二元泰勒展開

1、本文格式為word版，下載可任意編輯二元泰勒展開 二元函數(shù)的泰勒公式 第九節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式一、問題的提出 二、二元函數(shù)的泰勒公式 三、極值充分條件的證明 二元函數(shù)的泰勒公式 一、問題的提出一元函數(shù)的泰勒公式 f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x x0 )( n) ( x0 ) f f ( x0 ) 2 ( x x0 ) +l+ ( x x0 )n + 2 n! f (n+1) ( x0 + ( x x0 ) ( x x0 )n+1 (0 1). + (n + 1)! 意義： 用 ： 意義 可 n次多項式 近似表達(dá) 數(shù) f (x), 來 函 且 高階的無窮小. 誤

2、差是當(dāng)x x0時比( x x0 ) 高階的無窮小.n 二元函數(shù)的泰勒公式 問題 能否用多個變量的多項式來近似 表達(dá)一個給定的多元函數(shù)， 表達(dá)一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤 差的大小. 差的大小.即 設(shè)z = f ( x, y)在 ( x0 , y0 )的某一 域內(nèi) 點 鄰 連續(xù) 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有直到n + 1階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ( x0 + h, y0 + h) 為此鄰域內(nèi)任一點, 為此鄰域內(nèi)任一點,能否把函數(shù) f ( x0 + h, y0 + k) 地表 為h = x x0 , k = y y0的n次多 達(dá) 項式， 近似 項式， 且誤差是當(dāng) = h2 + k2 0時比 n 高階的

3、無窮 小. 二元函數(shù)的泰勒公式 二、二元函數(shù)的泰勒公式定理 設(shè)z = f ( x, y)在點( x0 , y0 )的某一鄰域內(nèi)連 續(xù) 且 有 直 到 n+1 階 的 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , ( x0 + h, y0 + h)為此鄰域內(nèi)任一點,那么有 為此鄰域內(nèi)任一點, f ( x0 + h, y0 + h) = f ( x0 , y0 ) + h + k f ( x0 , y0 ) y x2 n 1 1 + h + k f ( x0 , y0 ) +l+ h + k f ( x0 , y0 ) 2! x n! x y y 1 + h + k (n + 1)! x y n+1 f ( x0 +h

4、, y0 +k), (0 1) 二元函數(shù)的泰勒公式 其中記號 h + k f ( x0 , y0 ) y x表示 hf x ( x0 , y0 ) + kf y ( x0 , y0 ), h + k f ( x0 , y0 ) y x表示 2 h2 fx x ( x0 , y0 ) + 2hkfxy ( x0 , y0 ) + k2 f yy ( x0 , y0 ), 二元函數(shù)的泰勒公式 一般地, 一般地,記號 h + k f ( x0 , y0 )表示 y x m m p p p m p cmh k x p ym p p=0m ( x0 , y0 ) . 證 引入函數(shù) (t ) = f (

5、x0 + ht , y0 + kt ), (0 t 1).明顯 (0) = f ( x0 , y0 ), (1) = f ( x0 + h, y0 + k). 二元函數(shù)的泰勒公式 由 的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么, (t ) 的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么, 可得 (t ) = hf x ( x0 + ht , y0 + kt ) + kf y ( x0 + ht , y0 + kt ) = h + k f ( x0 + ht , y0 + kt ), y x (t ) = h2 f xx ( x0 + ht , y0 + kt ) + 2hkf xy ( x0 + ht , y0 +

6、kt ) + k2 f yy ( x0 + ht , y0 + kt )ll ll 二元函數(shù)的泰勒公式 n+1 p ( n+1) p n+1 p (t ) = cn+1 h k x p yn+1 p p=0n+1 p ( x0+ht , y0+kt ) = h + k y x n+1 f ( x0 + ht , y0 + kt ). 利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得 利用一元函數(shù)的麥克勞林公式， 1 (1) = (0) + (0) + (0) +l 2! 1 (n) 1 ( n+1) + (0) + ( ), (0 1). n! (n + 1)! 二元函數(shù)的泰勒公式 將 f (0) = f (x

7、0 ,y0 ), f ( ) = f (x0 + h ,y0 + k ) 及 1 上面求得的 f (t)直到 n 階導(dǎo)數(shù)在 t = 0 的值 , 以及 f (n + 1 ) 的值代入上式. (t)在 t = q 的值代入上式. 即得 二元函數(shù)的泰勒公式 其中 1 rn = h + k (n + 1)! x y n+1 f ( x0 +h, y0 +k), (2)證畢 (0 1). 公式(1)稱為二元函數(shù) f ( x, y) 在點( x0 , y0 ) 式, 的n階泰勒 式,而rn的 公 表達(dá) (2)稱為 式 拉格 朗日 型余項. 型余項. 二元函數(shù)的泰勒公式 由二元函數(shù)的泰勒公式知, 由二元函

8、數(shù)的泰勒公式知, rn 的肯定值在 點( x0 , y0 )的某一鄰域內(nèi)都不超過某一正常數(shù)m. 于是,有下面的誤差估計式: 于是,有下面的誤差估計式: m m n+1 n+1 n+1 (h + k) = rn ( cos + sin ) (n + 1)! (n + 1)! ( 2) = n+1 (n + 1)! m n+1 , 2 2 其中 = h + k . (3) 式可知, 由(3)式可知,誤差 rn 是當(dāng) 0時比 n 高階 的無窮小. 的無窮小. 二元函數(shù)的泰勒公式 當(dāng) n = 0 時, 公式 ( )成為 1 f ( x0 + h, y0 + k) = f ( x0 , y0 ) + h

9、f x ( x0 +h, y0 +k) + kf y ( x0 +h, y0 +k)上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式. 上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式. 二元函數(shù)的拉格朗日中值公式推 論 如 果 函 數(shù) f ( x, y) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) f x ( x, y), f y ( x, y)在某一鄰域內(nèi)都恒等于零,那么函 在某一鄰域內(nèi)都恒等于零,在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù). 數(shù) f ( x, y)在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù). 二元函數(shù)的泰勒公式 在泰勒公式(1)中,假如取x0 = 0, y0 = 0, 階麥克勞林公式. 那么(1)式成為n階麥克勞林公式. f ( x, y) = f (0,0) + x +

10、y f (0,0) y x 1 1 + x + y f (0,0) +l+ x + y f (0,0) 2! x n! x y y + 1 x +y (n + 1)! x y n+1 2 n f (x,y), (0 1) (5) 二元函數(shù)的泰勒公式 例 1 求函數(shù) f ( x, y) = ln(1 + x + y)的三階麥 克勞林公式. 克勞林公式. 解 1 q fx ( x, y) = f y ( x, y) = , 1+ x + y1 fxx ( x, y) = fxy ( x, y) = f yy ( x, y) = , 2 (1 + x + y) 2! 3 f , = ( p = 0,

11、1,2,3), p 3 p 3 (1 + x + y) x y3! f , = p 4 p 4 (1 + x + y) x y4 ( p = 0,1,2,3,4), 二元函數(shù)的泰勒公式 x + y f (0,0) = xfx (0,0) + yf y (0,0) = x + y, y x x + y f (0,0) y x = x2 fxx (0,0) + 2xyfxy (0,0) + y2 f yy (0,0) = ( x + y)2 ,2 x + y f (0,0) = x3 fxxx(0,0) + 3x2 yfxxy(0,0) y x + 3xy2 fxyy (0,0) + y3 f y

12、yy (0,0) = 2( x + y)3 , 3 二元函數(shù)的泰勒公式 1 1 2 ln(1 + x + y) = x + y ( x + y) + ( x + y)3 + r3 , 2 3其中 1 r = x +y f (x,y) 3 4! x y 1 ( x + y)4 , (0 1). = 4 4 (1 +x +y) 4 二元函數(shù)的泰勒公式 三、極值充分條件的證明利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理2 利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理2.充分條件) 定理 2(充分條件) 連續(xù)， 設(shè)函 z = f ( x, y)在點( x0 , y0 )的某 數(shù) 鄰域 連續(xù) 內(nèi) ， 有一階及二階連

13、 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， f y ( x0 , y0 ) = 0, 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, 令 f xx ( x0 , y0 ) = a, f xy ( x0 , y0 ) = b, f yy ( x0 , y0 ) = c, 二元函數(shù)的泰勒公式 處是否取得極值的條件如下： 那么 f ( x, y)在點( x0 , y0 )處是否取得極值的條件如下： 時有極值， (1)ac b2 0時有極值， 大值， 值； 當(dāng)a 0時有極 大值 當(dāng)a 0時有 ， 微小 ； 值 時沒有極值； (2)ac b 0時沒有極值；2 (3)ac b2 = 0時可能有極值. 時可能有極

14、值. 證 依二元函數(shù)的泰勒公式， 依二元函數(shù)的泰勒公式， 對于任一( x0 + h, y0 + k) u1 (p )有 0 f = f ( x0 + h, y0 + k) f ( x0 , y0 ) 二元函數(shù)的泰勒公式 1 2 = h fxx ( x0 +h, y0 +k) + 2hkfxy ( x0 +h, y0 +k) 2 + k2 f yy ( x0 +h, y0 +k) (0 1). (6) - b 2 0 ,即 (1) 設(shè) ac fxx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) fxy ( x0 , y0 ) 0. (7)2 因 f (x ,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)在 u 1

15、 (p 0 )內(nèi)連續(xù) , 由 可知, 不等式 (7 )可知 ,存在點 p 0 的鄰域u 2 (p 0 ) 蘿u 1 (p 0 ), 使得對任一 (x 0 + h ,y0 + k )蝳u 2 (p 0 )有 二元函數(shù)的泰勒公式 f xx f yy f xy 0.2 (8) 注: 將 fxx (x ,y)在點 (x 0 + q h ,y0 + q k )處的值其他類似. 記為 fxx ,其他類似. 由(8)式可知,當(dāng)( x0 + h, y0 + k) u2 (p ) 時 式可知, 0 f xx 及 f yy 都不等于零且兩者同號.于是(6)式可寫 都不等于零且兩者同號.成 1 2 (hfxx +

16、kfxy ) + k2 ( fxx f yy f 2 xy ) . f = 2 f xx 二元函數(shù)的泰勒公式 當(dāng)h、 不同時 為零且( x0 + h, y0 + k) u2 (p ) 、k 0 式右端方 括號內(nèi)的值為正,所以 f 異于零且 , 時,上 括號內(nèi)的值為正 同號. 與 f xx同號.又由 f ( x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性知 f xx 與a 同號, 同號, 同號,因此 f 與a同號,當(dāng)a 0時 f ( x0 , y0 )為極 小值, 為極大值. 小值,當(dāng)a 0時 f ( x0 , y0 )為極大值. ac b 2 0 , 即 ( 2) 設(shè) fxx ( x0 , y0 ) f yy

17、 ( x0 , y0 ) fxy ( x0 , y0 ) 0. (9)2 二元函數(shù)的泰勒公式 0 先假定 fxx (x 0 ,y0 ) = fyy (x 0 ,y0 ) = 0, fxy (x0 ,y0 ) 箎 . 那么分別令k = h 及 k = - h , 那么由(6)式可得 h2 f = fxx ( x0 +1h, y0 +1k) 2 + 2 fxy ( x0 +1h, y0 +1k) + f yy ( x0 +1h, y0 +1k)及 h2 f = fxx ( x0 +2h, y0 2k) 2 2 fxy ( x0 +2h, y0 2k) + f yy ( x0 +2h, y0 2k)

18、, q 其中 0 q 1 , 2 1 . 二元函數(shù)的泰勒公式 當(dāng)h 0時,以上兩式方括號內(nèi)的式子分別 趨于極限 2 f xy ( x0 , y0 ) 及 2 fxy ( x0 , y0 ), 充分接近零時, 從而當(dāng)h充分接近零時,兩式方括號內(nèi) 的值有 相反的符號, 可取不同符號的值, 相反的符號,因此 f 可取不同符號的值,所以 f ( x0 , y0 )不是極值. 不是極值.再證 fxx (x0 ,y0 ) fyy (x0 ,y0 )不同時為零的情形 . 與 0 先取k = 0 , 于是由(6)式得 不妨 fxy (x0 ,y0 ) 箎 . 1 2 f = h f xx ( x0 +h, y0 ). 2 二元函數(shù)的泰勒公式 充分接近零時, 同號. 當(dāng) h 充分接近零時, d f 與 fxx (x 0 ,y0 )同號.但假如取 h = - fxy (x 0 ,y0 )s,k = fxx (x 0 ,y0 )s, 其中 s是異于零但充 分接近于零的數(shù) 那么可發(fā)覺, 當(dāng) ,那么可發(fā)覺, 充分小時, 異號. s 充分小時, d f 與 fxx (x0 ,y0 )異號.