5定積分習題與答案

1、第五章定積分(A)1 利用定積分定義計算由拋物線圍成的圖形的面積。2y x1，兩直線x a, x b(b a)及橫軸所2 利用定積分的幾何意義，證明下列等式:11)o2xdx 12)01 x2dx3) sin xdx 04) 2 cosxdx 2 2 cosxdx023.估計下列各積分的值1)x arcta n xdx0 2x x .2) e dx丿24 根據(jù)定積分的性質(zhì)比較下列各對積分值的大小21) 1 In xdx 與2(In x) dx2) 0exdx 與 0(1 x)dx65 計算下列各導數(shù)X 1 t 2 11) , (x2 -4)dx1 xdtd cosx23)不 sinx C0S(

2、 t )dt6 計算下列極限1)limx 0cost2dt2)ixmox0叩sin t)dt1 cosx3)limx 0xo(1t2)edtxex t27當x為何值時，函數(shù)I(x) 0te dt有極值?&計算下列各積分2) ：、x(1 x)dx3)122 ,(1 x2)dx4）。dx22a x5)2 dxe11 x26)。sinxdx7)。sinx sin coskx sin Ixdx 0xdxx 1x11 21x2x28)。f(x)dx，其中 f(x)9設k, l為正整數(shù)，且kl，試證下列各題:22) cos kxdx1) cos kxdx 04) sinkxsinl xdx 010.計算下

3、列定積分1)0 (1 sin3 )d22) 2 cos udu63)4)x2dx5)3 dx1 X2X26)o2(1x2)3dx7)dx*X218)1 xdx5 4x9)2a0xdx.3a2 x2110) 0te 2dt2x2dx2x12) 2 cosxcos2xdx211)82x(cosx x)dx13) 2 cosx cos xdx214)15) 0 .1 cos2xdx11利用函數(shù)的奇偶性計算下列積分1) 2 4 cos4 d22)f (arcsin x)2廠廠x2dx3)5 x3sin2 x5x4 2x2-dx112.設f (x)在a, b上連續(xù)，證明:bf(x)dxa(a b x)d

4、x13.證明:1 dxx1 x20)14.計算下列定積分101) 1xe xdxo2)3 x-:24 sin xdx163)14) oxarctanxdx oecosxdx26) 0 (xsin x) dxe8) 11 In xdxee7) 1 sin (I n x)dxdx15判定下列反常積分的收斂性，如果收斂，計算反常積分的值。、ax .2)0edxa3)1 xdx2 xhx4)0 e pt sin tdt( p 0,0)6)2 xdxdxx2 2x8)dx(B)1.填空：n12丄)n n估計定積分的值:dx.2341 sin2 x運用積分中值定理可得：lim x a x axf (t)d

5、t(f (x)是連續(xù)函數(shù))= an a sin xlim-dx(a 0)n n x-sin . tdtlimx00 (x)為可導函數(shù)，則F (x)2 2 ”F(x) sint dt，其中(x)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足x3 10 f(t)dt x,則 f(7)已知a2ln2 dx8)3.22 x sin x .8,242 sin x dx? x4 2x2 119)若 0 f (x)f (x)exdx 1, f (1)0,則 f(0)10)廣義積分時收斂，廣義積分b dxa (x a)k時收斂。2.汽車以每小時36km速度行駛，到某處需要減速停車，設汽車以等加速度 a25m /s 剎車，問從開始

6、剎車到停車，汽車駛過了多少距離?3 計算下列極限:X2X2cost2dtX2costdtXm0ioX2)ln(1x2)Xm0t20e dt)X 2t2te dt04) limX2(arctant) dtX1)y4求下列由參數(shù)方程給出或隱函數(shù)方程所決定的y對X的導數(shù)先tsin udu0tcosudu01)由 yetdt0Xcostdt00所決定的隱函數(shù)y y(x)。5.設 f(x)1 .sin x20X，求(x)0 f (t)dt 在()內(nèi)的表達式。6.設f (x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導，且f (x)0 ,1XF(x)f (t)dt，證明在(a,b)內(nèi)有 F (x)0。x a a

7、1 17證明：0xm(1 x)ndx0xn(1 x)mdx。&若f(x)在0,1上連續(xù)，證明：1) 2 f(sinx)dx 2 f(cosx)dxxsi n x2) xf (sinx)dxf (sinx)dx,由此計算：dx02 00 1 cos x9.證明：o f (sinx)dx 2； f (sinx)dx 2； f (cosx)dx并計算：01 sin2 x dx10.若f (t)是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明xf(t)dt是偶函數(shù)；若f(t)是連續(xù)函數(shù)且為偶函18x數(shù)，證明0 f(t)dt是奇函數(shù)。11.計算下列定積分:201)e1 x(1In xIn2x)dx2)sin xdxcosx3

8、) o41n(1 tan x)dx4)dx0 x v a2 x25)1 sin 2xdx6)dx2cos x7)設 f(X)11 x1ex1x 02，求 o f(x 1)dx。ln2 3x e02x dx、2 x ,9)0 COS xe dxx)10)1ln(1o(2x)2dxi11)0(1mx2) 2dx (m為自然數(shù))21a12) x f(x) f( x)a.(a2 x2)mdx(f(x)為連續(xù)函數(shù)，m為自然數(shù))2 113)0Tldx14)Im oxSxdx(m 為自然數(shù))12.已知 f ( )1，且 0 f (X)f (x) sinxdx 3,其中 f (x)連續(xù)，求 f (0)。dx1

9、3當k為何值時，反常積分k收斂？當k為何值時，這反常積分發(fā)散？又當 k2 x(l nx)k為何值時，這反常積分取得最小值？n x14推公式計算反常積分 In 0 x e dx1計算下列極限:1) lim1nn n i 1(C)2) limn1p 2pn71-(p 0)243) lim ln n n2.設 f (x)在 0,內(nèi)連續(xù)且f(x)0,證明函數(shù)F(x)x0 tf (t)dt在 0,0 f(t)dt內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。3設f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(x) 0，xF(x) a f(t)dtx dt,x b f(t)a,b，證明：1)F (x)22)方程F(x) 0在區(qū)間a,b內(nèi)有且僅有一

10、個根。4 .設f (x)在a,b上連續(xù)，且 f (x)0，證明:在 (a,b) 內(nèi)有且僅有使下式b 1f (x)dxdx 成立。af(x)5.計算下列積分：12x xmaXe ,e )dx 4tan2n xdx3)06設f (x)是以I為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:f (x)dx的值與a無關。7.設f(x) 為連續(xù)函數(shù)，證明:t)dtx t0(0f(u)du)dt&設f (x), g(x)在區(qū)間a,b上均連續(xù)，證明:b2 b 2b 21) ( f(x)g(x)dx) f (x)dx g (x)dxaaa1 b2) (a f(x) g(x) dx)2(:f2(x)dx)21(:g2(x)dx護9.設f

11、 (x)在區(qū)間a,b上連續(xù),g(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)且不變號,證明至少存在一點a,b，使下列等式成立bbf (x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx (積分第一中值定理)a第五章定積分答案習題答案(A)1,33、(b a)1.3(ba )323.1)13xarcta n xdx一9322 24.1 ) 1In xdx1 (ln x)2dx5. 1)1 x4 2x2 0 2 一2) 2eex xdx2e 421 12) oexdx o(1 x)dx3) (sin x cosx) cos( sin2x)6. 1) 12) 13) 17.當x 0時c51& 1)2-2) 45 -3)-4

12、)8633a85 )-16) 47)18)3433)14 a10. 1)2)-4)368416.22 . 33 -315)6)-7)8)331269)(.31)a10)11e711)-12)22314) 2. 2413)3311. 1)22) 3243) 012.提示：令13 .提示：令214. 1) 1e3)lln323)4(21 n 21)14)4215)5(e2)7)1(esi n1ecos11)8)2(1115. 1)-31.2.3.5) 1填空:原式=6)014)f (a),0 8)10(m)2 x lim x 0原式=原式=原式=227)(B)-dx xIn 22)213_71dx

13、2sin184)5)(sin2(x)(x)1121053849)10)1, k 1limx 02x 2 cost dt 010xlim空x 0cosx4 2x10x9xm04COSX5x81102xcos tdt0x2x t2e dt2 limx 02xx elim空x 0x2 e 一 =2訕業(yè)沁丄x 162、x212cosx=12x0x264. 1)巴dxdy 由 dxcost si ntcsctdt2）對方程兩邊冋時求x的導數(shù)得ycosx5.0x 0X 110 x(x)sin xdx(1 cosx)0 2 21xsin xdx 10 2yx02528f(x)(x a) f( )(x a)(

14、x a)2f(x)(x a) a f(t)dt 6提示：F (x)2(x a)=f（x）f（） （a x）x a7提示：令1 x t，利用定積分的換元法& 1 )令 t x22)令 t x9.提示：令 f(sin x)dx = 2 f (sinx)dxf (sin x)dx2對 f (sin x)dx，令 t2x，利用換元法得結果。210提示：令F（x）x0 f (t)dt，則有F(x)f (t)dt，再利用換元法得結果。11. 1)-ln223 x2)原式=ndx0 1 cosx2 sin x0 1 cosxdx =23)In 2（提示：令x )4)令 xasin t,8445)2( . 2

15、1)6) 2.22027)原式=1f(t)dt1f(t)dt0 f (t)dt 1ln(1 e1 5 2 2x218)原式二 10 Xde -(1 ln2)9）原式=x 1 cos2x ,edx3(e1)10)原式=10ln(1x)dCIn 20(&11)原式=dx0 (x 3)(x 1)1dx3)(x 1)0(x12.提示：考慮得 f (0)1.2.3.4.丄)dx=丄1 n2x 131 (x 3)( x 1)dxsin xdx cosxf (x)O 0 f (x)sin xdx(C)2)原式=lim丄(n n n3)原式=lim丄ln嗎n n證明：F (x)證明：1)顯然23(22xXf(

16、X)0F (x)f(x) 0,2)由 f (x)在又由1 )知又 F(a)2plimnx(0f(x)1)dx丄0p 11ln xdx 10xf(x) 0tf(t)dt f(t)dt)21f(x)F(x) 2f(x)f；x)2a, b上連續(xù)知 F(x) 在a, b上連續(xù)F (x)2dt b f(t)方程F (x)0在x令 F(x) f (x)dxa(a.F(x)在a,b上單調(diào)遞增。bF(b) f t dt 0ab)內(nèi)有且僅有一個根。b dx，下證明同3。f(x)309證明:由f(x)在a,b上連續(xù)知：m, M，有0._,x5. 1)原式=e dxi1 2x e odx1 2x 1 e2 02)令

17、 In =oan2nxdxan2n02x(sec x1)dx=：ta n2n2xdta nx4 - 2n4 tan02 xdx =2n 104 tan2n 2 xdx得遞推式:In12n 1In 1 ,而丨033f(x)dx3)令xtant 原式=41n1 tant dt 又令 t u04則有4 ln 1 tant dt4 ln2du001ta n uln 24ln401 tant dt,所以原式ln 28a l0la l6.證明：a f(x)dx =f(x)dxa0 f(x)dxl f(x)dxa l1a la對lf (x)dx，令 x lt ,lf(x)dx 0f (l t)dtf(x)是以I為周期的連續(xù)函數(shù),f(l t) f (t)于是得：a lla f (x)dx = o f (x)dx 結論成立。a Iaf (x)dxa0 f(l t)dta0 f(t)dt7.證明：txxx令 of(u)du F(t)，右邊=o F(t)dt tF(t)x o tdF(t)xxx=xF(x) 0tf (t)dt x0 f(t)dt 0tf(t)dtx=o(x t) f (t)dt =左邊&證明：b 21)對，由題設f(x) g(x) dx 0ab 2b2 b 2即 f (x)dx 2 f(x)g(x