對(duì)伽利略的一種落體數(shù)理模型的“否定”之否定

1、對(duì)伽利略的一種落體數(shù)理模型的“否定”之否定 1 問(wèn)題的提出 眾所周知，伽利略在尋找落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，遵循“自然界總是習(xí)慣于運(yùn)用最簡(jiǎn)單和最容易的手段”的信念，經(jīng)過(guò)反復(fù)思考最終提出了：物體下落的過(guò)程是一個(gè)速度逐漸增大的過(guò)程，其速度與時(shí)間成正比的假說(shuō)，并巧妙地借用由此假說(shuō)出發(fā)推出的位移與時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行了間接驗(yàn)證，從而尋找到了落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律. 但據(jù)物理學(xué)史上介紹，伽利略并不是一開(kāi)始就直接提出這樣的數(shù)學(xué)模型的.伽利略起先假設(shè)的是物體下落的速度與下落位移成正比，不過(guò)他很快就敏感地發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)模型是錯(cuò)誤的，因用它會(huì)導(dǎo)出荒謬的結(jié)論，于是就否定了. 后來(lái)許多編題者運(yùn)用這一背景，編制出了類似于這樣的一道題：“在研究

2、落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，伽利略起先假設(shè)落體的速度對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻變化的，即v與x成正比.隨即他就發(fā)現(xiàn)這一假設(shè)是錯(cuò)誤的，因用它會(huì)推導(dǎo)出荒謬的結(jié)論.你能否推出這一假設(shè)的荒謬性？” 對(duì)這一問(wèn)題的解答，網(wǎng)上可能有多種版本，唯有這樣的版本似乎令人滿意，因此被很多教輔資料采納為本題的最佳答案： “設(shè)物體下落1 m時(shí)速度增加為2 m/s，則平均速度v1=1 m/s，下落時(shí)間t1=x1v1=2 s；根據(jù)假設(shè)，物體下落2 m時(shí)速度增加為4 m/s，則平均速度為v=2 m/s，下落時(shí)間t2=x2v2=2 s.結(jié)果是t1=t2，即物體通過(guò)第二米位移不需要時(shí)間，這顯然是荒謬的.”以為如此的推導(dǎo)認(rèn)證就否定了伽利略當(dāng)年的“落體速

3、度v與位移x成正比”的數(shù)學(xué)模型. 對(duì)此推導(dǎo)認(rèn)證筆者不敢茍同，因其從物理概念和數(shù)學(xué)邏輯上都是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致否定的認(rèn)證是無(wú)力的. 2 問(wèn)題的分析 暫不提出本題的正解，我們先來(lái)分析一下以上認(rèn)證的荒謬無(wú)力之處.應(yīng)該知道，在變速直線運(yùn)動(dòng)中，跟位移相比而得到時(shí)間的速度應(yīng)是平均速度，這是不容置疑的，但問(wèn)題在于這個(gè)平均速度，到底是什么性質(zhì)的平均速度？筆者認(rèn)為應(yīng)是運(yùn)動(dòng)物體對(duì)時(shí)間的平均速度，用符號(hào)t表示.若物體的瞬時(shí)速度對(duì)時(shí)間是均勻變化的，即物體作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則一段時(shí)間內(nèi)物體對(duì)時(shí)間的平均速度，在數(shù)值上應(yīng)等于始末速度的算術(shù)平均值，物體的位移x與這種性質(zhì)的平均速度t的比值，才等于物體在這段位移上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.然而，

4、由于伽利略假設(shè)的是“落體速度v與位移x成正比”，故上述推導(dǎo)中的所謂平均速度，顯然不是對(duì)“時(shí)間”的平均速度t，而實(shí)質(zhì)是對(duì)“位移”的平均速度，用符號(hào)x表示，物體的位移x與這種性質(zhì)的平均速度x的比值，并不等于物體在這段位移上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，故上述的推導(dǎo)和認(rèn)證是站不住腳的，是起不到真正否定伽利略的“落體速度v與位移x成正比”的數(shù)學(xué)模型的，這種無(wú)力的否定，會(huì)產(chǎn)生物理概念上模糊效果，必須否定！ 3 問(wèn)題的解決 筆者償試運(yùn)用高等數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)認(rèn)證如下： 如圖1所示，一物體自零點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，按照伽利略的“落體速度v與位移x成正比”的假設(shè)，當(dāng)物體下落位移為x時(shí)，其速度為vx，則 vx=kx（1） 在x處取一位移

5、元dx，則物體在其內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 dt=dxvx（2） 則物體從零點(diǎn)到位移h處的時(shí)間為 t=h0dxvx=1kh0dxx =1klim0+h1xdx=+ （3） 即物體從零運(yùn)動(dòng)到位移h處的時(shí)間為無(wú)限長(zhǎng). 為什么物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間會(huì)無(wú)限長(zhǎng)？我們可對(duì)（1）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得 dvdt=kdxdt（4） 即物體的加速度為 a=kvx（5） 可見(jiàn)，物體的加速度與速度成正比，當(dāng)物體的速度為零時(shí)，也就是位移為零時(shí)，加速度也為零.即物體由靜止釋放后將始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，永遠(yuǎn)不能動(dòng)彈，當(dāng)然也就永遠(yuǎn)不能從零運(yùn)動(dòng)到位移h處的位置，數(shù)學(xué)上自然就會(huì)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間會(huì)無(wú)限長(zhǎng)的結(jié)果，這與事實(shí)極不相符！ 若給物體一個(gè)微小的擾動(dòng)，即給物體一個(gè)極其微小的初速度，由（5）式可知物體將有一個(gè)極其微小的加速度，它開(kāi)始下落的速度變化也是極其緩慢的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間會(huì)相