2012年高中競(jìng)賽必備資料歷屆(118)希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二試題(含答案)(4) 全國(guó)通用

1、2012年高中競(jìng)賽必備資料第十一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第二試2000年4月23日 上午8：3010：30一、選擇題（每小題6分，共60分）1、函數(shù)f ( x ) = log( 2 x 2 + 2 x+ 1 ) x是（ ）（A）偶函數(shù) （B）奇函數(shù) （C）奇且偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)2、ABC中，BC = 6，BC上的高為4，則AB AC的最小值是（ ）（A）24 （B）25 （C）24 （D）263、If l 1 : x + 3 y 7 = 0 , l 1 : k x y 2 = 0 and positive x axis and positive y axis make a q

2、uadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A） 6 （B） 3 （C）3 （D）6（英漢小字典：positive 正的；quadrilateral 四邊形；circumcircle 外接圓）4、直線y = x + 3和曲線 += 1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）35、若f ( x + y ) = f ( x ) f ( y )，且f ( 1 ) = 2，則+ +=（ ）（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）20026、定義在R上的偶函數(shù)f ( x )在 0，+ )上是增函數(shù)，且f ()

3、= 0，則不等式f ( logx ) 0的解是（ ）（A）(，1 ) （B）( 2，+ ) （C）( 0，)( 2，+ ) （D）(，1 )( 2，+ )7、將圓x 2 + ( y 1 ) 2 = 1的中心到直線y = k x的距離記為d = f ( k )，給出以下三個(gè)判斷：數(shù)列 n f ( n ) 是遞增數(shù)列；數(shù)列的前n項(xiàng)和是； () 1 = 1其中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3 （B）2 （C）1 （D）08、設(shè)計(jì)一條隧道，要使高3.5米，寬3米的巨型載重車(chē)輛能通過(guò)，隧道口的縱斷面是拋物線狀的拱，拱寬是拱高的4倍，那么拱寬的最小整數(shù)值是（ ）（A）14 （B）15 （C）16 （D）179

4、、已知x、y、zR+，且+= 1，則x +的最小值是（ ）。（A）5 （B）6 （C）8 （D）910、從一個(gè)半徑是1分米的圓形鐵片中剪去圓心角為x弧度的一個(gè)扇形，將余下的部分卷成一個(gè)圓錐（不考慮連接處用料），當(dāng)圓錐的容積達(dá)到最大時(shí)，x的值是（ ）（A） （B） （C）( 3 ) （D）二、A組填空題（每題6分，共60分）11、空間中與一個(gè)位置確定的三角形的三條邊距離都相等的點(diǎn)的軌跡是 。12、R is the domain of f ( x ) , and “ f ( tan x ) = sin 2 x ” is true when the real number x( , ), then

5、the maximum of f ( sin 2 x ) is .13、設(shè)f ( x ) = x 2 + b x + 9，g ( x ) = x 2 + d x + e，若f ( x ) = 0的根是r，s，g ( x ) = 0的根是 r， s，則f ( x ) + g ( x ) = 0的根是 。14、已知定點(diǎn)A ( 1，3 )，B ( 3，3 )，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)APB最大時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 。15、已知A ( 1，)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OA在坐標(biāo)平面內(nèi)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，掃過(guò)的面積是，這時(shí)A點(diǎn)到達(dá)的位置A的坐標(biāo)是 。16、數(shù)列 a n 滿(mǎn)足：a n + 1 = ( 1 ) n + 1

6、 n 2 a n，n 1并且a 1 = a 2001，則a 1 + a 2 + + a 2000 = 。17、已知ABC中，C = 90，CB = a，CA = b，點(diǎn)P在ABC三邊上運(yùn)動(dòng)，則PA + PB + PC的最小值是 。18、如圖，三棱臺(tái)ABCDEF上、下底面邊長(zhǎng)的比是12（上底為ABC），G是側(cè)棱CF的中點(diǎn)，則棱臺(tái)被截面AGE分成的上、下兩部分體積的比是 。19、圓x 2 + y 2 = r 2（r 0）經(jīng)過(guò)橢圓+= 1（a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且與該橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)P是其中的一個(gè)交點(diǎn)，若PF1F2的面積為26，橢圓的長(zhǎng)軸為15，則a + b + c = 。20、

7、當(dāng)是銳角時(shí)，( sin + tan ) ( cos + cot ) 的值域是 。答案：一、A、A、C、D、B、C、A、B、D、D；二、11、過(guò)三角形的內(nèi)心且垂直于三角形所在平面的一條直線；12、1；13、 3 i；14、；15、( 1，)；16、；17、a + b；18、25；19、13 +；20、( 2，+)。簡(jiǎn)解：4、（，），（0，3），（，）；10、V = r 2= r r () 3 =，有r =，r =，r = 1 ；三、解答題21、當(dāng) 1 x 1時(shí)，記函數(shù)f ( x ) = log( x 2 a x + a 2 + 2 )的極大值為g ( a )，試求g ( a )的最大值。解：由x

8、 2 a x + a 2 + 2 = ( x a ) 2 +a 2 + 2可知：當(dāng)a 1，即a 3時(shí)，g ( a ) = f ( 1 ) = log( a 2 +a + 3 ) g ( 3 ) = log10；當(dāng) 1 a 1，即 3 a 3時(shí)，g ( a ) = log(a 2 + 2 ) g ( 0 ) = log2 = 1；當(dāng)a 1，即a 3時(shí)，g ( a ) = f ( 1 ) = log( a 2 a + 3 ) g ( 3 ) = log10；綜上所述，可知g ( a )的最大值是 1。22、一個(gè)棱長(zhǎng)為l的立方體平放于桌面上，將它由上而下地沿水平方向切成n等份，依次記為a 1，a 2

9、，a n，然后：從a 1切下一個(gè)長(zhǎng)為，寬為，厚為的長(zhǎng)方體，它的體積記為V1；從a 2切下一個(gè)長(zhǎng)為，寬為，厚為的長(zhǎng)方體，它的體積記為V2；從a 3切下一個(gè)長(zhǎng)為，寬為，厚為的長(zhǎng)方體，它的體積記為V3；如此繼續(xù)下去求：（1）Vk（1 k n）；（2）；（3）。解：（1）Vk =l 3；（2）=l 3；（3）=l 3。23、求所有的正實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有a cos 2 x + a 2 sin 2 x 2。解：a cos 2 x + a 2 sin 2 x 2，a cos 2 x + 2，( a cos 2 x 1 ) 2 1 a（*），若0 cos 2 x 1，則0 1 a cos 2 x 1

10、 a 1，（*）式恒成立；若 1 cos 2 x 0，則0 a cos 2 x 1 1，由（*）式得( 1 ) 2 1 a， a 3 2 a + 1 0， a 或 a 1， a 1。第十二屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第二試2001年4月23日 上午8：3010：30一、選擇題（每小題6分，共60分）1、設(shè)有4個(gè)函數(shù)，第一個(gè)函數(shù)是y = f ( x )，第二個(gè)函數(shù)是它的反函數(shù)，將第二個(gè)函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到第三個(gè)函數(shù)的圖象，第四個(gè)函數(shù)的圖象與第三個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x + y = 0對(duì)稱(chēng)，那么第四個(gè)函數(shù)是（ ）（A）y = f ( x 1 ) 2 （B）y =

11、f ( x + 1 ) 2（C）y = f ( x 1 ) + 2 （D）y = f ( x + 1 ) + 22、定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足： f ( 10 + x )為偶函數(shù)， f ( 5 x ) = f ( 5 + x )，則f ( x )一定（ ）（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) （B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)3、正四面體的側(cè)面三角形的高線中，其“垂足”不在同一側(cè)面上的任意兩條所成角的余弦值是（ ）（A） （B） （C） （D）4、已知等差數(shù)列 a n 中，| a 3 | = | a 9 |，公差d 0，則使前n項(xiàng)和S n取最大值

12、的n的值是（ ）（A）5 （B）6 （C）5和6 （D）5和6和75、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由不等式組所確定的圖形的面積等于（ ）（A）75 （B）60 （C）50 （D）45 6、若0 x 是不等式x 2 log a x 0成立的必要而非充分條件，則a的取值范圍是（ ）（A）( 0，) （B）( 0，) （C）(，1 ) （D），1 )7、已知復(fù)數(shù)z，w滿(mǎn)足：| z 1 i | | z | =，| w + 3 i | = 1，則| z w |的最小值為（ ）（A）2 （B） （C） 1 （D）不能確定的8、當(dāng)0 0滿(mǎn)足a 5 a 3 + a = 2，則（ ）（A）a （B） a （C）

13、a 每件需人員數(shù)每件產(chǎn)值（萬(wàn)元/件）A類(lèi)1/27.5B類(lèi)1/36二、填空題：（每小題6分，共60分）11、某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開(kāi)發(fā)A、B兩類(lèi)共50件電子器件，每類(lèi)每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：今制定開(kāi)發(fā)計(jì)劃使總產(chǎn)值最高，則A類(lèi)產(chǎn)品安排 件，最高產(chǎn)值為 萬(wàn)元。12、已知tan =，a，bR+，( 0，)，則+= 。13、關(guān)于的函數(shù)y = cos 2 2 a cos + 4 a 3，當(dāng) 0，時(shí)恒大于0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。14、一個(gè)四棱柱的一個(gè)對(duì)角面面積為S，與該對(duì)角面相對(duì)的兩側(cè)棱間的距離為d，兩對(duì)角面構(gòu)成的二面角是60，則四棱柱的體積V = _ 。15、已知數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式是a

14、 n =，b n =（= 1，2，3， ），則數(shù)列 b n 的前n項(xiàng)和S n = 。16、已知a是正常數(shù)且a 1，則方程a x + a x + 1 = 3 cos 2 y的解是 。17、復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足等式z + | z | 3 = 0，則z = 。18、Assume that in the sequence a n there are a 1 =, a n = S n S n 1 ( n 2 ) where S n is the sum of the first n terms . Then the formula for general term of a n is （英漢小字典：sequenc

15、e數(shù)列；sum 和；term項(xiàng)）19、定圓C的圓心的坐標(biāo)為( 0，1 )，半徑為1，動(dòng)圓P與x軸相切且平分圓C的周長(zhǎng)，則動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程是 。20、已知+= 20，則| 3 x 4 y 100 |的最大值為 ，最小值為 。答案：一、C、A、C、C、C、D、C、D、 、C；二、11、20，330；12、；13、( 4 2，+ )；14、S d；15、 1；16、；17、0， i；18、a n = ；19、 ；20、100 + 25，100 25。簡(jiǎn)解：3、AB = 1，AE =，EG =，AG =；5、原不等式可化為( x + y ) ( x y ) ( x y + 1 ) ( x y 1

16、 ) 0，及x 0，y 0，且x 2 + y 2 100，在坐標(biāo)系內(nèi)可表示為圖中的八個(gè)部分： x 0，y 0，x 1， x 0，y y，x y 1， x 0，x + y 0，x y 1， x 0，x + y 0，x y 1， x 0，y 0，x y，x y 1， x 0，y 0，x y，x y 0，y 0，x + y 1， x 0，y 0，x y 1；， 7、圖中| z w |可表示為射線OA上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)間的距離，則其最小值為圓C上的點(diǎn)到射線OD：x y = 0（x 0）的距離，即ED = CD CE = 1；20、( x，y ) 滿(mǎn)足條件在直角坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形是圖中的以O(shè)，A( 8

17、，6 )為焦點(diǎn)的橢圓，且c = 5，a = 10，則b = 5，而| 3 x 4 y 100 |可表示為橢圓上的點(diǎn)到直線3 x 4 y 100 = 0的距離的5倍，設(shè)橢圓的中心為B，則B( 4，3 ) ，BD = 20，PB = QB = 5，故最大值為5 PD = 5 ( 20 + 5) = 100 + 25，最小值為5 QD = 5 ( 20 5) = 100 25；三、解答題21、圖中由左向右的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列 a n，nN 的前12項(xiàng)：a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y

18、4x 5y 5x 6y 6（1）求a 2001，a 2000，a 1998；（2）求a n。解：（1）a 2001 = 1001， a 2000 = 500，a 1998 = 500；（2）a n = 。22、求三次函數(shù)y = x 3 3 x 2 + 2 x + 1在區(qū)間( 0，1 )上的最大值和取得此最大值時(shí)自變量x的值。解：由y = 3 x 2 6 x + 2 = 0，得x = 1 ，而y | 0 = 2，y | 1 = 1，當(dāng)x = 1 時(shí)，此函數(shù)取得最大值為+ 1。23、已知曲線C上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)A( 1，0 )與定直線x = 4的距離之和等于5。對(duì)于給定的點(diǎn)B( b，0 )，在曲線上

19、恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，求b的取值范圍。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M( x，y )，則+ | x 4 | = 5，得y 2 = 4 x（0 x 4）或y 2 = 16 x + 80（4 x 5），設(shè)P( x 1，y 1 )，Q( x 2，y 2 )關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，且0 x 1 4，4 x 2 5，則有，可得到x 2 =， 4 5， b 4。第十三屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第二試2000年4月21日 上午8：3010：30一、選擇題（每小題6分，共60分）1、設(shè)x，y滿(mǎn)足arccos ( y 2 ) = arcsin ( x 1 )，則3 x + y的取值范圍是（ ）（A） 5 ，5 + （B） 5

20、 ，6 （C） 6，8 （D） 6，5 +2、方程x 5 + x + 1 = 0和x + 1 = 0的實(shí)根分別為和，則 + 等于（ ）（A） 1 （B） （C） （D）13、函數(shù)y = log的值域是（ ）（A）( ，log 2 6 )（B）( log 2 6，log 2 6 )（C） log 2 6，+ )（D）log 2 6，+ )4、四面體ABCD的各面都是銳角三角形，且AB = CD = a，AC = BD = b，AD = BC = c，平面分別截棱AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長(zhǎng)的最小值是（ ）（A）2 a （B）2 b （C）2 c （D）a +

21、b + c5、從空間一點(diǎn)引三條不共面的射線，則以每條射線為棱的三個(gè)二面角的和的取值范圍是（ ）（A）( 180，270 ) （B）( 180，360 ) （C）( 180，540 ) （D）( 270，540 )6、已知橢圓+= 1上有三點(diǎn)P i ( x i，y i )（i = 1，2，3 ），它們到同一個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是d 1，d 2，d 3，則d 1，d 2，d 3成等差數(shù)列的充要條件是（ ）（A）x 1，x 2，x 3成等差數(shù)列 （B）y 1，y 2，y 3成等差數(shù)列（C）上述(A)、(B)同時(shí)成立 （D）(A)、(B)以外的條件7、若不等式+ m對(duì)所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，則m的最小值是

22、（ ）（A）2 （B）2 （C）2 （D）48、不等式x 2 | x 2 4 x + 3 | 0的解集是（ ）（A）， （B），（C）( ，)(，+ ) （D），9、將3個(gè)半徑為1的球和一個(gè)半徑為 1的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個(gè)較小的球，四個(gè)球兩兩相切，那么上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離是（ ）（A） （B） （C） （D）10、Given two sequences a n 、 b n with positive terms , let a n be arithmetic with the common difference d , let b n be the length of t

23、he line segment cut by the parabola y = a n x 2 + 2 a n + 1 x + a n + 2 ( nN* ) from the x axis . Then ( b 1 b 2 + b 2 b 3 + + b n 1 b n ) =（ ）（A） （B） （C） （D）（英漢小字典：sequence數(shù)列；common difference 公差；parabola 拋物線；x axis x軸）二、填空題：（每小題6分，共60分）11、已知f ( x )是區(qū)間 2，2 上的增函數(shù)，且f ( 2 ) = 4，若f ( x ) m 2 2 a m + 3對(duì)

24、所有的x 2，2 和a 1，1 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。12、已知方程a cos x + b sin x = c在0 x 0 . Then the range of p is _.19、在四面體ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且腰長(zhǎng)為a。過(guò)D作截面DEF交面ABC于EF，若EFBC，且將四面體的體積二等分，則面DEF與面BCD的夾角等于_。20、長(zhǎng)為l（l ；14、；15、去掉兩個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線；16、，；17、x 2 + 8 y 2 8，2；18、（ 3，）； 19、arctan；20、。簡(jiǎn)解：10、b n = | x 2 x 1 | =，b n 1

25、 b n = 4 d ()，S =4 d () =；三、解答題21、從半徑為l的圓鐵片中去掉一個(gè)半徑為l、圓心角為x的扇形，將余下的部分卷成無(wú)蓋圓錐。（1）用x表示圓錐的體積V；（2）求V的最大值。解：（1）設(shè)卷成的無(wú)蓋圓錐體的底面半徑為r，高為h，則有 2 x = 2 r，V = r 2 h，r 2 + h 2 = 1，其中0 x 2 ，0 r 1，0 h 1， x = 2 ( 1 r )，r = 1 ，h =， V = r 2 h = r 2= ( 1 ) 2 =， V =，（0 x 2 ）。（2）由（1）知，V = r 2（0 r 0 )的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)A（a + 4，0）為圓心，| A

26、F |為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn)。（1）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)F的橢圓上。（2）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得| FP |是| FM |與| FN |的等差中項(xiàng)？如果存在，求a的值；如果不存在，說(shuō)明理由。解：（1） 拋物線y 2 = 4 a x ( a 0 )的焦點(diǎn)為F（a，0），準(zhǔn)線為l ：x = a，又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a + 4，0）， | FA | = 4， 以A為圓心，| FA | 為半徑的圓在x軸的上方的方程為( x a 4 ) 2 + y 2 = 16，（x 0，y 0）。由，得x 2 + ( 2 a 8 ) x + a 2 + 8 a = 0

27、，設(shè)M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）（其中：x i，y i（i = 1，2），均為正數(shù)），則有x 1 + x 1 = 8 2 a，x 1 x 2 = 8a，x = ( 2 a 8 ) 2 4 ( a 2 + 8 a ) = 64 a + 64 0， 0 a 1，又 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離相等， | FM | + | FN | = | x 1 + a | + | x 2 + a | = ( x 1 + a ) + ( x 2 + a ) = ( x 1 + x 2 ) + 2 a ) = 8，| MN | | FM | + | FN | = 8， 點(diǎn)F、M、N均在A上， | A

28、M | = | AN | = | AF | = 4， | AM | + | AN | = 8， 點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)F的橢圓上。（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的a，則有2 | FP | = | FM | + | FN | = 8，即| FP | = 4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x 0，y 0），則有，由| FP | = 4，得( 4 a a ) 2 + a (+) 2 = 16，化簡(jiǎn)，得2 a= 2 a ( 4 a )， a = 0或a = 1，與0 a 0 )個(gè)單位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗兩次，說(shuō)明哪種方案能使水果上殘存的農(nóng)藥量較少。解：（1）設(shè)f ( 0 ) = 1，表示未清洗時(shí)

29、水果上殘留的農(nóng)藥量。（2）f ( x )滿(mǎn)足：f ( 0 ) = 1，f ( 1 ) =，0 2時(shí)，把水分成2等份清洗，水果上殘存的農(nóng)藥量較少；當(dāng)m = 2時(shí)，兩種方案的清洗效果一樣；當(dāng)m 2時(shí)，僅清洗一次，水果上殘存的農(nóng)藥量較少。第十四屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第二試2003年4月13日 上午 8：3010：30一、選擇題（每小題5分，共50分）1、方程sin x = 0.25 x的解的個(gè)數(shù)是（ ）（A）5 （B）6 （C）7 （D）82、當(dāng)0 x 1時(shí)，記 a = x x，b = ( arcsin x ) x，c = x arcsin x，下列不等式中成立的是（ ）（A）a b c

30、 （B）a c b （C）c a b （D）c b a3、If 2 | a | 4 + b , | b | 4 , then the set of real roots of the equation x 2 + a x + b = 0 is（ ）（A）( 2，2 ) （B）( 1，2 ) （C）( 3，2 ) （D）( 3，3 )4、正實(shí)數(shù)x，y使4 x 2 + y 2 4 x y 4 x + 4 y 4 0成立，則（ ）（A）2 x y的最小值為1 （B）2 x y的最大值為1 +（C）x y的最小值為 1 （D）x y的最大值為15、已知實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足條件：arccos x + ar

31、ccos y + arccos z = ，那么一定成立的等式是（ ）（A）x 2 + y 2 + z 2 x y z = 1 （B）x 2 + y 2 + z 2 + x y z = 1（C）x 2 + y 2 + z 2 2 x y z = 1 （D）x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y z = 16、一平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形稱(chēng)為正方體的“截面圖形”。棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1中點(diǎn)，過(guò)D1、E、F三點(diǎn)的截面圖形的周長(zhǎng)等于（ ）（A）( 25 + 2+ 9) （B）( 15 + 4+ 9)（C）( 25 + 2+ 6) （D）

32、( 15 + 4+ 6)7、數(shù)列 a n 定義為：a 1 = cos ，a n + a n + 1 = n sin + cos ，n 1，則S 2 n + 1等于（ ）（A）n cos + n ( n + 1 ) sin （B）( n + 1 ) cos + n ( n + 1 ) sin （C）( n + 1 ) cos + ( n 2 + n 1 ) sin （D）n cos + ( n 2 + n 1 ) sin 8、已知直線l：y = + m與曲線C：y = 1 +僅有三個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）（A）( 1，+ 1 ) （B）( 1，) （C）( 1，1 +) （D）( 2，1

33、+)9、若2 x + y 1，u = y 2 2 y + x 2 + 6 x，則u的最小值等于（ ）（A） （B） （C） （D）10、若A、B、C是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，則=（ ）（A）( | AB | 2 + | AC | 2 | BC | 2 ) （B）( | AB | 2 + | AC | 2 ) | BC | 2（C）| AB | 2 + | AC | 2 | BC | 2 （D）( | AB | 2 + | AC | 2 )二、填空題：（每小題5分，共50分）11、銳角，成等差數(shù)列，公差為，它們的正切成等比數(shù)列，則 = ， = ， = 。12、不等式| e x e x | 0。（1）求的

34、取值范圍，使函數(shù)f ( x )在區(qū)間 0，+ )上是單調(diào)函數(shù)；（2）此種單調(diào)性能否擴(kuò)展到整個(gè)定義域( ，+ )上？（3）求解不等式2 x 12。解：（1）f ( x ) = ，由f ( x ) 0，得( x + 1 ) 2 ，x 1或x 1，由 1 0，得 ，即當(dāng) 時(shí)，f ( x )在區(qū)間 0，+ )上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）因?yàn)闊o(wú)論取何值，( ， 1 ) 1，+ ) ( ，+ )，所以此種單調(diào)性不能擴(kuò)展到整個(gè)定義域( ，+ )上；（3）令t =，則x = t 3 1，不等式可化為2 t 3 t 14 0，即 ( t 2 ) ( 2 t 2 + 4 t + 7 ) 0， t 2 0，即t 2，

35、2，x 7。第十五屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第二試2004年4月18日 上午 8：3010：30一、選擇題1、如果向量= ( 3， 6 )，= ( 4，2 )，= ( 10， 5 )，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）（A） （B） （C） （D）2、設(shè)f ( x ) = x 2 + b x + c ( b，cR )，A = x | x = f ( x )，xR ，B = x | x = f ( f ( x ) )，xR ，如果A中只含一個(gè)元素，那么（ ）（A）A B （B）A B （C）A = B （D）A B = 3、在一次知識(shí)競(jìng)賽中，甲、乙、丙三名選手一共做出了100道試題，若定義只有

36、一人做出的題為難題，只有二人做出的題為中檔題，三人都做出的題為容易題，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）（A）難題比容易題多20道 （B）難題至少有20道（C）中檔題不多于80道 （D）容易題多于40道4、設(shè)0 ， ，則 + =是sin 2 + sin 2 = sin 2 ( + )成立的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件5、函數(shù)y =達(dá)到最大值時(shí)，x的值是（ ）（A）5 + 9 （B）9 + 5 （C）5+ （D）+ 56、當(dāng)x 0， 時(shí)，下列不等式中一定成立的是（ ）（A）sin ( cos x ) cos ( sin x ) （B）cos

37、 ( cos x ) cos ( sin x ) （D）cos ( cos x ) cos ( sin x )7、數(shù)列 a n 中，a 1 = 2，a n + 1 =且b n = | a n + 1 a n |（nN*），設(shè)S n是 b n 的前n項(xiàng)和，則下列不等式中一定成立的是（ ）（A）0.3 S n 0.4 （B）0.4 S n 0.5 （C）0.5 S n 0.8 （D）0.5 S n 0.98、曲線= 0所圍成的區(qū)域中包含的最大圓的面積是（ ）（A） （B） （C） （D）9、正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB、CC1的中點(diǎn)，直線EF與AC1所成角的余弦值是（ ）（

38、A） （B） （C） （D）10、If the tangent of the parabola y = x 2 at point A ( m，m 2 ) is also tangent to the circle x 2 + y 2 2 x = 0 , then there must be（ ）（A） 3 m 2 （B） 2 m 1 （C） 1 m 0 （D） 1 m b 0時(shí)，使不等式 k ()恒成立的常數(shù)k的最大值是 。14、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線6 x + 8 y = 15的最近距離是 。15、當(dāng)arctan x arctan時(shí)，csc x cot x的取值范圍是 。16、與直線x 3 y = 0和3 x y = 0相切，且過(guò)點(diǎn)A( 11， 7 )