自動(dòng)控制原理第二章

1、2021/3/231 第二章第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2021/3/232 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 n控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 n非線性數(shù)學(xué)模型線性化非線性數(shù)學(xué)模型線性化 n傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) n系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 n系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的變換系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的變換 n信號(hào)流圖信號(hào)流圖 n小結(jié)小結(jié) 2021/3/233 基本要求基本要求 n了解建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法了解建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 n熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式 n掌握用拉氏變換求解微分方程的方法掌握

2、用拉氏變換求解微分方程的方法 n掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì) n掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式 n掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法 n掌握用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式掌握用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式 求傳遞函數(shù)的方法求傳遞函數(shù)的方法 2021/3/234 n分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng), ,首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 n控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, ,就是描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)就是描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi) 部變

3、量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式部變量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式, ,也稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模也稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模 型。常用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型有型。常用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型有: : n微分方程微分方程 n傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) n動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 n信號(hào)流圖信號(hào)流圖 n建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法: (1): (1)理論推演法理論推演法( (解析法解析法) ) (2) (2)實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 2021/3/235 u解析法解析法:依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物 理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,并實(shí)驗(yàn)并實(shí)驗(yàn) 驗(yàn)證。驗(yàn)證。 u實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法:對(duì)系統(tǒng)

4、或元件輸入一定形式的信號(hào)（階對(duì)系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階 躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等）躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等）,根據(jù)系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng) 或元件的輸出響應(yīng)或元件的輸出響應(yīng),經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。 2021/3/236 總結(jié)總結(jié): : 解析方法適用于簡(jiǎn)單、典型、解析方法適用于簡(jiǎn)單、典型、 常見的系統(tǒng)常見的系統(tǒng), ,而實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、而實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、 非常見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩非常見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩 種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有 效效 2021/3/237 控制系統(tǒng)微分方程

5、的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 n基本步驟基本步驟: n分析各元件的工作原理分析各元件的工作原理,明確輸入、輸明確輸入、輸 出量出量 n建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系 n消去中間變量消去中間變量 n標(biāo)準(zhǔn)化微分方程標(biāo)準(zhǔn)化微分方程 2021/3/238 例例1.1. 圖所示電路是由三個(gè)理想電路元件組成的簡(jiǎn)圖所示電路是由三個(gè)理想電路元件組成的簡(jiǎn) 單電網(wǎng)絡(luò)單元單電網(wǎng)絡(luò)單元, ,試列寫該網(wǎng)絡(luò)在輸入量試列寫該網(wǎng)絡(luò)在輸入量ur(t)作用下輸出作用下輸出 量量uc(t)的微分方程。的微分方程。 u(t) k M(t) f r R u(t) C c F(t) f x(t) m k J 1 1

6、 i(t) 一、線性元件單元的微分方程一、線性元件單元的微分方程 第一節(jié)第一節(jié) 線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的建立線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的建立 2021/3/239 解：由基爾霍夫定解：由基爾霍夫定 律得律得: : ( ) ( )( )( ) cr d i t LR i tutut d t 式中式中: i(t)為流經(jīng)電感為流經(jīng)電感L、電阻、電阻R和電容和電容C的電流的電流 ( ) ( ) c dut i tC dt 消去中間變量消去中間變量i(t)，得到輸出量關(guān)于輸入量滿足的，得到輸出量關(guān)于輸入量滿足的 二階微分方程：二階微分方程： 2 2 ( )( ) ( )( ) cc cr d utdut LCR

7、Cutut dtdt u(t) k M(t) f r R u(t) C c F(t) f x(t) m k J 1 1 i(t) 2021/3/2310 n例例2. 設(shè)有一彈簧設(shè)有一彈簧 質(zhì)質(zhì) 量量 阻尼動(dòng)力系統(tǒng)如阻尼動(dòng)力系統(tǒng)如 圖所示圖所示,當(dāng)外力當(dāng)外力F(t)作作 用于系統(tǒng)時(shí)用于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)將產(chǎn)系統(tǒng)將產(chǎn) 生運(yùn)動(dòng)生運(yùn)動(dòng),試寫出外力試寫出外力F(t) 與質(zhì)量塊的位移與質(zhì)量塊的位移x(t)之之 間的動(dòng)態(tài)方程。其中間的動(dòng)態(tài)方程。其中 彈簧的彈性系數(shù)為彈簧的彈性系數(shù)為k， 阻尼器的阻尼系數(shù)為阻尼器的阻尼系數(shù)為f， 質(zhì)量塊的質(zhì)量為質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。 2021/3/2311 m F1(彈簧彈簧 的拉力的

8、拉力) F(t)外力外力 F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力 12 ( ) ( ), dx t Fkx t Ff dt 輸輸入入F(t),輸出輸出x(t)理論依據(jù)理論依據(jù): :牛頓第二定律牛頓第二定律, , 物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的 乘積乘積. . Fma 2 12 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) d x t aF tFFma dt dx td x t F tkx tfm dtdt 得得 2 2 ( )( ) ( )( ) d x tdx t mfkx tF t dtdt 整整理理得得到到： 2021/3/2312 2 2

9、( )( ) ( )( ) d x tdx t mfky tF t dtdt 式中:xm的位移（m）; f阻尼系數(shù)（Ns/m); k 彈簧剛度（N/m)。 將上式的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化 2 2 ( )( )1 ( )( ) m d x tf dx t x tF t kdtkdtk 2021/3/2313 2 2 2 ( )( ) 2( )( ) d x tdx t TTx tkF t dtdt T稱為時(shí)間常數(shù)， 為阻尼比。顯然， 上式描述了mkf系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系，它是一個(gè)二階 線性定常微分方程。 令 ， 即 /Tm k 2/Tfk /2fmk , 則上式可寫成1/kk 2021/3/2314 例例3.

10、 圖為彈簧、質(zhì)量、阻尼器機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單元圖為彈簧、質(zhì)量、阻尼器機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單元,試試 寫出在輸入轉(zhuǎn)矩寫出在輸入轉(zhuǎn)矩M(t)作用下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為作用下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的物體的運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng) 方程方程,輸出量為角位移。輸出量為角位移。 u(t) k M(t) f r R u(t) C c F(t) f x(t) m k J 1 1 i(t) 11 ( )Jkt 21 ( )dt Jf dt 1.彈簧與角位移成正比的彈性扭矩彈簧與角位移成正比的彈性扭矩 2.阻尼器與角速度成正比的摩擦阻力矩阻尼器與角速度成正比的摩擦阻力矩 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 2 12 2 2 11 2 ( ) ( ) (

11、 )( ) ( )( ) dt M tJJJ dt dtdt M tktfJ dtdt 解解:輸入轉(zhuǎn)矩要克服輸入轉(zhuǎn)矩要克服 2021/3/2315 例例4 圖中圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電分別為電樞回路的總電感和總電 阻。假設(shè)勵(lì)磁電流恒定不變阻。假設(shè)勵(lì)磁電流恒定不變,試建立在試建立在ur(t) 作用下作用下 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸角速度的運(yùn)動(dòng)方程電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸角速度的運(yùn)動(dòng)方程 R 負(fù) 載 J m m f a E + - - a u(t) r + L i + - if 電樞控制的他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)原理圖電樞控制的他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)原理圖 2021/3/2316 解解: 電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電

12、能轉(zhuǎn)換電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換 為機(jī)械能為機(jī)械能,也就是由輸入的電樞電壓也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中在電樞回路中 產(chǎn)生電樞電流產(chǎn)生電樞電流ia(t),再由電流再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)與激磁磁通相互作用產(chǎn) 生電磁轉(zhuǎn)矩生電磁轉(zhuǎn)矩M(t),從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。 因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成: (3)電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程 (1)電樞回路電壓平衡方程電樞回路電壓平衡方程 (2)電磁轉(zhuǎn)矩方程電磁轉(zhuǎn)矩方程 2021/3/2317 （1）電樞回路電壓平衡方

13、程電樞回路電壓平衡方程: Ea是電樞反電勢(shì)是電樞反電勢(shì),它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì),其大其大 小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比,方向與電樞電壓方向與電樞電壓Ua(t) 相反，即相反，即 Ea=Ce(t) Ce電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù)（電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù)（v/rad/s） aaa a aa EtiR dt tdi LtU)( )( )( 2021/3/2318 (2)電磁轉(zhuǎn)矩方程電磁轉(zhuǎn)矩方程: -電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) （Nm/A） -是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩（是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩（Nm） (3)電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程:

14、 J電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量（量（ kgm） Mc(t)-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的等效負(fù)載電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的等效負(fù)載 轉(zhuǎn)矩（轉(zhuǎn)矩（Nm/rad/s） ( )( ) m a M tC i t m C ( )M t ( ) ( )( ) c dt JM tMt dt 2021/3/2319 將式將式-聯(lián)立求解聯(lián)立求解: 2 ( )( )( ) ( )( )( ) c lmmurmlc dMtdtdt TTTtK UtKTMt dtdtdt l m me L T R RJ T C C 電動(dòng)機(jī)電磁時(shí)間常數(shù)（s） 電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)

15、間常數(shù)（s） 1 u e m m K C T K J 電壓傳遞系數(shù)(rad/(s.V) 轉(zhuǎn)矩傳遞系數(shù)(rad/(s.N.m) 對(duì)于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載對(duì)于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載,式式5可以表示為可以表示為: 2 ( )( )( ) ( )( ) r lmmc eem U tdtdtR TTTtMt dtdtCC C 2021/3/2320 控制系統(tǒng)中用測(cè)速發(fā)電機(jī)和直流電動(dòng)機(jī)同軸連接控制系統(tǒng)中用測(cè)速發(fā)電機(jī)和直流電動(dòng)機(jī)同軸連接 用來檢測(cè)轉(zhuǎn)速用來檢測(cè)轉(zhuǎn)速,發(fā)電機(jī)中等效電感和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都發(fā)電機(jī)中等效電感和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都 較小較小,而等效電阻較大而等效電阻較大,忽略含電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī)忽略含電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī) 電時(shí)間常數(shù)的項(xiàng)，得到測(cè)速

16、發(fā)電機(jī)輸入輸出的函電時(shí)間常數(shù)的項(xiàng)，得到測(cè)速發(fā)電機(jī)輸入輸出的函 數(shù)關(guān)系式數(shù)關(guān)系式 ( ) t ( )( ) er CtU t ( ) r U t電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速 與電樞電壓與電樞電壓 成正比成正比 2021/3/2321 例例5.直流電動(dòng)機(jī)輸出軸帶齒輪減速機(jī)構(gòu)拖動(dòng)負(fù)載直流電動(dòng)機(jī)輸出軸帶齒輪減速機(jī)構(gòu)拖動(dòng)負(fù)載 的單元的單元,輸入量為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩輸入量為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩Mm(t),輸出輸出 量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸角速度量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸角速度 1 M J1 J2 1 2 m M 1111 , ,f r Z M 222 ,r ZM 2 f C M 齒輪系齒輪系 111222 ,Z rZr和齒輪齒輪1和齒

17、輪和齒輪2的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速,齒數(shù)和半徑齒數(shù)和半徑 1122 ,f JJ和f 粘性摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量粘性摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 12 , mc MMM和M 原動(dòng)轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩原動(dòng)轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩 2021/3/2322 齒輪系的作用齒輪系的作用:減速和增大力矩減速和增大力矩 1122 1 12 2 MM rr 解解:齒輪傳動(dòng)中齒輪傳動(dòng)中,兩個(gè)嚙合齒輪的線速度相同兩個(gè)嚙合齒輪的線速度相同,傳送的功傳送的功 率也相同率也相同,有關(guān)系式有關(guān)系式: 齒數(shù)與半徑成正比齒數(shù)與半徑成正比,即即: 11 22 rZ rZ 1 21 2 1 12 2 Z Z Z MM Z 因此有關(guān)系式因此有關(guān)系式: 2021/3/2323

18、 根據(jù)力學(xué)原理對(duì)齒輪根據(jù)力學(xué)原理對(duì)齒輪1和和2寫出其運(yùn)動(dòng)方程寫出其運(yùn)動(dòng)方程: 1 1111 2 2222 m c d JfMM dt d JfMM dt 22 1111 12121 222 ()()() mc ZdZZ MJJffM ZdtZZ 消去中間變量消去中間變量: M J1 J2 1 2 m M 1111 , ,f r Z M 222 ,r ZM 2 f C M 2021/3/2324 1 1cm d JfMM dt 齒輪系微分方程為齒輪系微分方程為: , , c J f M為折合到齒輪為折合到齒輪1的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、等效粘性的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、等效粘性 摩擦系數(shù)和等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩摩擦系數(shù)和等效

19、負(fù)載轉(zhuǎn)矩 22 111 1212 222 (),(),() cc ZZZ JJJfffMM ZZZ 令令 2021/3/2325 許多表面上看來似乎毫無共同之處的控許多表面上看來似乎毫無共同之處的控 制系統(tǒng)制系統(tǒng), ,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可能完全一樣可以用一個(gè)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可能完全一樣可以用一個(gè) 運(yùn)動(dòng)方程來表示運(yùn)動(dòng)方程來表示, ,稱它們?yōu)榻Y(jié)構(gòu)相似系統(tǒng)稱它們?yōu)榻Y(jié)構(gòu)相似系統(tǒng) 上例的機(jī)械平移系統(tǒng)和上例的機(jī)械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個(gè)數(shù)電路就可以用同一個(gè)數(shù) 學(xué)表達(dá)式分析學(xué)表達(dá)式分析, ,具有相同的數(shù)學(xué)模型。具有相同的數(shù)學(xué)模型。 2 2 ( )( ) ( )( ) CC Cr dutd ut rCLCutu

20、t dtdt 2 2 ( )( ) ( )( ) d x tdx t mfkx tF t dtdt 2021/3/2326 列寫元件微分方程的步驟列寫元件微分方程的步驟: 1）根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用）根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用,確定其輸入確定其輸入 和輸出量和輸出量; 2）分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律）分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律,列寫相應(yīng)的列寫相應(yīng)的 微分方程微分方程; 3）消去中間變量）消去中間變量,得到輸入和輸出之間關(guān)系的微分方程，即得得到輸入和輸出之間關(guān)系的微分方程，即得 到元件時(shí)域數(shù)學(xué)模型。到元件時(shí)域數(shù)學(xué)模型。 4）整理，與輸入

21、有關(guān)的放在等號(hào)右面，與輸出有關(guān)的放在等）整理，與輸入有關(guān)的放在等號(hào)右面，與輸出有關(guān)的放在等 號(hào)左面，并按照降階次進(jìn)行排列。號(hào)左面，并按照降階次進(jìn)行排列。 2021/3/2327 )( )( 1 omm mii xxfF xxKF 02x KFo oommi xKxxfxxK 21 )()( : : B A ioo oooim oim xx f K x K KK xx f K x K K xx xKxKxK 2 1 21 2 1 2 211 ioo x KK K x KKf KK x 21 1 21 21 )( 習(xí)題習(xí)題 彈簧彈簧阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng) 2021/3/2328 二、控制系統(tǒng)的微分方

22、程的建立二、控制系統(tǒng)的微分方程的建立 - + R u 0 R r +E R0 A 功率 - b + + - 1 + - R M uf u1a u 放大器 1 減速器 負(fù)載 Mc - 0 Rb + B 0 R - R u2 + + + TG 圖2.3 具有負(fù)反饋的速度給定控制系統(tǒng)原理圖 測(cè)速機(jī)與反饋 電位器 r u f u e u 1 u a u 運(yùn)算 放大器 功率 放大器 直流 電動(dòng)機(jī) Mc 2 u 反相器 圖2.4 控制系統(tǒng)方塊圖 2021/3/2329 1. 運(yùn)算放大器單元運(yùn)算放大器單元 1 100 f r u uu RRR 1 111 0 ()() rfrfe R uuuK uuK u

23、R 2. 反相器單元反相器單元 0 211 0 R uuu R 1 21 0 ee R uuK u R 3. 功率放大器單元功率放大器單元 22a uK u - + R u 0 R r +E R 0 A 功 率 - b + + - 1 + - R M uf u 1 au 放 大 器 1 減 速 器 負(fù) 載 Mc - 0 R b + B 0 R - R u2 + + + TG 2021/3/2330 4. 4. 他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)單元他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)單元 5. 測(cè)速發(fā)電機(jī)與反饋電位器單元測(cè)速發(fā)電機(jī)與反饋電位器單元 ( )( ) et u tCt 2 ( )( )( ) fetf utCtKt 2fet

24、 KC 2 12 2 ( )( ) ( )( ) 1111 lmm rc eem T TTK KdtdtR tutM KKdtCKC CKdt （）（） 12f e K KK K C 2 2 ( )( )( ) ( ) a lmmc eem utdtdtR TTTtM dtCC Cdt Tl電磁時(shí)間常數(shù)電磁時(shí)間常數(shù),Tm機(jī)電時(shí)間常數(shù)機(jī)電時(shí)間常數(shù),Ce反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)反電動(dòng)勢(shì)系數(shù),Cm轉(zhuǎn)矩系數(shù)轉(zhuǎn)矩系數(shù) - + R u 0 R r +E R 0 A 功 率 - b + + - 1 + - R M uf u 1 au 放 大 器 1 減 速 器 負(fù) 載 Mc - 0 R b + B 0 R - R u2

25、 + + + TG 2021/3/2331 三、非線性特性的近似線性化處理三、非線性特性的近似線性化處理 n在實(shí)際工程中在實(shí)際工程中,構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度 的非線性的非線性,如下圖所示。如下圖所示。 2021/3/2332 于是于是,建立的動(dòng)態(tài)方程就是非線性微分方程建立的動(dòng)態(tài)方程就是非線性微分方程,對(duì)其求對(duì)其求 解有諸多困難解有諸多困難,因此，對(duì)非線性問題做線性化處理因此，對(duì)非線性問題做線性化處理 確有必要。確有必要。 對(duì)弱非線性的線性化對(duì)弱非線性的線性化 如上圖（如上圖（a），當(dāng)輸入信號(hào)很小時(shí)，忽略非線性影），當(dāng)輸入信號(hào)很小時(shí)，忽略非線性影 響，近似為放大

26、特性。對(duì)（響，近似為放大特性。對(duì)（b）和（）和（c），當(dāng)死區(qū)），當(dāng)死區(qū) 或間隙很小時(shí)（相對(duì)于輸入信號(hào)）同樣忽略其影響，或間隙很小時(shí)（相對(duì)于輸入信號(hào)）同樣忽略其影響， 也近似為放大特性，如圖中虛線所示。也近似為放大特性，如圖中虛線所示。 平衡位置附近的小偏差線性化平衡位置附近的小偏差線性化 輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。 2021/3/2333 在平衡點(diǎn)在平衡點(diǎn)A（x0,y0）處）處,當(dāng)系統(tǒng)受到干擾當(dāng)系統(tǒng)受到干擾,y只在只在A附近附近 變化，則可對(duì)變化，則可對(duì)A處的輸出處的輸出輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù) 展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知

27、，當(dāng)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng) 很小時(shí)，可用很小時(shí)，可用A處的處的 切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性 化。化。 x x0 y=f(x) A y0 y x0 L B x1 y 1 M 1 L 可得可得 ,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 y=kx 0 |x df yxk x dx 2021/3/2334 若非線性函數(shù)由兩個(gè)自變量若非線性函數(shù)由兩個(gè)自變量,如如zf（x,y）,則在平則在平 衡點(diǎn)處可展成（忽略高次項(xiàng)）衡點(diǎn)處可展成（忽略高次項(xiàng)） 經(jīng)過上述線性化后經(jīng)過上述線性化后,就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān) 系系,從而使問題大大簡(jiǎn)化。但對(duì)于如圖

28、（從而使問題大大簡(jiǎn)化。但對(duì)于如圖（d）所示為強(qiáng)非）所示為強(qiáng)非 線性線性,只能采用第七章的非線性理論來分析。對(duì)于線性只能采用第七章的非線性理論來分析。對(duì)于線性 系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。 10, 2010, 20 1, 21, 2 121020110220 12 ()() ( , )(,)()() xxxx f x xf x x f x xf x xxxxx xx 2021/3/2335 u疊加原理疊加原理 疊加原理含有兩重含義疊加原理含有兩重含義,即可疊加性和均勻性（或叫即可疊加性和均勻性（或叫 齊次性）。齊次性）。 例例: : 設(shè)線性微分方程式為設(shè)線性微

29、分方程式為 2 ( )( ) ( )( ) d c tdc t c tr t dtdt 若若 時(shí)，方程有解時(shí)，方程有解 ，而，而 時(shí)，時(shí)， 方程有解方程有解 ，分別代入上式且將兩式相加，則顯，分別代入上式且將兩式相加，則顯 然有，當(dāng)然有，當(dāng) 時(shí)，必存在解時(shí)，必存在解 為為 ，即為可疊加性。，即為可疊加性。 1 ( )( )r tr t 1( ) c t 2 ( )( )r tr t 2( ) c t 1 ( )( )r tr t 2( ) r t 12 ( )( )( )c tc tc t 2021/3/2336 上述結(jié)果表明上述結(jié)果表明,兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)產(chǎn)生兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)產(chǎn)生

30、的響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響的響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響 應(yīng)之和應(yīng)之和,而且外作用增強(qiáng)若干倍而且外作用增強(qiáng)若干倍,系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若 干倍，這就是干倍，這就是疊加原理疊加原理。 若若 時(shí)時(shí), 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù),則方程解則方程解 為為 ,這就是齊次性。這就是齊次性。 1 ( )( )r tar t 1 ( )( )c tac t a 2021/3/2337 解解:由于研究的區(qū)域?yàn)橛捎谘芯康膮^(qū)域?yàn)?x7、 10y12,故選擇工作點(diǎn)故選擇工作點(diǎn) x0=6,y0=11。于是。于是 z0=x0y0=611=66. 求在點(diǎn)求在點(diǎn)x0=6,y0=11，z0=66附近非附

31、近非 線性方程的線性化表達(dá)式。將線性方程的線性化表達(dá)式。將 非線性方程在點(diǎn)非線性方程在點(diǎn)x0,y0,z0處展開處展開 成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)， 則有則有 )()( 000 yybxxazz 11 0 0 0 y x z a yy xx 6 0 0 0 x y z b yy xx 因此因此, ,線性化方程式為線性化方程式為: : z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 當(dāng)當(dāng)x=5,y=10時(shí)時(shí),z的精確值為的精確值為 z=xy=510=50 由線性化方程求得的由線性化方程求得的z值為值為 z=11x+6y=55+60-66=49 因此因此

32、,誤差為誤差為50-49=1,表示成百分?jǐn)?shù)表示成百分?jǐn)?shù) 1 2% 50 例例1:試把非線性方程試把非線性方程 z=xy 在區(qū)域在區(qū)域5x7 、 10y12上上 線性化。求用線性化方程來計(jì)算當(dāng)線性化。求用線性化方程來計(jì)算當(dāng)x=5,y=10時(shí)時(shí)z值所產(chǎn)值所產(chǎn) 生的誤差。生的誤差。 2021/3/2338 )(cos)( 0 txExy )()()( 0 xyxyxy xxEy 00 sin 取一次近似取一次近似, ,且令且令 即有即有 例例2 2 已知某裝置的輸入輸出特性如下已知某裝置的輸入輸出特性如下, ,求小擾動(dòng)線性化求小擾動(dòng)線性化 方程。方程。 2 00000 )( ! 2 1 )()()(

33、xxxyxxxyxyxy 解解. 在工作點(diǎn)在工作點(diǎn)(x0, y0)處展開泰勒級(jí)數(shù)處展開泰勒級(jí)數(shù) )(sin 000 xxxE 2021/3/2339 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（1） 1 1 復(fù)數(shù)有關(guān)概念復(fù)數(shù)有關(guān)概念 （1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) js )()()(sFsFsF yx 例例1 1 jssF 22)( （2 2）模、相角）模、相角 22 yx FFsF x y F F sFarctan （3）復(fù)數(shù)的共軛）復(fù)數(shù)的共軛 yx jFFsF )( （4）解析）解析 若若F(s)在在 s 點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)都存在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)都存在,則則F(s)在在 s 點(diǎn)解析。點(diǎn)解析。

34、 模模 相角相角 2021/3/2340 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（2） 2 2 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 0 )()()(dtetfsFtfL ts （1）階躍函數(shù)）階躍函數(shù) )( )( tf sF像像 原像原像 3 3 常見函數(shù)的拉氏變換常見函數(shù)的拉氏變換 00 01 )( t t tf ss e s dtetL stst 1 10 11 11 0 0 （2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù) at etf )( dtedteetfL tasstat 00 )( as )( as e as a)t(s 1 10 11 0 2021/3/2341 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（3） （3 3）正弦函數(shù)）正弦

35、函數(shù) 0sin 00 t t t f(t) dteee j dtetf(t)L sttjtjst 00 2 1 sin dtee j )tj(s)t-(s-j 0 2 1 00 11 2 1 )tj(s)tj(s e js e jsj 2222 2 2 111 2 1 ss j jjsjsj 2021/3/2342 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（4） （1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì) 4 4 拉氏變換的幾個(gè)重要定理拉氏變換的幾個(gè)重要定理 （2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL 2121 0fsFstfL 00 左tdfedtetf stst 0000 1221 nn-n-n-

36、nn fsffsfssFstf dtetfs-f st 0 00 右0 fssF st-st detftfe 0 0 證明證明: : 0 0初條件下有初條件下有: : sFstfL nn 2021/3/2343 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（5） 例例2 求求 ?)( tL 解解. . t1t tLtL 1 例例3 3 求求 ?)cos( tL 解解. . tt nsi 1 cos tLtL nsi 1 cos 0 1 s s101 22 1 s s 22 s s 2021/3/2344 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（6） （3）積分定理）積分定理 0 11 1- f s sF s dttfL 零初零

37、初始始條件下有條件下有: : sF s dttfL 1 進(jìn)一步進(jìn)一步有有: : 0 1 0 1 0 11 2 1 1n nnn n n f s f s f s sF s dttfL 個(gè)個(gè) 例例4 求求 Lt=?=? 解解. dttt 1 dttLtL1 例例5 求求 解解. dtt t 2 2 0 2 2 2 111 t t sss ? 2 2 t L 0 111 t t sss 2 1 s dttLtL2 2 3 1 s 2021/3/2345 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（7） （4）實(shí)位移定理）實(shí)位移定理 證明證明: : 例例6 解解. . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(a

38、ttLtfL )()( 0 0 sFetfL s F(s) , at 0 at 0 1 0t 0 tf 求求 s e s as 11 s e as 1 dtetf st 0 0) ( 左 令令 0 t def s 0 0) ( )( defe ss 0 0 )(右 2021/3/2346 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（8） （5）復(fù)位移定理）復(fù)位移定理 證明證明: : )()(AsFtfeL tA dtetfe stAt 0 )(左 令令 sAs dtetf ts 0 )( )(sF 右 dtetf tAs 0 )( )( )(AsF at e L teL t- 5cos 3 ) t(eL t 3

39、 5cos 2 2 22 15 5 ss s - s s e 例例7 例例8 例例9 2 2 53 3 s s 3 22 5 ss s s at etL 1 ass s 1 ) (teL t 15 5cos 2 2 2 2 15 52 2 s s e s as 1 2021/3/2347 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（9） （6）初值定理）初值定理 證明證明: :由微分定理由微分定理 )(lim)(lim 0 sFstf st )0()( )( 0 fsFsdte dt tdf t s 2 1 )( s sF 例例 10 )0()(lim )( lim 0 fsFsdte dt tdf s t s

40、 s 0lim )( 0 dte dt tdf t s s 左 0)0()(lim fsFs s )(lim)(lim)0( 0 sFstff st ttf )(lim)0(sFsf s 0 1 lim 2 s s s 2021/3/2348 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（10） （7 7）終值定理終值定理 證明證明: :由微分定理由微分定理 )(lim)(lim 0 sFstf st )0()( )( 0 fsFsdte dt tdf t s )( 1 )( bsass sF 例例11 （終值確實(shí)存在時(shí)）（終值確實(shí)存在時(shí)） )0()(lim )( lim 000 fsFsdte dt tdf s

41、 t s s dte dt tdf t s s 00 lim )( 左 0 )(tdf t t tdf 0 )(lim )0()(limftf t )0()(lim 0 fsFs s 右右 abbsass sf s 11 lim 0 22 s sF t tfsin 例例 12 0lim 22 0 s s s 2021/3/2349 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（11） 用拉氏變換方法解微分方程用拉氏變換方法解微分方程 )( 1)()()( 21 ttyatyaty s sYasas 1 )()( 21 2 L L變換變換 0)0()0( yy )( 1 )( 21 2 asass sY )( 1

42、sYLty 系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)微分方程 L L-1 -1變換 變換 2021/3/2350 設(shè)象函數(shù)設(shè)象函數(shù)F(s)為為 1 1 ( ) ( )( ) 2 j st j f tLF sF s e ds j 1 011 12 ( ) ( ) ( )()()() mm mm n b sbsbsbB s F s A sspspsp n n ps a ps a ps a sF 2 2 1 1 )( k pskk ps sA sB a )( )( )( 5.拉氏反變換拉氏反變換 (1) 象函數(shù)是真分式象函數(shù)是真分式(mm 查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法） 試湊法試湊法 系數(shù)比較法系數(shù)比較法

43、 留數(shù)法留數(shù)法 2021/3/2351 34 2 )( 2 ss s sF例例1 已知已知，求，求 ?)( tf 解解. . 3131 2 21 s C s C )(s(s s F(s) 2 1 31 21 31 2 1lim 1 1 )(s(s s )(sC s 2 1 13 23 31 2 3lim 3 2 )(s(s s )(sC s 3 21 1 21 ss F(s) tt eef(t) 3 2 1 2 1 34 55 )( 2 2 ss ss sF例例2 2 已知已知，求，求 ?)( tf 解解. . 34 )2()34( 2 2 ss sss F(s) )3)(1( 2 1 ss

44、s tt eetf(t) 3 2 1 2 1 )( n復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（13） 2021/3/2352 22 3 )( 2 ss s sF例例3 3 已知已知，求，求 ?)( tf 解一解一. . j j j)j)(s(s s j)(sC js 2 2 11 3 1lim 1 1 j i j)j)(s(s s j)(sC js 2 2 11 3 1lim 1 2 tjtj e j j e j j f(t) )1()1( 2 2 2 2 解二解二: : js C -js C j)-j)(s(s s F(s) 1111 3 21 jtjtt ejeje j )2()2( 2 1 ttje

45、j t sin4cos2 2 1 tte t sin2cos 22 11 3 )(s s F(s) t etef(t) tt sin2cos 2222 11 1 2 11 1 )(s)(s s 22 11 21 )(s s n復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（14） 2021/3/2353 0)()()( 1 n pspssAII. 當(dāng)當(dāng) 有重有重 根時(shí)根時(shí) n n m m m- m- m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s) 1 1 1 1 1 1 1 1 (設(shè)設(shè) 為為m重根，其余為單根重根，其余為單根) 1 p .F(s)p(s ds d )(m- C

46、.F(s)p(s ds d j C .F(s)p(s ds d C .F(s)p(sC m m m ps m j j ps m-j m ps m- m ps m 1 1 )1( 1 1 )( 11 1 1 1 1 1 lim !1 1 lim ! 1 lim ! 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 s-p C )(s-p C )(s-p C Lf(t) m- m- m m 1 1 n n m m s-p C s-p C tpm m-mm .eCtCt )(m C t )(m C 1 !2!1 12 211 tp n mi i i eC 1 n復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（15） 2021/

47、3/2354 n n m m m- m- m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s) 1 1 1 1 1 1 1 1 m m ps C.F(s)p(s 1 1 lim 1 11 2 12111 m m-m-m m )(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s)(s-p n m n m m m s-p )(s-pC s-p )(s-pC 1 1 11 2 111211 )()1()(20 m mm m psCmpsCC.F(s)p(s ds d 11 1 lim ! 1 1 m- m ps C.F(s)p(s ds d 3 1121 2 2 )()2)(

48、1(200 m m m psCmmC.F(s)p(s ds d 21 2 2 1 lim ! 2 1 m- m ps C.F(s)p(s ds d n復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（16） 2021/3/2355 )3()1( 2 )( 2 sss s sF例例4 已知已知，求，求?)( tf 解解. . 311 431 2 2 s c s c s c )(s c F(s) )(s)s(s s )(sC s 31 2 1lim 2 2 1 2 )(s)s(s s )(s ds d C s 31 2 1lim ! 1 1 2 2 1 1 )(s)s(s s s.C s 31 2 lim 2 0 3 3

49、 1 12 11 3 2 1 1 4 3 1 1 2 1 2 s . s . s . )(s .F(s) ttt eetef(t) 3 12 1 3 2 4 3 2 1 )(s)s(s s sC s 31 2 )3(lim 2 3 4 2 1 311 21 )( 22 1 )3( 3)2()3( lim ss sssss s4 3 3 2 12 1 n復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（17） 2021/3/2356 n將將B(s)除以除以A(s),把把F(s)變成一個(gè)變成一個(gè)s的多項(xiàng)式與一個(gè)的多項(xiàng)式與一個(gè) 余式余式有理真分式之和的形式有理真分式之和的形式,再將余式展開成再將余式展開成 部分分式部分分式

50、,最后求取原函數(shù)。最后求取原函數(shù)。 2 23 23 ( )2 56 ( )( )2 ( )23(0 ) tt s F ss ss f ttteet (2) 象函數(shù)是真分式象函數(shù)是真分式(mn) 例例: 解解:B(s)除以除以A(s)得得: 32 2 71815 ( ) 56 sss F s ss n復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（18） 2021/3/2357 1 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 0 )()(dtetfsF ts （2）單位階躍）單位階躍 2 常見函數(shù)常見函數(shù)L變換變換)(tf s1 （5）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù) at e )(1as )(sF )( 1 t （1）單位脈沖）單位脈沖 1)

51、(t （3）單位斜坡）單位斜坡 2 1 st （4）單位加速度）單位加速度 3 1 s2 2 t （6）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)t sin)( 22 s （7）余弦函數(shù)）余弦函數(shù)t cos )( 22 ss 2021/3/2358 L變換重要定理變換重要定理 （2）微分定理）微分定理 （5）復(fù)位移定理）復(fù)位移定理 （1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì) （3）積分定理）積分定理 （4）實(shí)位移定理）實(shí)位移定理 （6）初值定理）初值定理 （7）終值定理）終值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL 2121 0fsFstfL 0 11 1- f s sF s dttfL )()( 0 sFetfL s )()

52、(AsFtfeL tA )(lim)(lim 0 sFstf st )(lim)(lim 0 sFstf st 2021/3/2359 線性定常微分方程求解 微分方程求解方法微分方程求解方法 2021/3/2360 第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) u傳遞函數(shù)的概念與定義傳遞函數(shù)的概念與定義 線性定常線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均初始條件均 為零為零的條件下的條件下,輸出的拉氏變換與輸入的輸出的拉氏變換與輸入的 拉氏變換之比拉氏變換之比,稱為該系統(tǒng)的稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 2021/3/2361 這里這里,“初始條件為零初始條件

53、為零”有兩方面含義有兩方面含義: 0 u一指輸入作用是一指輸入作用是t t0 0后才加于系統(tǒng)的后才加于系統(tǒng)的, ,因此輸入因此輸入 量及其各階導(dǎo)數(shù)量及其各階導(dǎo)數(shù), ,在在t= t= 時(shí)的值為零。時(shí)的值為零。 0 u二指輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的二指輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的,即即 t= 時(shí)時(shí) ,系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。 許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性 能的能的 。 2021/3/2362 用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀 , ,但是一但是一 旦系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化或者

54、結(jié)構(gòu)發(fā)生變化旦系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化, , 就需要重新排列微分方程就需要重新排列微分方程, ,不便于系統(tǒng)的分析不便于系統(tǒng)的分析 與設(shè)計(jì)。為此提出傳遞函數(shù)的概念。與設(shè)計(jì)。為此提出傳遞函數(shù)的概念。 2 2 ( )( ) ( )( ) CC Cr d utdut LCRCutut dtdt 一、傳遞函數(shù)的定義和概念一、傳遞函數(shù)的定義和概念 以上一節(jié)例（以上一節(jié)例（1）RLC電路的微分方程為例電路的微分方程為例: 2021/3/2363 設(shè)初始狀態(tài)為零設(shè)初始狀態(tài)為零,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換,得到得到: 2 ( )( )( )( ) cccr LCsU sRCsU sU s

55、U s 2 1( )( ) cr LCsRCsU sU s（） 2 ( )1 ( )1 c r U s U sLCsRCs ( ) ( ) ( ) C s G s R s 零零初初始始條條件件下下 G(s) R(s)C(s) 2021/3/2364 一般形式一般形式: 設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是: 1 011 1 1 011 1 ()()()() ()()()() nn nn nn mm mm mm ddd actactactact dtdtdt ddd brtbrtbrtbrt dtdtdt 2021/3/2365 c(t)為系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的輸出,

56、r(t)為系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)輸入,則零初始則零初始 條件下條件下,對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng) 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為: 1 011 1 011 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b sbsbs bC s G s R sa sasa s a L L 分母中分母中s s的最高階次的最高階次n n即為系統(tǒng)的階次。即為系統(tǒng)的階次。 1 011 ( ) ( )0 nn nn D sa sa sasa D s L 即即是是系系統(tǒng)統(tǒng)的的特特征征方方程程。 2021/3/2366 012 012 ()()()( ) ( ) ( )()()() (1,2)( )0 (1

57、,2)( )0 m n i i b szszszN s G s D sa spspsp sz imN s sp inD s L L L L 是是的的根根，稱稱為為傳傳遞遞 函函數(shù)數(shù)的的零零點(diǎn)點(diǎn)，是是的的根根 是是傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)的的極極點(diǎn)點(diǎn)。 因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在 慣性，所以慣性，所以G(s)G(s)的分母階次大于等于分子的分母階次大于等于分子 階次，即階次，即 , ,是有理真分式，若是有理真分式，若 , , 我們就說這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。我們就說這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。 nm mn 2021/3/2367 n傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變

58、量s的的有理真分式有理真分式，它的分，它的分 子，分母的階次是：。子，分母的階次是：。nm 二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 n傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng),否則無法用拉否則無法用拉 氏變換導(dǎo)出氏變換導(dǎo)出; n傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù),而而 與輸入、輸出無關(guān)與輸入、輸出無關(guān); n傳遞函數(shù)只表明一個(gè)特定的輸入、輸出關(guān)系傳遞函數(shù)只表明一個(gè)特定的輸入、輸出關(guān)系,對(duì)對(duì) 于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函 數(shù)數(shù);（可定義傳遞函數(shù)矩陣）（可定義傳遞函數(shù)矩陣） 2

59、021/3/2368 n 一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與 之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。 012 012 * 1 1 ()()()( ) ( ) ( )()()() () () m n m i i n j j b szszszN s G s D sa spspsp sz K sp L L 2021/3/2369 n傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)， 因?yàn)?( )( )( )G sC sR s 當(dāng) 時(shí)， ，所以， ( )( )r tt( )1R s 111 ( )( )( ) ( )( )

60、c tLC sLG s R sLG s n傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的,因此因此,它只是系它只是系 統(tǒng)的零狀態(tài)模型統(tǒng)的零狀態(tài)模型,有一定的局限性，但它有現(xiàn)實(shí)意義，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實(shí)意義， 而且容易實(shí)現(xiàn)。而且容易實(shí)現(xiàn)。 2021/3/2370 三、傳遞函數(shù)舉例說明三、傳遞函數(shù)舉例說明 q如圖所示的如圖所示的RLC無源無源 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò),圖中電感為圖中電感為L （亨利）（亨利）,電阻為電阻為R （歐姆）（歐姆）,電容為電容為C （法），試求輸入電（法），試求輸入電 壓壓ui(t)與輸出電壓與輸出電壓 uo(t)之間的傳遞函數(shù)。之間的傳遞函數(shù)。 2021/3/23