運(yùn)用動(dòng)能定理： mghsinmghw克安=所以 w克安=mgh所以 q= w克安=mgh可見，如果所研究的物體（物體系）同時(shí)受幾個(gè)力的作用，這幾個(gè)力中只有f安是變力，其余為恒力，并且初末速度已知，用動(dòng)能定理來解決問題事半功倍。2、用功能原理來求解w克安 機(jī)械能守恒定律告訴我們，在只有重力和彈力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，言下之意，如果除重力和彈力以外的其他力對(duì)物體也做功，系統(tǒng)的機(jī)械能就會(huì)發(fā)生變化，而且這些力做了多少功，系統(tǒng)的機(jī)械能就轉(zhuǎn)化了多少，這就是功能原理。例5、相距l(xiāng)1.5m的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌豎直放置，質(zhì)量為m11kg的金屬棒ab和質(zhì)量為m20.27kg的金屬棒cd均

11、通過棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導(dǎo)軌上，如圖（a）所示，虛線上方磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，虛線下方磁場(chǎng)方向豎直向下，兩處磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同。ab棒光滑，cd棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.75，兩棒總電阻為1.8，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。ab棒在方向豎直向上，大小按圖（b）所示規(guī)律變化的外力f作用下，從靜止開始，沿導(dǎo)軌勻加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)cd棒也由靜止釋放。（1）求出磁感應(yīng)強(qiáng)度b的大小和ab棒加速度大?。唬?）已知在2s內(nèi)外力f做功26.8j，求這一過程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱；解析：（1）由（b）圖可得：外力f=11+1.8t,對(duì)ab棒分析： 而 v=at，代入數(shù)據(jù)可解得：，利用（b）圖，當(dāng)t=0時(shí)，a=1m/s

12、2，所以：=0，所以b=1.2t，（2）2s內(nèi)，ab棒上升的距離 ；ab棒增加的重力勢(shì)能： ab棒增加的動(dòng)能： ab棒增加的機(jī)械能： =由功能關(guān)系得：wfw克安=也就是外力f做的功加上安培力做的功等于ab棒增加的機(jī)械能。所以，w克安=wf=26.8224.8j從以上例題可以看出，功能原理也可以推廣到電磁感應(yīng)問題中，除重力（彈力）以外的外力（包括安培力）做的功等于物體機(jī)械能的變化量。3、用能量守恒定律來求焦耳熱q 能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律是自然界的基本規(guī)律，也是物理學(xué)的重要規(guī)律，在電磁感應(yīng)中用能量守恒來求解焦耳熱歷來是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)與難點(diǎn)。例6、如圖所示，兩條光滑的絕緣導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的水平部分與圓弧部

13、分平滑連接，兩導(dǎo)軌間距為l，導(dǎo)軌的水平部分有n段相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中的虛線范圍），磁場(chǎng)方向豎直向上，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為b，磁場(chǎng)的寬度為s，相鄰磁場(chǎng)區(qū)域的間距也為s，s大于l，磁場(chǎng)左右兩邊界均與導(dǎo)軌垂直?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m，電阻為r，邊長(zhǎng)為l的正方形金屬框，由圓弧導(dǎo)軌上某高度處靜止釋放，金屬框滑上水平導(dǎo)軌，在水平導(dǎo)軌上滑行一段時(shí)間進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，最終線框恰好完全通過n段磁場(chǎng)區(qū)域。地球表面處的重力加速度為g，感應(yīng)電流的磁場(chǎng)可以忽略不計(jì)，求：（1）剛開始下滑時(shí)，金屬框重心離水平導(dǎo)軌所在平面的高度；（2）整個(gè)過程中金屬框內(nèi)產(chǎn)生的電熱解析：設(shè)金屬框剛好完全進(jìn)入水平軌道時(shí)的速度為v0，考慮金屬框進(jìn)入第一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)受到安培力，由動(dòng)量定理：，即；進(jìn)行求和，得到： 所以： ，也就是金屬框完全進(jìn)入第一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，速度變化量大小為：，根據(jù)對(duì)稱性：金屬框從第一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域完全出來，速度變化量大小也為： ，因此，金屬框穿過第一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，速度變化量大小為： 2根據(jù)題意，最終金屬